- •Пермский государственный технический университет
- •Введение
- •Список литературы Основная
- •Дополнительная
- •1. Краткие методически указания по
- •2. Методические указания к решению задач
- •3. Основные формулы. Оптика Преломление света
- •Интерференция света
- •Дифракция света
- •Поляризация света
- •Законы теплового излучения
- •Фотоэлектрический эффект
- •Давление света. Фотоны
- •Эффект Комптона
- •Теория относительности
- •3.1. Примеры решения задач
- •3.2. Тренировочные задачи
- •3.3. Контрольная работа № 5
- •4. Основные формулы. Атомная физика Атом водорода
- •Волны де Бройля
- •Радиоактивность
- •Энергия связи атомных ядер
- •Ядерные реакции
- •4.1. Примеры решения задач
- •В нерелятивистском случае
- •4.2. Тренировочные задачи
- •4.3. Контрольная работа № 6
- •5. Вопросы для подготовки к экзамену
Эффект Комптона
21. При соударении со свободным или слабо связанным (валентным) электроном фотон передает ему часть своей энергии, вследствие этого длина волны λ рассеянного фотона больше длины волны λ первичного фотона.
Изменение длины волны дается формулой Комптона , гдеm0 – масса покоящегося электрона; θ – угол рассеяния. Величина Λ =называется комптоновской длиной волны. При рассеянии на электроне Λ = 0,02436=2,43610-12 м.
Теория относительности
22. Зависимость массы частицы от ее скорости , гдеm – масса движущейся частицы; m0 – масса покоящейся частицы; v – скорость частицы; с – скорость света в вакууме; β – скорость частицы, выраженная в долях скорости света (β = v/c).
23. Закон пропорциональности массы и энергии. Полная энергия частицы прямо пропорциональна массе частицы E = mc2, или .
Если частица находится в покое, то, полагая β = 0, получим E0 = m0c2, где E0 – энергия покоя частицы.
Релятивистская формула кинетической энергии .
24. Импульс частицы .
Произведение m0c – иногда называют комптоновским импульсом частицы.
Связь между полной энергией Е, энергией покоя Е0 и импульсом р частицы Е2 = Е02 + (рс)2.
3.1. Примеры решения задач
№ 1 От двух когерентных источников S1 и S2 (λ = 0,8 мкм) лучи попадают на экран. На экране наблюдается интерференционная картина. Когда на пути одного из лучей перпендикулярно ему поместили мыльную пленку (n = 1,33), интерференционная картина изменилась на противоположную. При какой наименьшей толщине dmin пленки это возможно?
Р е ш е н и е.
Рис.
1
Δ2 – Δ1 = (2k + 1), (1)
где Δ1 - оптическая разность хода лучей до внесения пленки; Δ2 - оптическая разность хода тех же лучей после внесения пленки; k = 0, ± 1, ±2, … .
Наименьшей толщине dmin пленки соответствует k = 0. При этом формула (1) примет вид
Δ2 – Δ1 = . (2)
Выразим оптические разности хода Δ2 и Δ1. Из рис. 1 следует: Δ1 = l1 – l2, Δ2 = [(l1 – dmin)+ndmin] – l2 = (l1 – l2) + dmin(n – 1). Подставим выражения Δ2 и Δ1 в формулу (2):
(l1 – l2) + dmin(n – 1) – (l1 – l2) = , или dmin (n – 1) = .
Отсюда . Подставив числовые значения, найдем мкм.
№ 2. На стеклянный клин с малым углом нормально к его грани падает параллельный пучок лучей монохроматического света с длиной волны λ = 0,6 мкм. Число m возникающих при этом интерференционных полос, приходящихся на 1 см, равно 10. Определить угол α клина.
Р е ш е н и е.
Темные полосы видны на тех участках клина, для которых разность хода лучей кратна нечетному числу половин длин волн:
(k = 0, ± 1, ± 2, …) (1)
Разность хода Δ двух лучей складывается из разности оптических длин путей (2dncosi2) этих лучей и половины длины волны λ/2. Величина λ/2 представляет собой добавочную разность хода, возникшую при отражений луча 1 от оптически более плотной среды. Подставляя в формулу (1) значение разности хода Δ лучей, получим
2 dk n cosi2 + λ/2 = (2k +1) λ/2 , (2)
где n - показатель преломления стекла (n = 1,6); dk - толщина клина в том месте, где наблюдается темная полоса, соответствующая номеру k; i - угол преломления второго луча.
Согласно условию, угол падения равен нулю, следовательно, и угол преломления i2 равен нулю, а соs i2 = 1. Раскрыв скобки в правой части равенства (2), после упрощения получим
2dkn = kλ (3)
Пусть произвольной темной полосе k-гo номера соответствует толщина dk клина, а темной полосе (k + m) - го номера - толщина d k+m клина. Тогда из рис. 2, учитывая, что m полос укладывается на расстоянии l, найдем
tgα = sinα = (4)
Выразим из (3) d к и d k+m и подставим их в формулу (4). Затем, учитывая, что из-за малости угла α sinα≈α, получим
Подставляя числовые значения физических величин, найдем
Выразим α в градусах. Для этого можно воспользоваться соотношением между радианом и секундой: 1 рад = (2,06∙105) т.е.
α = 2∙10-4 ∙(2,06∙105) = 41,2.
№ 3. На дифракционную решетку нормально к ее поверхности падает монохроматический свет. Период решетки d = 2 мкм. Какого наибольшего порядка дифракционный максимум дает эта решетка в случае красного (λ1 = 0,7 мкм) и в случае фиолетового (λ2 = 0,41 мкм) света?
Р e ш е н и е.
На основании известной формулы дифракционной решетки напишем выражение порядка дифракционного максимума:
, (1)
где d - период решетки; φ – угол между направлением на дифракционный максимум и нормалью к решетке; λ - длина волны монохроматического света. Так как sinφ не может быть больше 1, то, как это следует из формулы (1), число m не может быть больше d/λ, т.е.
m ≤ d/λ. (2)
Подставив в формулу (2) числовые значения, получим: для красных лучей m ≤ 2/0,7 = 2,86; для фиолетовых лучей m ≤ 2/0,41= 4,88.
Если учесть, что порядок максимумов является целым числом, то для красного света mmax = 2 и для фиолетового m max = 4.
№ 4. Естественный луч света падает на полированную поверхность стеклянной пластины, погруженной в жидкость. Отраженный от пластины луч образует угол = 970 с падающим лучом (рис. 3). Определить показатель преломления n1 жидкости, если отраженный свет максимально поляризован.
Р е ш е н и е.
Согласно закону Брюстера луч света, отраженный от диэлектрика, максимально поляризован в том случае, если тангенс угла падения численно равен относительному показателю преломления: tg i1 = n21, где n21 - показатель преломления второй среды (стекла) относительно первой (жидкости).
Относительный показатель преломления равен отношению абсолютных показателей преломления. Следовательно, tg i1 = n2/n1. Так как угол падения равен углу отражения, то i1 = φ/2 и, следовательно, tg φ/2 = n2/n1, откуда .
Подставив числовые значения, получим .
№ 6. Два николя N1 и N2 расположены так, что угол между их плоскостями пропускания составляет α = 600. Определить, во сколько раз уменьшится интенсивность I0 естественного света:
1) при прохождении через один николь N1; 2) при прохождении через оба николя. Коэффициент поглощения света в николе к = 0,05. Потери на отражение света не учитывать.
Р е ш е н и е.
1. Естественный свет, падая на грань призмы Николя (рис. 4), расщепляется вследствие двойного лучепреломления на два луча: обыкновенный и необыкновенный. Оба луча одинаковы по интенсивности и полностью поляризованы. Плоскость колебаний необыкновенного луча лежит в плоскости чертежа (плоскость главного сечения). Плоскость колебаний обыкновенного луча перпендикулярна плоскости чертежа. Обыкновенный луч 0 вследствие полного внутреннего отражения от границы АВ отбрасывается на зачерненную поверхность призмы и поглощается ею. Необыкновенный луч е проходит через призму, уменьшая свою интенсивность вследствие поглощения.
Рис. 4
I0 – естественный луч света, I1 = 1/2I0 (1- k ), I2 = 1/2I0(1 - k)2cos2α .
Таким образом, интенсивность света, прошедшего через первую призму, I1=1/2I0(1-k).
Относительное уменьшение интенсивности света получим, разделив интенсивность I0 естественного света, падающего на первый николь, на интенсивность I1 поляризованного света:
. (1)
Подставив в (1) числовые значения, найдем
Таким образом, интенсивность уменьшается в 2,1 раза.
2. Плоско – поляризованный луч света интенсивности I1 падает на второй николь N2 и также расщепляется на два луча различной интенсивности: обыкновенный и необыкновенный. Обыкновенный луч полностью поглощается призмой, поэтому интенсивность его нас не интересует. Интенсивность необыкновенного луча I2, вышедшего из призмы N2, определяется законом Малюса (без учета поглощения света во втором николе): I2 = I1cos2α, где α - угол между плоскостью колебаний в поляризованном луче и плоскостью пропускания николя N2.
Учитывая потери интенсивности на поглощение во втором николе, получим I2 = I1(1 - k)cos2α.
Искомое уменьшение интенсивности при прохождении света через оба николя найдем, разделив интенсивность I0 естественного света на интенсивность I2 света, прошедшего систему из двух николей:
Заменяя отношение I0/I1, его выражением по формуле (1), получим Подставляя данные, произведем вычисления:
Таким образом, после прохождения света через два николя интенсивность его уменьшится в 8,86 раза.
№ 6. Плоско – поляризованный монохроматический луч света падает на поляроид и полностью им гасится. Когда на пути луча поместили кварцевую пластину, интенсивность I луча света после поляроида стала равна половине интенсивности луча, падающего на поляроид. Определить минимальную толщину кварцевой пластины. Поглощением и отражением света поляроидом пренебречь, постоянную вращения кварца α принять равной 48,9 град/мм.
Р е ш е н и е.
Полное гашение света поляроидом означает, что плоскость пропускания поляроида (пунктирная линия на рис.5) перпендикулярна плоскости колебаний (I-I) плоско – поляризованного света, падающего на него. Введение кварцевой пластины приводит к повороту плоскости колебания света на угол φ = αl, гдеl– толщина пластины.
Зная, во сколько раз уменьшится интенсивность света при прохождении его через поляроид, определим угол β, который установится между плоскостью пропускания поляроида и новым направлением (II - II) плоскости колебаний падающего на поляроид плоско поляризованного света. Для этого воспользуемся законом Малюса: I=I0cos2β.
Заметив, что β = π/2 - φ, можно написать I = I0cos2 (π/2 – φ), или
I = I0sin2φ. (2)
Из равенства (2) с учетом (1) получим , откуда искомая толщина пластины.
Подставим числовые значения и произведем вычисления (во внесистемных единицах):
№ 7. Определить импульс Р и кинетическую энергию Т электрона, движущегося со скоростью v = 0,9c, где с - скорость света в вакууме.
Р е ш е н и е.
Импульсом частицы называется произведение массы частицы на ее скорость:
р = mv. (1)
Так как скорость электрона близка к скорости света, то необходимо учесть зависимость массы от скорости, определяемую по формуле
(2)
где m - масса движущейся частицы; m0 - масса покоящейся частицы; β = v/c - скорость частицы, выраженная в долях скорости света.
Заменив в формуле (1) массу m ее выражением (2) и приняв во внимание, что v = сβ, получим выражение для релятивистского импульса
, (3)
Подставим числовые значения величин, входящих в формулу (3):
В релятивистской механике кинетическая энергия Т частицы определяется как разность между полной энергией Е и энергией покоя Е0 этой частицы, т.е. Т = Е – Е0. Так как Е = тс2 и Е0 = m0c2, то, учитывая зависимость массы от скорости, получим или
. (4)
Подставив числовые данные, выраженные в единицах СИ, найдем
Во внесистемных единицах энергия покоя электрона m0 с2 = 0,51 МэВ. Подставив это значение в формулу (4), получим Т = 0,51∙1,29 = 0,66 МэВ.
№ 8. Определить релятивистский импульс электрона, обладающего кинетической энергией Т = 5 МэВ.
Р е ш е н и е.
Релятивистский импульс электрона определяется по формуле (см. пример 7) , но так как в условии задачи дана не скорость электрона, а его кинетическая энергия, то решение задачи в общем виде сводится к отысканию формулы, выражающей импульс непосредственно через кинетическую энергию.
Установим связь между релятивистским импульсом и полной энергией частицы. Полная энергия Е частицы прямо пропорциональна ее массе, т.е.
Е = mc2. (1)
Зависимость массы от скорости определяется формулой
(2)
Заменив массу m в формуле (1) ее выражением (2) и приняв во внимание, что произведение m0с2 есть энергия Е0 частицы, получим
(3)
Возведя обе части равенства (3) в квадрат, найдем откуда
Е2 - (βЕ)2 = Е02 . (4)
Очевидно, что βЕ = (v/c)∙ mc2 = mvc = pc. Поэтому равенство (4) можно переписать в виде Е2 – р2с2 = Е02, откуда релятивистский импульс .
Разность между полной энергией и энергией покоя есть кинетическая энергия Т частицы: Е – Е0 = Т.
Легко убедиться, что Е + Е0 = Т + 2Е0, поэтому искомая связь между импульсом и кинетической энергией релятивистской частицы выразится формулой
Вычисления удобно провести в два приема: сначала найти числовое значение радикала во внесистемных единицах, а затем перейти к вычислению в единицах СИ. Таким образом,
№ 9. Длина волны, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения абсолютно черного тела, λ0 = 0,58 мкм. Определить энергетическую светимость (излучательность) R0 поверхности тела.
Ре ш е н и е.
Энергетическая светимость R0 абсолютно черного тела в соответствии с законом Стефана - Больцмана пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры и выражается формулой
R0 = σТ4, (1)
где σ - постоянная Стефана – Больцмана; Т – термодинамическая температура.
Температуру Т можно вычислить с помощью закона смещения Вина
λ0 = b/Т. (2)
где b - постоянная закона смещения Вина.
Используя формулы (2) и (1), получим
(3)
Выпишем числовые значения величин, входящих в эту формулу
σ = 5,6710-8 Вт/(м2∙К4), b = 2,90∙10-3 м∙К, λ0 = 5,810-7 м, и подставив числовые значения в формулу (3), произведем вычисления:
№ 10. Определить максимальную скорость vmax фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра: 1) ультрафиолетовыми лучами с длиной волны λ1 = 0,155 мкм; 2) γ - лучами с длиной волны λ2 = 1 пм.
Р е ш е н и е.
Максимальную скорость фотоэлектронов можно определить из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта
ε = А + Тmax, (1)
где ε - энергия фотона, падающего на поверхность металла; А - работа выхода электрона из металла; Тmax - максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.
Энергия фотона вычисляется также по формуле
ε = hс/λ, (2)
где h - постоянная Планка; с - скорость света в вакууме; λ - длина волны.
Кинетическая анергия электрона может быть выражена или по классической формуле
(3)
или по релятивистской
(4)
в зависимости от того, какая скорость сообщается фотоэлектрону.
Скорость фотоэлектрона зависит от энергии фотона, вызывающего фотоэффект: если энергия ε фотона много меньше энергии покоя Е0электрона, то может быть применена формула (3), если же ε сравнима по величине сЕ0, то вычисление по формуле (3) приводит к ошибке, поэтому нужно пользоваться формулой (4).
1. Вычислим энергию фотона ультрафиолетовых лучей по формуле (2):
или .
Полученная энергия фотона (8 эВ) много меньше энергии покоя электрона (0,51 МэВ). Следовательно, для данного случая кинетическая энергия фотоэлектрона в формуле (1) может быть выражена по классической формуле (3): ε1 = А + откуда
. (5)
Выпишем числовые значения величин: ε1 = 1,28 10-18 Дж (вычислено выше), А = 4,7 эВ = 4,7 ∙ 1,6 10-19 Дж, m0 = 9,11 10-31 кг.
Подставив числовые значения в формулу (5), найдем
2. Вычислим энергию фотона γ – лучей:
или
Работа выхода электрона (А = 4,7 эВ) пренебрежимо мала по сравнению с энергией фотона (ε2 = 1,24 МэВ), поэтому можно принять, что максимальная кинетическая энергия электрона равна энергии фотона: Тmax = ε2 = 1,24 МэВ. Так как в данном случае кинетическая энергия электрона больше его энергии покоя, то для вычисления скорости электрона следует взять релятивистскую формулу кинетической энергии (4). Из этой формулы найдем Заметив, чтоv = cβ и Т max = ε2, получим
Подставим числовые значения величин и произведем вычисления:
№ 11. В результате эффекта Комптона фотон при соударении с электроном был рассеян на угол θ = 900. Энергия рассеянного фотона ε2 = 0,4 МэВ. Определить энергию фотона ε1 до рассеяния.
Р е ш е н и е.
Для определения энергии первичного фотона воспользуемся формулой Комптона
, (1)
где Δλ = λ2 - λ1 - изменение длины волны фотона в результате рассеяния на свободном электроне; h - постоянная Планка; m0 - масса покоя электрона; с - скорость света в вакууме; θ - угол рассеяния фотона.
Формулу (1) преобразуем следующим образом: 1) заменим в ней Δλ на λ2 - λ1; 2) выразим длины волн λ1 и λ2 через энергии ε1 и ε2 соответствующих фотонов, воспользовавшись формулой ε = hc/λ ; 3) умножим числитель и знаменатель правой части формулы на с. Тогда получим
Сократим на hс и выразим из полученной формулы искомую энергию:
(2)
где Е0 = mc2 - энергия покоя электрона.
Вычисления по формуле (2) удобно вести во внесистемных единицах. Взяв из таблицы значение энергии покоя электрона в мегаэлектрон-вольтах и подставив числовые данные, получим .
№ 12. Пучок параллельных лучей монохроматического света с длиной волны λ = 663 нм падает нормально на плоскую зеркальную поверхность. Поток излучения Ф = 0,6 Вт. Определить: 1) силу F давления, испытываемую этой поверхностью; 2) число N1 фотонов, ежесекундно падающих на поверхность.
Р е ш е н и е.
1. Сила светового давления на поверхность равна произведению светового давления р на площадь S поверхности:
F = рS. (1)
Световое давление может быть найдено по формуле
, (2)
где Еe - энергетическая освещенность (облученность); c - скорость света в вакууме; ρ - коэффициент отражения. Подставляя выражение (2) давления света в формулу (1), получим
. (3)
Энергетическая освещенность Ее есть величина, численно равная энергии, падающей на единичную площадку в единицу времени. Произведение Ее на S есть величина, численно равная энергии, падающей на данную площадку S в единицу времени, т.е. поток излучения Ф = ЕеS. С учетом этого формула (3) примет вид
. (4)
Величины, входящие в формулу (4), выпишем в единицах СИ: Ф = 0,6 Вт, с = 3-108 м/с, ρ = 1 (поверхность зеркальная). После подстановки этих величин в формулу (4) получим .
2. Произведение энергии ε одного фотона на число фотонов N1, падающих на поверхность в единицу времени, равно мощности излучения, т.е. потоку излучения: Ф = εN1, а так как, энергия фотона ε = hc/λ, то
, откуда
. (5)
Выпишем величины, входящие в формулу (5), в единицах СИ: Ф = 0,6 Вт, λ = 6,6310-7м, h = 6,6310-34 Дж∙с, с = 3108 м/с. Подставим полученные значения в расчетную формулу и произведем вычисления: .