- •2. Надежность объекта
- •2.1. Основные понятия и определения теории надежности
- •2.2. Отказы в системах электроснабжения
- •2.3. Показатели надежности объекта
- •2.4. Выбор показателей надежности электроснабжения потребителей
- •2.5. Теоретические распределения наработки до отказа
- •2.6. Построение эмпирической функции распределения
- •2.7. Метод равномерного распределения
- •2.10. Определение вида и параметров закона распределения времени до отказа
- •2.12. Установление надежности работоспособности изделий
- •Контрольные вопросы к главе 2
2.5. Теоретические распределения наработки до отказа
Возможны два пути определения показателей надежности объектов по данным об отказах. Первый из них основан на анализе экспериментального распределения, второй – на вычислении параметров теоретического распределения наработки до отказа. Оба пути имеют достоинства и недостатки. Исторически сложилось так, что вероятностные методы исследования развивались в основном по пути использования теоретических распределений.
В качестве этих распределений могут быть использованы любые применяемые в теории вероятностей непрерывные распределения. Практически можно взять любую кривую, площадь поверхности под которой равна единице, и использовать ее в качестве кривой распределения случайной величины. Однако на практике чаще используются следующие распределения: экспоненциальное, усеченное нормальное, распределение Релея, гамма-распределение, распределение Вейбулла.
При экспоненциальном распределении наработки до отказа интенсивность отказов является постоянной величиной, т.е. . В этом случае мы имеем, так называемый пуассоновский процесс, для которого
, (2.38)
, (2.39)
Если объекты характеризуются очень малыми численными значениями интенсивности отказов и, соответственно, большими значениями средней наработки на отказ, то экспоненты, получаемые по формулам (2.38), (2.39), имеют в реальном масштабе очень пологий вид. Это дает основание заменить их прямыми, касательными к экспонентам в точке t = 0. Математически это означает разложение экспоненты в ряд Тейлора и отбрасывание членов ряда, имеющих высокий порядок малости. Учитывая это, получаем упрощенные формулы для расчета показателей надежности:
P(t) = 1 – λ t, (2.38')
а(t) = λ (1 – λ t). (2.39')
Упрощенные формулы допустимо применять при λ << 1 год-1.
Средняя наработка до отказа определится
. (2.40)
Графики вышеприведенных зависимостей при экспоненциальном распределении наработки до отказа приведены на рис. 2.6. Площадь под кривой Р(t) численно характеризует среднюю наработку на отказ.
Во-первых, экспоненциальное распределение наработки до отказа типично для сложных объектов, состоящих из многих элементов с различными распределениями наработки до отказа.
Во-вторых, при постоянных интенсивностях отказов объектов получаются простые формулы для расчета надежности. Это связано с тем, что при вероятность безотказной работы в течение заданной наработкине зависит от суммарной наработки.
В-третьих, при ограниченном числе экспериментальных данных трудно обнаружить значительные отклонения от гипотезы даже при имеющейся возможной нестационарности. При недостаточном числе экспериментальных данных значениепринимается в качестве первого приближения.
Можно считать допустимым и оправданным применение экспоненциального закона для расчета нерезервированных систем с высокими требованиями к безотказности элементов для любой модели отказов (внезапных и постепенных), но он лишает возможности правильно прогнозировать поведение изделия при повышении его ресурса, делать правильные выводы о мероприятиях по повышению надежности системы.
Применение экспоненциального закона допустимо и оправдано при анализе и расчете надежности систем, уже обладающих высокой безотказностью, но его нельзя применять для случаев прогнозирования поведения этих систем при повышении ресурса и для оценки их надежности в пределах, выходящих за значение принятого ресурса.
Пример 2.12. Определить для трансформатора с высшим напряжением 10 кВ следующие показатели надежности для момента времени 6 месяцев: а) вероятность безотказной работы; б) вероятность отказа; в) частоту отказов; г) среднюю наработку на отказ. Интенсивность отказов трансформатора λ = 0,035 год –1 (см. табл. 2.4).
Решение. Р(0,5) = ехр (–0,035·0,5) = 0,9827;
Q(0,5) = 1 – ехр (–0,035·0,5) = 0,0173;
а(0,5) = λР(0,5) = 0,035·0,9827 = 0,03439;
Т0 = 1/0,035 = 28,6 лет.
Результаты расчетов показателей надежности по упрощенным формулам:
Р(0,5) = 1 – 0,035·0,5 = 0,9825;
Q(0,5) = 0,035·0,5 = 0,0175;
а(0,5) = 0,035(1 – 0,035·0,5) = 0,03438.
Плотность нормального распределения имеет колоколообразную форму, симметричную относительно среднего значения. В данном случае функция распределения записывается как
, (2.41)
.
Этот интеграл не вычисляется в замкнутом виде, поэтому в приложении 1 приведена табл. П.7 для этого распределения и она может использоваться для нахождения вероятностей любого нормального распределения.
Плотность нормированного нормального распределения можно представить как
, (2.42)
где . Тогда функция нормированного нормального распределения имеет вид
. (2.43)
Для случайной величины T, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием T1 и средним квадратическим отклонением σ, выражение
(2.44)
является необходимым соотношением для использования таблицы (П7).
В случае нормального распределения интенсивность отказов является монотонно возрастающей функцией времени t. Это легко показать, доказав, что для всехt. Так как
, то . (2.45)
Вероятность безотказной работы и интенсивность отказов для некоторых нормальных распределений показаны на рис. 2.7 и 2.8 соответственно.
Пример 2.13. Элемент имеет нормальное распределение наработки до отказа с параметром Т1 = 20000 циклов и = 2000 циклов. Найдите надежность элемента и интенсивность отказов при наработке, равной 19000 циклов.
Решение. Вероятность безотказной работы связана с нормированной случайной величиной u, распределенной по нормальному закону следующим соотношением:
,
Значение интенсивности отказов может быть найдено с помощью соотношения
,
где определяется с помощью таблицы (П.8). В данном случае
отказ/цикл.
Усеченным нормальным распределением случайной величины называется распределение, получаемое из нормального при ограничении интервала возможных значений этой величины. В интервале (t1, t2) плотность усеченного распределения
, (2.46)
где плотности усеченного и неусеченного нормальных распределений:
;
С нормирующий множитель, определяемый из условия единичной площади под кривой распределения
откуда ; (2.47)
среднее значение и среднее квадратичное отклонение неусеченного распределения.
После подстановки в формулу (2.47) функции с учетом обозначения, получим:
, .
Значения нормированной функции Лапласа приведены в таблице (П.3).
Ниже приводятся основные показатели надежности для усеченного распределения, а именно:
вероятность безотказной работы
; (2.48)
интенсивность отказов
. (2.49)
Практически при оценке времени безотказной работы с помощью нормального распределения может иметь место частный случай, при котором средняя наработка до отказа Т1 значительно больше среднего квадратического отклонения, т.е. . При этом
.
Тогда основные показатели надежности при нормальном законе распределения находятся по формулам:
; . (2.50)
Если способность объекта выполнять заданные функции характеризуется параметром Y с допустимыми пределами изменения , то вероятность безотказной работы объекта в течение времениt составляет
,
где нижняя и верхняя границы поля допуска; среднее значение и среднее квадратическое отклонение параметра Y.
При распределении времени возникновения отказов по логарифмически нормальному закону плотность распределения имеет вид
, (2.51)
Если случайная величина X определяется как x = lnT, то X имеет нормальное распределение с математическим ожиданием T1 и средним квадратическим отклонением н, т. е.
, .
Так как t = ex, математическое ожидание логарифмически нормального распределения можно найти с помощью нормального распределения. Полагая, что
(2.52)
и преобразуя экспоненту в (2.52), получаем
.
Математическое ожидание логарифмически нормального распределения имеет вид
.
Продолжая аналогичные преобразования, имеем
.
Таким образом, дисперсия логарифмически нормального распределения имеет вид
. (2.53)
Функция логарифмически нормального распределения
, (2.54)
ее можно связать с нормированной случайной величиной u, распределенной по нормальному закону, следующим образом:
. (2.55)
Вероятность безотказной работы записывается как
, (2.56)
а интенсивность отказов имеет вид
, (2.57)
где f – плотность нормированного нормального распределения, а Т1 и - соответственно математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение натурального логарифма случайной величины T1, обозначающей наработку до отказа. На рис. 2.11 и 2.12 показаны графики функции соответственно вероятности безотказной работы и интенсивности отказов для различных логарифмически нормальных распределений.
Пример 2.14. Наработка некоторого элемента до отказа имеет логарифмически нормальное распределение с параметрами T1 = 5 и н=1. Найдите вероятность безотказной работы элемента и интенсивность отказов при наработке, составляющей 150 часов.
Решение. Подставляя в формулу (2.56) численные значения T1 , н и t, получаем
.
Используя выражение (2.57) для интенсивности отказов, имеем
отказа в час.
Таким образом, значения функции логарифмически нормального распределения легко вычислить, используя таблицы для нормированного нормального распределения.
При распределении времени возникновения отказов по закону Релея плотность распределения f (t) задается выражением
(2.58)
где параметр распределения Релея. Тогда вероятность безотказной работы, интенсивность отказов и средняя наработка до отказа выражаются следующими формулами:
(2.59)
(2.60)
. (2.61)
При вычислении использован табличный интеграл
, при а > 0.
Гаммараспределение используется при оценке надежности объектов в начальный период эксплуатации, при исследовании надежности электромеханических объектов, высоконадежной электронной аппаратуры с интенсивностью отказов, уменьшающейся во времени. Оно описывает также распределение времени отказов объектов, резервированных способом замещения, если наработка на отказ основного и резервного объектов следует экспоненциальному закону.
Плотность гаммараспределения задается выражением
(2.62)
где Г(k) = (k–1)! гаммафункция, определяемая по формуле
.
В теории надежности гамма – распределение используется при целом k. При k > 1 гаммараспределение является распределением суммы k независимых случайных величин, каждая из которых имеет экспоненциальное распределение с параметром . Для такого распределения
(2.63)
(2.64)
, (2.65)
. (2.66)
Дисперсия времени безотказной работы . Математическое ожидание числа отказовn на интервале времени, равном t, составит n = λ0t.
Параметр формы k характеризует асимметрию и эксцесс гамма – распределения. В зависимости от его величины существенно изменяется вид основных количественных характеристик надежности. Зависимости f(t), (t) и P(t) приведены на рис. 2.14, из которого видно, что при k = 1 гамма–распределение превращается в экспоненциальное распределение. При k 1 интенсивность отказов возрастает, а при k 1 – убывает.
Пример 2.16. Наработка некоторого элемента до отказа имеет гамма-распределение с параметрами k = 3 и 0 = 0,05. Определите вероятность безотказной работы элемента и интенсивность отказов при наработке, равной 24 часам.
Решение. Используя формулу (2.64), определяем
С помощью формулы (2.63) вычисляем
.
По формулам (2.65), (2.66) получаем
отказа в ч,
ч.
При исследовании характеристик надежности полупроводниковых приборов, при ускоренных испытаниях объектов в форсированных режимах, при анализе надежности объектов в период приработки используется распределение Вейбулла. Модель надежности Вейбулла, называемая также моделью Вейбулла-Гнеденко, была предложена шведским ученым В. Вейбуллом в качестве модели прочности материалов, а затем обоснована математически советским ученым Б.В.Гнеденко. Плотность распределения наработки до отказа в этом случае определяется выражением
(2.67)
Параметр задает масштаб кривой по оси абсцисс, а параметрk – асимметрию и эксцесс распределения. Ориентировочно значение k = 0,2…0,4 для электронных устройств с убывающей функцией интенсивности отказов и k =1,2…1,4 для механических устройств с возрастающей функцией интенсивности отказов.
Для распределения Вейбулла основные количественные характеристики надежности выражаются следующими формулами:
(2.68)
(2.69)
, (2.70)
где Г гамма-функция.
.
Зависимости основных количественных характеристик надежности от времени приведены на рис. 2.15. Из рисунка видно, что при k = 1 распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное распределение. При k1 интенсивность отказов начинается с нуля и с течением времени возрастает. При k1 интенсивность отказов начинается с + и в области больших t стремится к нулю. При соответствующем подборе параметра k можно с помощью закона Вейбулла описывать надежность и стареющих элементов, у которых λ0(t) возрастает, и надежность элементов, имеющих скрытые дефекты, у которых λ0(t) убывает с течением времени. Закон Вейбулла очень удобен для вычислений, но связан с эмпирическим подбором параметров λ0 и k для имеющейся зависимости λ0(t).
Пример 2.17. Наработка некоторого элемента до отказа имеет распределение Вейбулла с параметрами k = 4, в интервале времен от 1000 до 2000 ч. Найти вероятность безотказной работы элемента и интенсивность отказов при наработке, равной 1500 ч.
Решение. Подставляя заданные значения в формулу (2.68), получаем
.
С помощью формулы (2.69) находим искомую интенсивность отказов:
отказ/ч.
Пример 2.18. Время безотказной работы устройства подчиняется закону Вейбулла с параметрами k = 1,5 λ0 = 10–4 1/ч, время работы t = 100 ч. Требуется вычислить количественные характеристики надежности устройства.
Решение. Определим вероятность безотказной работы по формуле (2.68)
Р(100) = exp(–10–4·1001,5) = 0,9.
Частота отказов определяется по формуле (2.67)
а(100) = 10–4·1,5·1000,5·0,9 = 1,35·10–3 1/ч.
Интенсивность отказов определяем по формуле
1/ч.
Вычислим среднюю наработку до первого отказа по формуле (2.70). Вычислим вначале значение гамма-функции. В нашем случае х = (1/k)+1 = (1/1,5)+1 = 1,67, тогда Г(х) = 0,9033. Подставляя значение Г(х) и параметры распределения λ и k в выражение для Т1, получим
Т1 = 0,9033/(10–4)1/1,5 = 418 ч.
Пример 2.19. Определить вероятность безотказной работы устройства для экспоненциальной модели и модели Вейбулла через 105 ч работы при условии, что Р = 0,99 за время работы t = 1000 ч.
Решение. В случае экспоненциальной модели интенсивность отказов λ = 10–5 1/ч.
В случае модели Вейбулла при k = 0,5 λ0 = –lnP(t)/tk =0,000316. Следовательно, через 105 ч работы вероятность безотказной работы, прогнозируемой по экспоненциальной модели, равна Рэ = exp(–10-5·105) = 0,37. Прогноз по модели Вейбулла Рв = exp(–0,000316·102,5) = 0,905. Следовательно, выбор правильной модели надежности не безразличен для практики.
Выбор модели надежности – сложная научно-техническая проблема. Она может быть удовлетворительно решена стандартными методами математической статистики, если имеется большой статистический материал об отказах исследуемых объектов. В случае приближенных оценок часто выбирается экспоненциальная модель как наиболее удобная с точки зрения аналитических преобразований. Экспоненциальную модель рекомендуется применить при выполнении расчетов надежности в случае отсутствия других исходных данных для расчета, кроме интенсивности отказов. В случае наличия более полных исходных данных целесообразно пользоваться другой, более точной моделью, например моделью Вейбулла.
На этом заканчивается нахождение распределений наработки до отказа и соответствующих им вероятностей безотказной работы и интенсивностей отказов.