5.2. Аналитические модели объектов диагностирования

Аналитическими моделями являются различные функции, связывающие между собой измеряемые диагностические параметры объекта с параметрами блоков или элементов, входящих в состав объекта. Аналитическая модель объекта задается в общем виде, исходя из следующих соображений. В основе функционирования технических объектов лежат различные виды преобразования информации. В качестве физических носителей информации выступают сигналы, возбуждающие объект (входные сигналы), а также сигналы, характеризующие состояние возбужденного объекта (выходные сигналы). Предполагается, что объект задан как преобразователь информации, если известен его оператор W (рис. 5.1), отображающий закон преобразования входного сигнала X(t) в выходной сигнал Y(t). Стрелкой указано направление потока преобразуемой объектом информации. Полюса 1 и 2 являются входом и выходом и служат для информационной связи объекта с внешней средой.

Исходя из представленной схемы преобразования информации, аналитическая модель объекта задается выражением

, (5.1)

где X(t), Y(t)  векторы входного и выходного сигналов. В зависимости от полноты учета факторов, влияющих на техническое состояние объекта, оператор W может быть выражен дифференциальным уравнением или системой дифференциальных уравнений, передаточной функцией или функциональной зависимостью переменной Y от аргумента X. Если при оценке технического состояния объекта учитываются переходные процессы, возникающие при динамическом режиме работы, то оператор W задается одним или несколькими дифференциальными уравне­ниями либо передаточной функцией. Если влияние переходных процессов невелико, то оператор W вырождается в функциональную зависимость Y = f (X).

Пример 5.1. На рис. 5.2 показан объект, представляющий твердое тело массой М, опирающееся на пружину. Свобода движения тела ограничена неподвижными направ­ля­ющими так, что допускается только верти­кальное поступательное перемещение. Приложенная сила F(t) действует по верти­кали. Между телом и направляющими возникает вязкое трение, которое проявляется как сопротивление поступательному дви­же­нию. Составим уравнение движения объек­та, применяя второй закон Ньютона:

, (5.2)

где Y  перемещение тела по вертикали от положения равновесия; kY  упругая сила пружины с коэффициентом жесткости k; BdY/dt  сила трения. Это уравнение является аналитической моделью объекта, представленной в форме дифференциального уравнения, и определяет взаимосвязь между действующей силой F(t)  X(t) (входная величина) и перемещением Y(t) (выходная величина). В стационарном режиме работы, когда производные обращаются в нуль, уравнение (5.2) принимает вид:

, (5.3)

т.е. превращается в функциональную зависимость между силой и перемещением.

Пример 5.2. Объектом диагностирования является делитель напряжения (рис. 5.3). Урав­не­ние, связывающее U_ВЫХ = Y(t) и U_ВХ = X(t), имеет вид:

. (5.4)

При использовании операторной формы записи уравнение (4.4) принимает вид:

, (5.5)

где

В данном примере аналитической моделью объекта является оператор

. (5.6)

Если не учитывать переходные процессы, то W = k₂, и уравнение (5.5) превращается в функциональную зависимость

. (5.7)

Достоинствами аналитических моделей являются глубина и полнота описания. Однако при решении задач, связанных с обнаружением возникающих отказов, использование аналитических моделей объектов диагностирования связано с выполнением трудоемких и громоздких вычислений. Поэтому данный метод представления технических объектов имеет на практике ограниченное применение.