Данилов. Подбор сечения сжатой стойки

рить об устойчивости деформации сжатия. Таким образом, расчет на прочность для сжатого стержня оказывается недостаточным.

Задача расчетчика заключается в том, чтобы для заданного стержня назначить максимальную нагрузку, при которой прямолинейная форма равновесия оставалась бы устойчивой при всех условиях эксплуатации, или при заданной нагрузке осуществить подбор параметров сжатого стержня.

Допускаемая нагрузка находится как отношение критической нагрузки к коэффициенту запаса устойчивости.

F Fкр Ку . (1)

Критическая нагрузка определяется в зависимости от геометрических параметров и условия закрепления стержня, которые определяют гибкость

Рисунок 2 Все стержни по гибкости (см. рисунок 2) могут быть разделены

на три группы.

11

1. Стержни большой гибкости (длинные и тонкие) теряют устойчивость прямолинейной формы равновесия при напряжениях, меньших предела пропорциональности, для которых критическая нагрузка определяется по формуле Эйлера.

2. Стержни средней гибкости, теряющие устойчивость прямолинейной формы равновесия при напряжениях, больших предела пропорциональности и меньших предела текучести (прочности), для которых критические напряжения определяются по формуле Ясинского Ф.С.

3. Стержни малой гибкости (толстые и короткие), которые вплоть до разрушения сохраняют прямолинейную форму равновесия. Для них критическая нагрузка совпадает с предельной.

Константы формулы Ясинского Ф.С. для некоторых материалов приведены в таблице 3.

Таблица 3

Коэффициент запаса устойчивости Ky назначают, исходя из гибкости стержня. С увеличением гибкости вероятность увеличения такого начального несовершенства, как начальная кривизна оси стержня, возрастает, в связи с чем, зависимость Kу=K(λ) принимают (рисунок 3):

при 0< λ< λ0 возрастающей по параболическому закону:

Рисунок 3

Безразмерные величины А и В зависят от материала и их принимают: для пластических материалов А=1.8 , В=1.2; для чу-

гуна А=5 , В=0.5; для дерева А=2.8,В=0.4.

СНиП II-23-81 рекомендует производить расчет на устойчивость по коэффициенту снижения основного допускаемого напряжения

для которого составлены таблицы в зависимости от гибкости и материала.

Условие устойчивости с коэффициентом φ записывается через допускаемое напряжение по сжатию

13

и позволяет вести расчет как в пределах упругости, так и за пределом упругости.

Суть этих расчетов показана на нижеследующих примерах:

Пример 1

Рисунок 4

I. Подобрать размер указанного сечения.

II. Для найденного сечения определить критическую и допускаемую нагрузки.

Решение:

I. Проектировочный расчет производим из условия устойчи-

вости

A N сж .

Так как в условие входят два неизвестных A и φ, то одним из них нужно задаться. Значения φ ограничены множеством от единицы до близких к нулю, поэтому проще задаваться этими значениями.

Вопрос заключается в том, какое значение принять?

Ответ становится известным в результате нескольких приближений. В качестве первой попытки примем среднее, но преж-

14

де, для удобства вычислений, найдем зависимость гибкости нашей стойки от коэффициента φ.

Подставляя это выражение в гибкость и заменяя в нем F по условию устойчивости, получим простую зависимость

Это означает, что искомый коэффициент находится в интервале 0,268 - 0,5. Поэтому следующее приближение принимаем

2. 1 0,5 0,268 0,384, 2

находим 111,80,384 69,3.

В таблице находим: 69,3 70 60 70 0,7 0,347. 10

Это означает, что искомый коэффициент находится в интервале

0,347 – 0,384, поэтому

15

3.

Принимаем а = 16,5 см; а0 = 9,9 см, но, прежде, чем этот результат станет ответом задачи, нужно проверить выполнение условия устойчивости:

вычисляем радиус инерции

Ответ: a = 16,5 см а0 = 9,9 см.

II. Приняв размеры сечения в соответствии с предыдущим расчетом, определяем критическую нагрузку.

Так как λ ст =65.5 < λ 0, то критическую силу определяем по формуле Ясинского Ф.С.

Для чугуна:

16

кр a b c 2 776 12 65,6 0,053 65,62 216,9МПа.

Fкр кр A 216,9 106 0,1652 0,64 3779,3 кН.

Определяем коэффициент запаса по устойчивости:

Заданная и допускаемая нагрузки оказываются близкими Решение закончено.

Пример 2

Сохраним условие предыдущей задачи, заменив сечение. Пусть сечение состоит из двух неравнополочных уголков. Материал Ст.3.

Рисунок 5

Прежде всего, для составного сечения решают задачу о геометрических характеристиках для главных центральных осей сечения. Центр тяжести определяется как точка пересечения прямой, соединяющей центры тяжести двух уголков, и оси симметрии составного сечения.

Осевые моменты относительно главных осей запишутся в

виде

17

Так как Jyc может быть увеличен сколько угодно, за счет па-

раметра a, то минимальным принимаем Jxc . Тогда

Подбор сечения для стандартного профиля сводится к проверочному расчету, т.е. задавшись номером уголка, можно вычислить гибкость стойки, коэффициент φ и проверить выполнение условия устойчивости, т.к. площадь приводится в таблице сортамента. Из условия прочности можно определить номер уголка, меньше которого брать нельзя.

Внашем случае

АN 720 103 4,5 10 3 м2 ,160 106

Проверим выполнение условия устойчивости

720 103 126,56 МПа .

0,844 2 33,7 10 4

18

Условие устойчивости выполняется, недонапряжение составляет порядка 20%. Можно попробовать другой номер и уменьшить процент недонапряжения.

Определим расстояние а из условия равенства моментов инерции относительно главных осей.

Определим критическую и допускаемую нагрузки.

Так как λст < λ0 , σкр = a-bλ

Fкр 2 33,7 10 4 310 1,14 63,2 106 1,609 106 Н.

Вычисляем коэффициент запаса устойчивости

F Pкр 1,609 106 0,721 106 H 721 кН. Ky 2,23

ЛИТЕРАТУРА

1.Сопротивление материалов / под ред. А.В.Александрова. - М.: Стройиздат, 2000.

2.Фесик С.П. Справочник по сопротивлению материалов.- 2-е изд. - Киев, 1982.

19