- •Комбинаторные формулы
- •Случайный эксперимент, элементарные исходы, события.
- •Классическое определение вероятности.
- •Статистическое определение вероятности.
- •Геометрическая вероятность
- •Непрерывное вероятностное пространство.
- •Формулы сложения вероятностей.
- •Условные вероятности.
- •Формула полной вероятности.
- •Формула Байеса
- •Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.
- •Случайная величина, распределенная по закону Бернулли.
- •Асимптотические формулы для формулы Бернулли.
- •Дискретные случайные величины.
- •Математическое ожидание случайной величины.
- •Дисперсия случайной величины.
- •Свойства дисперсии.
- •Биномиальный закон распределения.
- •Непрерывные случайные величины.
- •Совместное распределение двух случайных величин.
- •Коэффициент корреляции.
- •Распределение Стьюдента.
- •Распределение Фишера.
- •Математическая статистика.
- •Выборочный метод.
- •Вариационный ряд.
- •Точечные оценки параметров генеральной совокупности.
- •Интервальные оценки.
- •Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии.
- •Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии.
- •Доверительный интервал для дисперсии нормального распределения.
- •Задачи статистической проверки гипотез.
- •Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии.
- •Проверка гипотезы о равенстве дисперсий.
- •Проверка статистической значимости выборочного коэффициента корреляции.
7
x |
х1 |
¼ |
xi |
¼ |
xn |
Р |
p11 |
¼ |
pi1 |
¼ |
p1n |
|
|
|
|
|
|
h |
y1 |
¼ |
yj |
¼ |
yk |
Р |
p12 |
¼ |
p2j |
¼ |
pk2 |
то математическое ожидание произведения этих случайных величин можно представить следующим образом:
|
|
|
|
|
|
n k |
х |
y |
|
p1 p2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
М(xh) = å å |
j |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
i =1 j =1 |
i |
|
i j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
k |
2 |
1 |
k |
2 |
|
|
|
1 |
k |
2 |
1 k |
2 |
= |
= х1 p1 |
åy j p j |
+х2 p2 |
åy j p j |
+¼+ хi pi |
åy j p j |
¼+ хn pn åy j p j |
||||||||
|
j =1 |
|
|
j =1 |
|
|
|
|
|
j =1 |
|
j =1 |
|
|
n
= х1 p11 Mh + х2 p12 Mh + ¼+ хi p1i Mh¼+ хn p1n Mh = Mh åxi pi = Мx×Мh
i =1
Дисперсия случайной величины.
Дисперсия Dx случайной величины x определяется формулой
Dx = M(x – Mx)2
Дисперсия случайной величины — это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.
Рассмотрим случайную величину x с законом распределения
x |
1 |
2 |
3 |
Р |
1 |
1 |
1 |
|
6 |
2 |
3 |
Вычислим её математическое ожидание.
Mx = 1× 16 + 2× 12 + 3× 13 = 136
Составим закон распределения случайной величины x – Mx
x |
x |
7 |
1 |
5 |
|
– M |
- 6 |
- 6 |
6 |
Р |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
6 |
2 |
3 |
а затем закон распределения случайной величины (x – Mx)2
(x– Mx)2 |
|
1 |
|
25 |
49 |
|
|
36 |
|
36 |
36 |
Р |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|
3 |
6 |
Теперь можно рассчитать величину Dx :
26
8
Dx = 361 × 12 + 3625 × 13 + 3649 × 16 = 1736
Используя определение дисперсии, для дискретной случайной величины формулу вычисления дисперсии можно представить в таком виде:
n
Dx = å xi - Mx 2 pi
i =1
Можно вывести ещё одну формулу для вычисления дисперсии:
|
|
n |
n |
xi |
2 - 2xi Mx + M 2x pi = |
|
|
Dx = å xi - Mx 2 pi = å |
|||||
|
|
i =1 |
i =1 |
|
|
|
n |
2 p |
n |
n |
|
|
- 2Mx × Mx + M 2x = |
= åx |
- 2Mxåx p |
+ M 2xå p = Mx2 |
||||
i |
i |
i i |
i =1 |
i |
|
|
i =1 |
|
i =1 |
|
|
= Mx2 – M2x
Таким образом, дисперсия случайной величины равна разности математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата её математического ожидания.
Пример.
Найти дисперсию случайной величины, заданной законом распределения
x |
1 |
0 |
Р |
p |
q |
Выше было показано, что Mx = р. Легко видеть, что Mx2 = р. Таким образом, получается, что Dx = р – р2 = pq.
Дисперсия характеризует степень рассеяния значений случайной величины относительно её математического ожидания. Если все значения случайной величины тесно сконцентрированы около её математического ожидания и большие отклонения от математического ожидания маловероятны, то такая случайная величина имеет малую дисперсию. Если значения случайной величины рассеяны и велика вероятность больших отклонений от математического ожидания, то такая случайная величина имеет большую дисперсию.
Свойства дисперсии.
1. Если k – число, то D(kx) = k2 Dx. Доказательство.
27
9
D(kx) = M(kx – M(kx))2 = M(kx – k Mx)2 = M(k2 (x – Mx)2) = k2M(x – Mx)2 =
=k2 Dx
2.Для попарно независимых случайных величин x1, x2,¼, xn справедливо равенство
n n
Dåxi =åDxi
i =1 |
i =1 |
Это свойство оставим без доказательства. Рекомендуем читателю рассмотреть следующий пример.
Пусть x и h – независимые случайные величины с заданными законами распределения:
x |
0 |
1 |
|
h |
1 |
2 |
Р |
0,25 |
0,75 |
|
Р |
0,7 |
0,7 |
Показать, что D(x + h) = Dx + Dh.
28
1
Биномиальный закон распределения.
Пусть заданы числа n Î N и p (0£ p £ 1). Тогда каждому целому числу из промежутка [0; n] можно поставить в соответствие вероятность, рассчитанную по формуле Бернулли. Получим закон распределения случайной величины (назовём её b)
b |
0 |
¼ |
k |
¼ |
n |
Р |
¼ |
¼ |
Cnk pk (1 - p)n-k |
¼ |
¼ |
Будем говорить, что случайная величина b распределена по закону Бернулли. Такой случайной величиной является частота появления события А в n повторных независимых испытаниях, если в каждом испытании событие А происходит с вероятностью p.
Рассмотрим отдельное i-е испытание. Пространство элементарных исходов для него имеет вид
W = {A, A}
Определим на этом пространстве случайную величину xi следующим образом:
xi = 1, если происходит событие А;
xi = 0, если происходит событие A
Закон распределения случайной величины xi рассматривался в предыдущем параграфе.
xi |
1 |
0 |
Р |
p |
q = 1–p |
Mx = ×р; Dx = рq
Для i = 1,2,¼,n получаем систему из n независимых случайных величин xi, имеющих одинаковые законы распределения. Если теперь сравнить законы
n
распределения двух случайных величин b и åNi , то можно сделать очевидный
i =1
n
вывод: b = åNi . Отсюда следует, что для случайной величины b, имеющей
i =1
2
закон распределения Бернулли, математическое ожидание и дисперсия определяются формулами
n n n
Mb = M åξi = åMξi = å p = np;
i =1 |
i =1 |
i =1 |
n |
n |
n |
Db = D åξi = åDξi = å pq = npq
i =1 i =1 i =1
Найдём оценку величины р — вероятности успеха в одном испытании некоторого биномиального эксперимента. Для этого проведём n испытаний и подсчитаем х – число успехов. Оценку р* неизвестной величины р определим
формулой р* = nx .
Пример.
Из 20 отобранных для контроля образцов продукции 4 оказались нестандартными. Оценим вероятность того, что случайно выбранный экземпляр
продукции не отвечает стандарту отношением р* = 4/20 = 0,2.
Так как х случайная величина, р* – тоже случайная величина. Значения р* могут меняться от одного эксперимента к другому (в рассматриваемом случае экспериментом является случайный отбор и контроль 20-ти экземпляров продукции). Каково математическое ожидание р*? Поскольку х есть случайная величина, обозначающая число успехов в n испытаниях по схеме Бернулли, Мx = np. Для математического ожидания случайной величины р* по определению
получаем: Mp* = Mçæ |
x |
÷ö |
, но n здесь является константой, поэтому по свойству |
||||
|
|||||||
è n ø |
|
|
|
|
|
||
математического ожидания |
|
|
|
|
|||
|
|
|
Mp* = |
1 |
Mx = |
1 |
np = p |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
n |
n |
Таким образом, “в среднем” получается истинное значение р, чего и следовало ожидать. Это свойство оценки р* величины р имеет название: р* является несмещённой оценкой для р. Отсутствие систематического отклонения от величины оцениваемого параметра р подтверждает целесообразность использования величины р* в качестве оценки. Вопрос о точности оценки пока оставляем открытым.