4.6.2.ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КАРТОГРАФИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ (КАРТОГРАФИЧЕСКОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ) ИСХОДНЫХ КАРТ В ЗАДАННЫЕ ПРОЕКЦИИ

ческих комплексов, включающих ЭВМ и состыкованные с нею внешние устройства ввода и вывода изображения, а также разработку соответствующих методик, алгоритмов и программ, обеспечивающих строгое решение данной задачи.

Поскольку формулы проекций (350), в которых создаются карты известны (могут быть получены заблаговременно), то задача преобразования закл ю ч ается в том, чтобы найти

ге о д е з и ч е с к и х к о о р д и н а т то ч ек по их п р я м о у г о л ь н ы м к о о р д и н а т а м д л я б о л ь ш и н с т в а из н а и б о л е е ш и р о к о

го

х

q = lnU = -----изометрические широты;

'о где х, у - прямоугольные координаты точек проекции;

г0 - радиус кривизны параллели с широтой заданной

где U вычисляется по (22), (23);

е- основание натуральных логарифмов;

е- первый эксцентриситет эллипсоида.

Разложив в ряд Тейлора формулу изометрической широты In U , получаем

Ф = ср' + с2 sin 2ф' + с4 sin 4ф' + с6 sin 6ф'+ с8 sin 8ф'+..., (354)

где с,, с4,с6, cg - постоянные коэффициенты

Ф = arcsin (siru cosacc^ o + cos z sin ф 0 );

X = X0 + arcsin(sin z sin a sec ф),

где z, й - полярные сферические координаты с полюсом в заданной точке ф0, Х0 ;

R - радиус шара (часто принимают

Zk - зенитное расстояние ал ьмук антарата, на котором частные масштабы равны единице).

Равноугольная азимутальная проекция эллипсоида

Равноугольная проекция Гаусса-Крюгера и UTM

Применительно к эллипсоиду Красовского формулам для о п р е д е л е н и я г е о д е з и ч е с к и х к о о р д и н а т можно п р и д а т ь следующий вид

Ф = Фх + [[[fl28^'2 - a lb\ z ' 2 + fl24 Z'2 - 1 Z'2a22;

I = к - Х 0 = [[[^ n Z '2 + *15У ' 2 + ьп У ' 2 + * Z',

где

Фх = |^2382cos2 р + 293609jcos2 р + 50221747 sinpcosp Ю"10 + Р;

a24 = [(o,0056154-0,0000151 cos2 фх)со52 фх +0,1616128 cos2 ф х +

+ 0,25;

a26 = |^0,00389cos2 фх + 0,04310)cos2 Фх - 0,00168]cos2 Фх + 0,125;

a2S = |(0,013cos2 фх + 0,008)cos2 фх - 0,031 cos2 ф х + 0,078;

Равнопромежуточная вдоль меридианов цилиндрическая проекция эллипсоида

Имеем в этой проекции

*) В России и в странах СНГ при получении картографических проекций используется левая система прямоугольных координат, в США и в некоторых других странах - правая система.

Равнопромежуточные вдоль меридианов конические проекции эллипсоида

Из формул этой проекции получаем

/

аVP» - X )

Псевдоцилиндрическая трапециевидная проекция

Из формул ее прямоугольных координат находим

У*

где a v а2, к - параметры проекции.

Используя значения s, определяем по (364) значения т и ш ироты ф точек. О п р е д е л ен и е долгот точек проекции трудностей не вызывает.

Равновеликая коническая проекция

Из ф ормул прямоугольных координат этой проекции получаем

(367)

Обращая ряд (183), будем иметь

(368)

где Ь - малая полуось эллипсоида (b — 6356863.0188 - для эллипсоида Красовского);

а, с - параметры проекции; рю - полярное расстояние южной параллели картогра­

фируемой территории.

Вычислив по (367) значения т , находим по (368) широты

точек. Определение их долгот трудностей не вызывает.

Псевдоконическая равновеликая проекция Бонна

Для этой проекции получаем

(369)

где рю, фо - заданы.

Получив из (369) значения S, находим по (364) величины т и широты ф искомых точек. После этого нетрудно из (369) определить долготы этих точек.

Видоизмененная простая поликоническая проекция

Из формул этой проекции (см. п.2.3.2.3.) получаем

второй итерации. Подставив эти значения в правые стороны,

вычисления повторяются до получения необходимой точности. За искомые величины геодезических координат принимаем

Ф = Фю + 4Л(Л) и X = Х^п) , полученные в последней итерации.

4.6.2.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ КООРДИНАТ ТОЧЕК ПО ПРЯМОУГОЛЬНЫМ КООРДИНАТАМ ПРОЕКЦИЙ ЭЛЛИПСОИДА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА ИТЕРАЦИЙ

П р о е к ц и и э л л и п с о и д а по виду основны х ф у н к ц и й , использованных при их получении, могут быть подразделены на:

- проекции типа проекций Гаусса-Крюгера и UTM;

- проекции, в формулы которых входит изометрическая

ческих трапеций.

При этом, в ф орм улы большинства проекций входят постоянные параметры, значения которых необходимо иметь при выполнении указанных преобразований.

Решение задачи определения геодезических координат по прямоугольным координатам проекции Гаусса-Крюгера и UTM рассмотрено выше в разделе 3.

К проекциям эллипсоида, в формулы которых входит изометрическая широта, относятся равноугольные цилиндри­

U =

[(р* - * ) 2 + У2] 2

где к, а - постоянные параметры проекции.

В равноугольной азимутальной проекции эллипсоида, применяемой для картографирования полярных областей, а = 1 •

В азимутальных проекциях для любых областей, кроме полярных

В случае картографирования любых территорий, кроме полярных, имеющих округлую форму, проекция Лагранжа приним ается за равноугольную ази м уталь н ую проекцию эллипсоида, в которой а = 1.

Определение геодезической широты Ф осуществляется по формуле (371) методом итерации в следующей последователь­

широту ф(2) во второй итерации.

Вычисления повторяются до тех пор пока в двух смежных итерациях ф(л) - ф*л-1) < е - допустимой величине.

Искомые широты рассматриваемой проекции будут равны

Ф = Ф Долготы точек легко определить по следующим формулам

- для цилиндрических проекции

У_

Го

- для конических проекции

1

X= —arctg

а_(р» - *)

для азимутальных проекций на полярные области

- для проекции Лагранжа

2 у - к

X = — arctg

а

- для азимутальных проекций на любые области, кроме полярных

2у • к

X = arctg

к2 - (х2 + у 2

Кпроекциям эллипсоида, содержащие формулы длин дуг

м е р и д и а н о в , о т н о с я т с я р а в н о п р о м е ж у т о ч н ы е в д о л ь меридианов цилиндрические, конические, а зи м у т а л ь н ы е проекции эллипсоида, трапециевидная псевдоцилиндрическая проекция, псевдоконическая проекция Бонна и некоторые

а, Ь - большая и малая полуоси эллипсоида.

а4 = 0.0000026428; ав = 0.00000000345.

З начения длины дуги меридианов s определяю тся по прямоугольным координатам указанных проекций.

Для цилиндрических проекций получаем

S = х .

При и сп ользовании коническ их и псевд о к о н и ч еск и х проекций имеем

Для трапециевидной псевдоцилиндрической проекции

х

-для цилиндрических проекций

-для конических проекций (азимутальных при а = 1 )

-для псевдоконических проекций

равновеликие цилиндрические, конические и азимутальные

S= х г 0;

-в равновеликих конических (азимутальных при а = 1 на полярные районы) проекциях

Г е о д е з и ч е с к и е ш и р о т ы то ч е к в ы ч и с л я е м с у ч ето м формулы (375) методом итерации, аналогично рассмотрен­ ному выше (при использовании формулы (373)).

Долготы точек вычисляем по формулам:

-для цилиндрических проекций

=у / г 0 ;

-для конических (азимутальных при а = 1 на полярные районы)

методом итераций является достаточной для решения задач картографии, фотограмметрии и большинства задач геодезии уже при выполнении только 3-4 приближений.

4.6.2.3. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КАРТОГРАФИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ НА ОСНОВЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПОЛИНОМОВ

Составим обобщенный полином, включающий в качестве составных частей гармонический и степенной алгебраический полиномы

Здесь г; - члены, отличающие полиномы от функциональных

ляются по способу наименьших квадратов из решения систем у р а в н е н и й вида (376) с о с т а в л е н н ы х д л я достато ч н о го

количества опорных точек, координаты которых определены

комплексов представляется возможным осуществлять общее преобразование на основе использования аппроксимирующих зависимостей, например, полиномов (376).

П ри в ы п о л н е н и и э ти х п р е о б р а з о в а н и й н ео б х о ди м о учитывать различия проекций по характеру искажений, по

х а р а к т е р у с и м м е т р и ч н о с т и к а р т о г р а ф и ч е с к о й с е т к и относительно среднего меридиана и экватора (см. п.1.1.6).

Так, например, при преобразованиях одних равноуголь­ ных проекций в другие или любых проекций в равноугольные следует использовать гармонические полиномы. Поэтому для в ы п о л н е н и я этих п р е о б р а з о в а н и й с л е д у е т п о л о ж и ть в выражениях (376) все коэффициенты a-j - а -- - 0, а\ = ai .

В случаях преобразования одних равновеликих проекций в другие, а также любых по характеру искажений проекций в р а в н о в е л и к и е м о ж н о в о с п о л ь з о в а т ь с я м е т о д и к о й определения равновеликих проекций по эскизам картографи ­ ческих проекций, рассмотренной в п.4.2.2.4.

При выполнении преобразований других по х арактеру искажений проекций в полиномах (376) сохраняются все виды к о э ф ф и ц и е н то в , однако эти полиномы не обеспечиваю т строгого учета характера искажений получаемых проекций. При выполнении таких преобразований можно воспользовать­ ся и другими полиномами, например, рассмотренными в п.4.2.2; 4.5.2.2 и п.4.5.5.

Точность преобразований на аналитических комплексах с использованием аппроксимирующих зависимостей будет ниже, чем при использовании соответствую щ их строгих формул и зависеть от многих факторов: количества опорных то ч ек , их вза и м н о г о р а с п о л о ж е н и я , к о н к р е т н о г о вида используемых полиномов, количества сохраняемых в них членов и т.п.

Однако, во многих случаях эта точность будет вполне у д о в л е т в о р я т ь п о т р е б н о с т и п р а к т и к и , а п о л у ч а е м ы е математическ ие зависимости и алгоритм преобразования проекций будут проще.

В т е х с л у ч а я х , ко гд а о т с у т с т в у ю т а н а л и т и ч е с к и е

комплексы, преобразования проекций (изображений) могут в ы п о л н я т ь с я на основе и с п о л ь з о в а н и я с у щ е с т в у ю щ е й техники: дифференциальных, электронных и оптикомехани­ ческих трансформаторов, оптических камер, механических устройств (например, вида “пантограф”) и других.

В этом случае общее преобразование, выражаемое (376), заменяется соответствующим частным преобразованием и выполняется последовательно (по малым участкам, площади которых устанавливаются из расчета обеспечения заданной точности преобразований).

Н априм ер, при и спользовании ф о то тр а н с ф о р м а то р о в (типов ФТБ, ФТМ, SEG.1 и др.) представляется возможным осуществлять следующие виды преобразований:

- преобразование подобия

X= ах\

Y- ау \

-аффинные преобразования

X- а0 + ахх + а2у у’

Y= Ь0 + Ь\Х + Ь2у ;

-томографические преобразования

4.6.3. АВТОМАТИЗИРОВАННЫЙ ВЫБОР

положениями, которые были рассмотрены в п.4.3.

Как о тм ечалось выше, о п р е д ел я ю щ ее з н а ч е н и е при установлении совокупности проекции, из которой следует

получающие безусловную значимость для создания данной

обязательному учету, выполняется ранжировка (иерархия) всех прочих факторов данной группы и группы факторов, характеризующих получаемую картографическую проекцию, определяется относительная значимость каждого из них при решении задачи выбора конкретной проекции.

На основе решения этой задачи формируется обобщенный критерий оценки достоинства картографических проекций в

86—Акп/Акптах 1, 83 ^тЛЧтах Ь е9 ^£/^тах

и др.

Здесь обозначено: а, Ъ - экстремальные частные масштабы длин; к ср - средняя кривизна изображения геодезической

кривизны параллели в j -ой точке проекции и заданного ее

При вычислении этих величин могут быть использованы формулы общей теории картографических проекций, раздел 1, п.2.

Каждый из этих частных критериев дает характеристику проекции в каждой ее точке.

Если рассматривать получение или выбор проекции с точки зрения наиболее полного удовлетворения указанных критериев, то в целом для данной карты лучшей проекцией будет та, в которой принимает наименьшее значение (в пределах изображаемой области) частные функционалы (по каждому из указанных критериев г] ) вида

Для определения функционалов Е} достаточно разбить изображаемую область на малые участки, в средних точках каждого из них вычислить значения частных критериев и найти их средние арифметические значения

где п - количество участков; к - номера участков, в которых вычислены значения г ] .

Теперь обобщенный критерий можно представить в виде

где Р. - веса значимости факторов (частных критериев). Предлагаемый обобщенный критерий учитывает большин­

ство из в о з м о ж н ы х т р е б о в а н и й к к а р т о г р а ф и ч е с к и м проекциям. При этом они представлены в формализованном виде и в относительных величинах, что дает возможность сопоставления и одновременного учета самых разнообразных требований к проекциям.

В каждом конкретном-случае значимость факторов будет меняться, и в обобщенный критерий, ф орм и руем ы й для выбора проекции данной (создаваемой) карты, будет, как

ф и ч е с к а я и н ф о р м а ц и я о п р е д е л я е т с я и о ц е н и в а е т с я преимущественно визуально, значимость факторов P r Pv Pv Ps, Р9, Р]0может быть принята равной нулю и обобщенный к р и т е р и й с и з м е н е н н о й с о о т в е т с т в е н н о р а н ж и р о в к о й принимает вид

Вопрос об объективном определении значимости факторов и их строгой ранжировке при выборе проекций для создания конкретных карт требует дальнейших исследований.

Используя обобщенный критерий, вычисляют для всех к ар тограф ических проекций установленной совокупности