Диференціальне рівняння однопараметричної дифузійної моделі

Структуру потоку, що відповідає однопараметричній дифузійній моделі, можна представити так (див. рис. 2.12): деяка технологічна речовина переміщається із середньою лінійною швидкістю у поздовжньому каналі, уздовж якого відбувається перемішування речовини за рахунок прямого і зворотного потоків при рівномірному розподілі концентрації речовини в напрямку, перпендикулярному до руху. При складанні математичного опису такої моделі беруть такі припущення:

• зміна концентрації речовини є безперервною функцією координати (відстані по довжині каналу);

• концентрація речовини в кожному перерізі стала;

• об'ємна швидкість потоку , де‑ площа поперечного перерізу каналу, і коефіцієнт поздовжнього перемішуванняне змінюються по довжині й перерізу потоку.

Виділимо в розглянутому потоці елементарну -ту комірку (див. рис. 2.12), обмежену-м і-м перерізами, об'ємом, висотою (довжиною)і площею поперечного перерізу. Позначимо— потік (кількість речовини), що проходить через-й переріз;— потік (кількість речовини), що проходить через-й переріз;— об'єм елементарної-ї комірки.

Виразимо кількість речовини, що надходить у -ту комірку () і виходить із неї (), що можна показати рівняннями

, (2.2-31а)

, (2.2-31б)

де ,— лінійна швидкість прямого й зворотного потоку;,,— концентрація речовини в елементарних комірках (індекс комірки відповідає індексу концентрації, яка у межах кожної елементарної комірки береться сталою).

Якщо використати співвідношення між лінійними швидкостями потоків і замінити в рівняннях (2.2-31а) і (2.2-31б) швидкістьна суму, а також увести позначення для збільшення концентрації,, то з урахуванням умовирівняння (2.2-31) набувають вигляду

, (2.2-32а)

. (2.2-32б)

У загальному випадку, коли на вході виникає збурювання по потоку, рівновага вхідного й вихідного потоків не дотримується, тобто потік не дорівнює, і зміна маси речовин в неусталеному режимі за часвиразиться так:

. (2.2-33)

Після підстановки значень (2.2-32а) і(2.2-32б)у рівняння (2.2-33) і нескладних перетворень одержуємо

. (2.2-34)

Розділимо обидві частини рівняння (2.2-34) на об'єм , а також скористаємося тим, що

, (2.2-35)

де — зміна концентрації в розглянутій елементарній-й комірці;— значення концентрації до початку збурювання (константа);— концентрація в будь-який момент часу після внесення збурювання (змінна величина). Тоді з урахуванням

. (2.2-36)

Оскільки не залежить від, внесемо під знак інтеграла величинуі помножимо перший доданок на, у результаті одержимо

. (2.2-37)

Рівняння (2.2-37) диференціюємо за часом і виконуємо граничний перехід при :

. (2.2-38)

Проаналізуємо границю, що становить праву частину рівняння (2.2-38)

і. (2.2-39)

Якщо в першому доданку правої частини рівняння (2.2-38) , то рівняння (2.2-38) перетворюється в математичний опис моделі ідеального витіснення, що суперечить початковій умові задачі, яка передбачає наявність перемішування уздовж потоку. Отже, ця границя не може дорівнювати нулю; оскільки вона характеризує зворотний потік, що є причиною поздовжнього перемішування. Тому ця границя ‑ цематематичний запис параметра, щохарактеризує зворотне перемішуванняв елементарній комірці й у всьому потоці, тобто

. (2.2-40)

З урахуванням значень границь, що становлять праву частину виразу (2.2-38), його можна переписати так:

. (2.2-41)

Рівняння (2.2-41) записано без індексу на тій підставі, що для комірки із будь-яким іншим індексом можна одержати аналогічний вираз. Ця залежність характеризує зміну концентрації по довжині зони, для якої справедлива однопараметрична дифузійна модель, і є рівнянням однопараметричної дифузійної моделі в диференціальній формі. Вид рівняння показує, щодифузійна модель характеризується розподіленими параметрами. Необхідно зазначити, що за відсутності поздовжнього перемішування () рівняння перетворюється в рівняння моделі ідеального витіснення, що повністю відповідає фізичному уявленню про однопараметричну дифузійну модель як про модель витіснення, ускладнену поздовжнім перемішуванням.Коефіцієнт поздовжнього перемішування, м²/год,знаходиться дослідним шляхом або обчислюється за розрахунковими формулами, складеними для апаратів різних типів. При експериментальному визначенні коефіцієнта поздовжнього перемішуванняйого, як правило, представляють у вигляді безрозмірного комплексу. При цьому використовують критерій Пекле, деL— визначальний лінійний розмір зони (системи). Тоді коефіцієнт поздовжнього перемішування у безрозмірній формі має вигляд

. (2.2-42)

Безрозмірний комплекс — , який іноді називають «зворотним критерієм Пекле», характеризує тільки поздовжнє перемішування. Якщо замість середньої лінійної швидкості потокуу рівняння (2.2-41) підставити її вираз через об'ємну швидкість і площу поперечного перерізу, то рівняння, що описує зміну концентрації в зоні, для якої справедлива однопараметрична дифузійна модель, набуває вигляду

, (2.2-43)

де — поперечний переріз потоку.

Аналогічне за формою рівняння може бути отримано, якщо розглянути зміну іншої характерної змінної, наприклад, температури T, у потоці теплоносія зі структурою ідеального витіснення, ускладненої поздовжнім перемішуванням. Тоді таке рівняння буде відображати не розподіл речовини, а розподіл температури:

, (2.2-44)

де — коефіцієнт поздовжнього перенесення тепла;— теплоємність речовини потоку теплоносія.