Безруков А.В. ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ

Пример. Выполним операцию Y=A+B, где А(10)=0.625, B(10)=0.5, т.е. суммируем двоичные числа А(2)=0.101 и А(2)=0.100 в дополнительном коде.

*А+доп = 0.101

+

[Y]доп = 1.101

Т.о. при сложении двух положительных чисел получим отрицательный результат (знаковый разряд содержит 1). Преобразуем результат в прямой код:

[Y]доп = 1.111;

т.е Y=-0,875, вместо истинного значения Yи=1,125. Однако переполнение легко обнаруживается, если сравнить знаки слагаемых со знаком суммы. Аналогичный результат получится при сложении двух отрицательных чисел.

Рассмотрим теперь операцию умножения двух чисел с ФЗ. Для представления произведения требуется 2b значащих разрядов плюс один знаковый.

Пример. Выполним операцию Y=A*B, где А(10)=0.625, B(10)=0.375, т.е. перемножим двоичные числа А(2)=0.101, B(2)=0.011. Результат произведения чисел

Y=A*B=0.234375(10)=0.001111(2).

Исходные сомножители содержали b=3, а произведения 2b=6 значащих разрядов.

В заключение отметим, что операции умножения выполняются без переполнения, т.к. абсолютные значения сомножителей <1.

11.2 Квантование чисел и сигналов.

Как мы уже с вами ранее отмечали принципиальным отличием дискретной системы от цифровой является введение в алгоритм обработки цифровой системы операции квантования отсчетов сигналов и коэффициентов системы.

Квантование числа - это его представление с помощью конечного количества (b) значащих разрядов. Операция квантования является нелинейной и вносит в представление квантуемого числа А ошибку

121

где А – число до квантования; F(A) – число после квантования. Шагом квантования Q является расстояние между двумя соседними уровнями квантования. Будем рассматривать операцию квантования с постоянным шагом Q = const. Шаг квантования определяется весом младшего значащего разряда Q=b-2.

Квантование выполняется двумя способами: с помощью округления и усечения.

При округлении числа до b значащих разрядов исходное k-разрядное число (k>b) заменяется на b-разрядное. При этом абсолютная граница ошибки квантования (12.6) при округлении равна

Характеристика нелинейности, соответствующая операции квантования, показана на рис. 11.2,а. Обычно при анализе делается допущение, что все возможные значения ошибки в пределах диапазона (11.7) равновероятны. График плотности вероятности ошибки округления показан на рис. 11.2,б.

P(e)

F(A)

1/Q

Q

Рисунок 11.2

Если при округлении число попадает точно на границу между двумя значениями, то используется округление до ближайшего четного значения. Это позволяет избежать систематической ошибки как, например, в случае округления с избытком (в сторону верхнего значения), так и при округлении с недостатком. Часто процедуру округления до ближайшего четного называют сходящейся или конвергентной.

При усечении k-разрядного числа до b значащих разрядов (k>b) младшие (k-b) разрядов исходного числа отбрасываются. Ошибка квантования (13.6) при усечении удовлетворяет следующим неравенствам:

122

для положительных чисел при любом способе кодирования и для отрицательных в дополнительном коде

Характеристика нелинейности, соответствующая операции усечения для дополнительного кода, показана на 12.3, а. Соответствующая плотность вероятности ошибки квантования изображена на рис. 12.3, б.

P(e)

F(A)

1/Q

Q

Рисунок 11.3

11.2.1 Модели процессов квантования.

Источниками ошибок квантования в цифровых системах являются:

аналого-цифровое преобразование, при котором квантуются дискретные сигналы;

умножения цифровых сигналов, результат которого усредняется или усекается;

квантование коэффициентов цифровой системы (коэффициентов разностного уравнения или передаточной функции).

Квантование - процесс нелинейный. Нелинейная модель процесса квантования показана на рис. 12.4,а, где α(n) – квантуемый сигнал, p(n) – квантованный сигнал. Характеристики нелинейности квантователя при округлении или усечении показаны на рис. 12.2 и 12.3, соответственно. Однако этот процесс можно линеаризовать, представив его в виде, изображенном на рис. 12.4,б, где e(n) – шум квантовании – аддитивный дискретный сигнал.

123

При этом для сигнала ошибки квантования вводятся следующие предположения:

последовательность e(n) является стационарным и эргодическим случайным процессом;

распределение вероятностей ошибок является равномерным по диапазону (см. рис. 11.2,б и 11.3,б);

любые два отсчета последовательности e(n) не коррелированны;

последовательность e(n) не коррелированна с квантуемой последовательностью.

Введение указанных позволяет упростить анализ эффектов квантования сигналов в цифровых системах.

11.3 Шум аналого-цифрового преобразования.

Полный шум систему ЦОС определяется как шумами квантования входного сигнала, возникающими в АЦП, так и собственными шумами цифровой системы – шумом, обусловленным округлениями (усечением) результатов операций, а также квантованием коэффициентов системы. Обычно эти шумы считают независимыми. Раздельное рассмотрение составляющих шума оказывается полезным также для того, чтобы оценивать какой вклад в полный выходной шум вносят отдельные составляющие. Так анализ шумов АЦП позволяет разработчику обоснованно сформулировать требования к АЦП. В данном подразделе получим оценки шума АЦП и выходного шума цифровой системы, обусловленного квантованием выходного сигнала (шума АЦП, приведенного к выходу системы). При этом будем использовать линейную модель процессов квантования входного сигнала (рис. 11.5).

124

Рисунок 11.5

Получим вероятностные оценки (математическое ожидание, дисперсию) и детерминированную оценку (абсолютную границу) шума АЦП при операциях округления и усечения чисел. Математическое ожидание μА и дисперсия σА2 ошибки квантования eA(n) определяются по следующим формулам:

e2 A (n) pA (e)deA (n) A2 E e2 A (n) A2

где pA(e) – плотность вероятности шума квантования, E[ ] – оператор математического ожидания.

Вычислим математическое ожидание и дисперсию шума АЦП при округлении чисел (график плотности вероятностей pA(e) шума квантования показан на рис. 11.2, б).

(подразумевается представление чисел в форме с фиксированной запятой). Выполняя аналогичные преобразования при операции усечения чисел,

получим значения:

A QA / 2 , 2 A Q 2 A / 12 .

Мощность шума квантования в логарифмическом масштабе при округлении равна дисперсии шума АЦП:

(6.02bA 10.79)[дБ]

125

П р и л о ж е н и е 1

П.1.1. Точки разрыва и их классификация

Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки x0 . Кроме самой точки x0 , которая является точкой разрыва. При этом x0 называется ТОЧКОЙ РАЗРЫВА ПЕРВОГО РОДА, если функция f (x) имеет конечные пределы справа и слева в этой точке, т.е. график такой функции имеет в точке разрыва конечный скачок (рис. П.1).

y

x0 x

Рисунок П.2

Рисунок П.1

Во всех остальных случаях x0 называется точкой разрыва ВТОРОГО РОДА и в ней по крайней мере один из пределов справа или слева не существует или равен бесконечности. На рис. П.2 показан график функции

точках промежутка ( ; ) , кроме точек x1 , x2 ,... xk (k – конечное число), где она имеет скачки. Если при этом в промежутке ( ; ) имеется лишь конечное число экстремумов (или их вовсе нет). то ряд Фурье для функции f (x) сходится всюду и сумма его всюду равна

12 [ f (x a) f (x 0)]

129

П р и л о ж е н и е 2

П.2.1. Интеграл от функции комплексного переменного

Рассмотрим комплексную плоскость (рис. П.2.1).

y

Zкон

Zнач

x

Рисунок П.2.1

Возьмем две точки – начальную Zнач и конечную Zкон на плоскости и соединим их какой-нибудь линией. Дадим определение интеграла от

разбита на столь мелкие участки, что дальнейшее их размельчение практически не изменяет величину суммы s . Интеграл будем обозначать так

zнач

Из определения следует, что интеграл множится на -1 при изменении направления интегрирования.

В теории функции комплексного переменного доказывается, что если f (z) - аналитическая функция (т.е. имеет производную) и если в области, ограниченной различными путями интегрирования (см. рис. П.2.1), f (z) нигде не обращается в бесконечность. то интеграл не зависит от выбора

130