DLFE-42802
.pdf
Динамические модели: Germino identity
Необходимость изменения константы модели Смагоринского в зависимости от течения привела к идее автоматического определения константы (Germino-Lilly)
• Кроме основной фильтрации ( |
|
) с размером фильтра |
введем |
ui |
|||
дополнительную фильтрацию ( ui ) с размером фильтра |
1> |
||
•Будем считать, что действие дополнительного фильтра на исходный сигнал и на сигнал, отфильтрованный при помощи основного фильтра приводит к
одинаковому результату ui 
ui 
•Рассмотрим модельные напряжения в отфильтрованных системах уравнений, полученных при помощи следующих фильтров
1. |
Основной фильтр ij |
ui |
|
u j |
|
uiu j |
|
|
2. |
Дополнительный фильтр Tij ui u j |
uiu j |
||||||
3.Последовательное применение основного и дополнительного фильтров
Lij |
ui |
u j |
ui |
u j |
•Lij Tij ij (поскольку фильтрации 2 и 3
приводят к уравнениям относительно 
ui 
) Действительно
Lij 
ij 
ui 
u j 
ui u j 
ui u j 
uiu j 
ui 
u j 
uiu j 
ui 
u j 
uiu j 
Tij
Динамические модели: формулировка Lilly
•Предположим
Что модельные напряжения в случае основной и дополнительной фильтрации описываются моделью Смагоринского
Что константа модели Смагоринского одинакова для обеих процедур фильтрации
•Напряжения можно представить в следующем виде
|
|
|
|
|
|
|
|
2 C |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 C |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
T 2 |
|
|
S |
|
|
|
|
S |
S |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
S |
|
Sij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
t |
1 |
|
ij |
|
|
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ij 2 t |
|
ij |
2 CS 2 |
|
|
|
|
|
|
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
S |
|
S |
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
• Тогда, следуя Germino identity |
|
|
Lij |
Tij |
|
ij |
|
2 CS |
|
|
1 |
|
|
S |
Sij |
|
S |
Sij |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
или Lij 2 CS Mij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где матрицы L |
u |
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
u |
u |
|
и |
M |
|
|
|
|
|
|
|
Sij |
|
|
S |
Sij |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
i |
|
j |
|
|
|
j |
ij |
|
1 |
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
вычисляются путем применения дополнительного фильтра к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
отфильтрованному (LES) полю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
• Для определения константы CS используется метод наименьших |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
квадратов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q Lij 2 CS 2 Mij 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Минимизация функционала |
|
дает значение |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Cs |
|
1 |
|
Lij Mij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 M kl M kl
Динамические модели: недостатки
•При реализации модели Lilly возникают определенные трудности
Правая часть выражения может стать отрицательной
Осреднение по однородному направлению
−Применимо только для простых задач
Ограничение как сверху, так и снизу
−Подсеточная вязкость в значительной степени определяется ограничителями, поэтому теряется динамическая суть модели
Результат очень чувствителен к численной схеме и реализации дополнительной фильтрации
•Причины возникающих проблем
Энергетический спектр Обухова (которому соответствует модель Смагоринского) является осреденным, локальный моментальный спектр может заметно отличаться
Предположение об одинаковости константы Смагоринского для разных фильтров может выполняться «в среднем), но не локально
Предположение об одинаковости константы может нарушаться из-за различий в реализации двух процедур фильтрации
Основная фильтрация обычно неявная
Дополнительная фильтрация обычно состоит в осреднении по нескольким соседним точкам