3 Рівняння (5) отримаємо кутову швидкість:
. (6)
Для визначення маси стержня, скористуємося законом збереження моменту імпульсу для замкненої системи. Оскільки зовнішні сили, що діють у момент зіткнення кулі і стержня, а це сили тяжіння, направлені перпендикулярно їхньому руху то вони імпульси цих тіл не змінюють.
В початковий момент удару кутова швидкість стержня дорівнювала нулю, тому нулю дорівнював його момент імпульсу, а момент імпульсу кулі дорівнював
. (7)
В кінцевий момент удару стержень мав кутову швидкість, тому момент імпульсу стержня дорівнює:
, (8)
а момент імпульсу кули, яка має таку ж кутову швидкість, що і відповідні рочки стержня, дорівнює
. (9)
Застосуємо формулу закону збереження моменту імпульсу:
. (10)
З рівняння (10) отримаємо масу стержня
. (11)
Кутову швидкість з (6) підставляємо у (11) і отримаємо вираз для розрахунку відповіді:
= (12)
Дані умови задачі (виражені в системі одиниць СІ) підставляємо в вираз (12) і отримаємо відповідь:
=
-
На краю платформи у вигляді диска, що обертається за інерцію навколо вертикальної осі з частотою
=
8 хв-1,
стоїть
людина масою m
= 70 кг.
Коли людина перейшла в центр платформи,
вона стала обертатися з частотою
=
10 хв-1.
Визначити масу платформи. Момент
інерції людини розраховувати як для
матеріальної точки.
1.99.
Дано
m
= 70 кг
=
8 хв-1
=
10 хв-1
= ?
Для визначення маси платформи використаємо закон збереження моменту імпульсу в ізольованій механічній системі, який має вигляд:
. (1)
Для системи з двох тіл цей закон можна записати у вигляді:
, (2)
де
- момент інерції людини,
яку вважаємо матеріальною точкою;
- кутова швидкість;
- момент інерції лиска з людиною;
- радіус диска.
У рівняння (2) підставляємо приведені значення моментів інерції
. (3)
З рівняння (3) отримуємо вираз для розрахунку маси платформи:
= (4)
Дані умови задачі (виражені в системі одиниць СІ) підставляємо в вираз (4) і отримаємо відповідь:
=
-
Горизонтальна платформа масою m1 = 150 кг обертається навколо вертикальної осі, що проходить через центр платформи, з частотою
=
8 хв-1.
Людина масою m2
=
70 кг
стоїть
при
цьому на краю платформи. З якою кутовою
швидкістю почне
обертатися платформа, якщо
людина перейде від краю платформи до
її центра? Вважати платформу однорідним
диском, а людину - матеріальною точкою.
1.100.
Дано
m1
= 150 кг m2
=
70 кг
=
8 хв-1
= ?
Для визначення кутової швидкості, з якою почне обертатися платформа, якщо людина перейде від краю платформи до її центра, використаємо закон збереження моменту імпульсу в ізольованій механічній системі, який має вигляд:
. (1)
Для системи з двох тіл цей закон можна записати у вигляді:
, (2)
де
- момент інерції людини,
яку вважаємо матеріальною точкою;
- кутова швидкість;
- момент інерції лиска з людиною;
- радіус диска.
У рівняння (2) підставляємо приведені значення моментів інерції
. (3)
З рівняння (3) отримуємо вираз для розрахунку маси платформи:
. (4)
Дані умови задачі (виражені в системі одиниць СІ) підставляємо в вираз (4) і отримаємо відповідь:
=
-
Однорідний стержень довжиною
= 1 м
і масою M
= 0,7 кг
підвішений на горизонтальній осі, що
проходить
через верхній кінець стержня. У точку,
віддалену від осі обертання на
= 2/3
абсолютно пружно ударяє куля масою m
= 5 г,
що летіла перпендикулярно стержню і
його осі. Після
удару стержень відхилився на кут
= 600.
Визначити швидкість кулі до удару.
1.101.
Дано
M
= 0,7 кг m
= 5 г
=
60°
Рис.
1.101
=
1 м
= 2/3
= ?
Зробимо малюнок.
Оскільки
удар
кулі був абсолютно непружним, то куля
і відповідна точка стержня зразу після
удару будуть рухатись з однаковою
кутовою швидкістю
.
Тобто за малий проміжок часу куля надає
стержню деяку кінетичну енергію:
, (1)
де момент інерції стержня відносно осі обертання згідно з формулою Штейнера дорівнює
. (2)
Завдяки
цієї енергії, стержень без кулі (за
умовою вона не застрягає в ньому)
повертається на кут
,
причому його центр тяжіння піднімається
на деяку висоту (див. рис. 1.101):
. (3)
При
відхиленні стержень на кут
він буде мати потенціальну енергію, яка
дорівнює
. (4)
Згідно з законом збереження енергії, можна порівняти праві частини рівнянь (1) та (4) і отримати
. (5)