1.2 Атом водорода по теории Бора.

Опытами Резерфорда по рассеянию -частиц веществом была обоснована ядерная (планетарная) модель атома. Однако ядерная модель атома оказалась в противоречии с законами классической механики и электродинамики. Классическая теория не смогла объ­яснить ни устойчивости атомов, ни дискретный (линейчатый) спектр атомов.

Выход из создавшегося (положения) тупика был найден в 1913 году датским физиком Бором на основании предположений, противоречащих классической физике. Эти предположения содер­жатся в двух высказанных им постулатах.

1) Из бесконечного множества электронных орбит, возможных с точки зрения классической физики, осуществляются только оп­ределенные, стационарные орбиты, для которых орбитальный мо­мент количества движения (импульс) электрона может принимать ряд диск­ретных значений.

(4),

или,

где, а 1, 2, 3,….

Пока электрон движется по стационарной орбите, атом не излучает и не поглощает света.

2) При переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую происходит излучение или поглощение кванта света, энер­гия которого равна разности энергий электрона при движении по соответствующим стационарным орбитам с номерами и k

(5).

Если >, то имеет место излучение света. Когда наблю­дается <, то происходит поглощение света.

Рассмотрим атом водорода и предположим, что электрон вок­руг ядра движется по круговым орбитам. Используя формулу (4) и применяя закон Ньютона к движению электрона:

(6).

Найдём радиус электронных орбит:

1, 2, 3,….,

и скорости электронов на них:

Легко найти и энергию атома водорода при движении электрона по стационарной орбите.

(7).

Исходя из условия частот Бора (5) и вводя в рассмотрение волновое число, получим:

(8).

Сравнивая с (3), получим, что

.

В (8) запишется:

или

Числа и получили название спектральных термов. Они пропорциональны энергии стационарных состояний атома.

1.3. Квантовомеханическая теория атома водорода.

Теория Бора объяснила все основные закономерности в спектре водорода. Однако она не смогла построить теорию атома гелия. Самой слабой стороной теории Бора была ее внутренняя противоречивость. Эта теория не была ни последовательно клас­сической, ни последовательно квантовой. Она представляет собой лишь переходный этап на пути к созданию последовательной тео­рии атомных явлений. Такой теорией стала квантовая механика.

В 1924 году французский физик Луи де Бройль выдвинул ги­потезу о том, что все микрочастицы обладают волновыми свойс­твами. По идее де Бройля с движением микрочастиц связана вол­на. Эти волны имеют длину

(9).

Состояние движения микрочастиц описывается волновой функцией координат частицы и времени . Например, с движением свободной частицы связана плоская волна, уравнение которой мо­жет быть записано в виде:

(10), где - соответствующие импульсы частицы;

а - её энергия.

Физический смысл волновой функции состоит в том, что квадрат ее модуля дает плотность вероятности (вероятность, от­несенную к единице объема) нахождения частицы в соответствую­щем объеме пространства.

- комплексное сопряжение с .

Волновая функция может быть найдена путем решения уравне­ния:

(11).

Это уравнение получено Шредингером в 1926 году и называ­ется временным уравнением Шредингера. Здесь - потен­циальная энергия частицы.

Как видно из (2) вид волновой функции определяется потен­циальной энергией , т.е. природой всех сил, которые действуют на частицу. Для стационарных состояний уравнение Шредингера примет вид:

(12).

Здесь Е - полная энергия частицы, U - ее потенциальная энер­гия. Решение уравнения (12) позволяет найти волновые функции и полную энергию любой квантовомеханической системы. Применим уравнение Шредингера для атома водорода. В атоме водорода по­тенциальная энергия равна:

где r – расстояние электрона от ядра.

Потенциальное поле обладает сферической симметрией. Удобно внести в рассмотрение сферические координаты , тогда уравнение Шредингера запишется:

(13).

Это уравнение имеет физически обоснованные решения при любых

положительных значениях энергии Е и при дискретных отри­цательных значениях Е равных:

, где n = 1,2,3,…. (14)

Случай Е > 0 соответствует электрону, пролетающему вблизи ядра и удаляющемуся в бесконечность. Случай Е < 0 соответствует элект­рону, находящемуся в пределах атома.

Сравнивая (14) и (7) видно, что квантовая механика при­водит к тем же значениям энергии атома водорода, что и теория Бора. Однако в квантовой механике эти значения получаются ло­гическим путем из ее основных положений без каких-либо допол­нительных предположений. Число n, определяющее значение энергии электрона в (14) называется главным квантовым числом. Решение уравнения (13) дает значения орбитального момента импульса (количества движения) электрона.

L_Z = (15),

где - азимутное или орбитальное квантовое число, принимающее значения =0, 1, 2, ..., n-1 (всего n-значений).

Из решения уравнения (13) следует, что ряд дискретных значений принимает так же проекция орбитального момента на выделенное направление в пространстве (оно обычно принимается за направ­ление оси OZ - направление магнитной индукции).

(16),

где - магнитное квантовое число, принимающее значения =0, 1, 2, …, всего - значения для данного .

Каждому значению энергии Е соответствует несколько состо­яний электрона в атоме, отличающихся значением квантовых чисел ,. Состояния с одинаковой энергией называются вырожденными, а число таких состояний называется кратностью вырождения. Лег­ко можно доказать, что в атоме водорода кратность вырождения равнаn. Согласно (14) можно схематически изобразить энергети­ческие уровни атома водорода (рис. 1).

Состояние с Е=0 соответствует поляризованному атому водо­рода. Рассмотрим основное состояние атома водорода (n=1). Для него =0 и =0. Следовательно, в основном состоянии атома водорода его единственный электрон не обладает орбитальным моментом импульса. Полученный результат совершенно не понятен с точки зрения классической физики. Электрону присущи волновые свойства, учет которых позволяет объяснить отсутствие механического мо­мента, связанного с орбитальным движением электрона в основном состоянии атома.

n=5

n=4

E

E₀

n=3

n=2

n=1

3. Рисунок 1