- •2 Теоретичні відомості
- •2.1 Стаціонарні послідовності
- •2.2 Спектральний розклад кореляційної функції
- •2.4 Спектральне представлення стаціонарних (в широкому сенсі) послідовностей
- •2.5 Регулярні послідовності
- •2.6 Екстраполяція, інтерполяція та фільтрація
- •2.7 Двоїстість та ортогоналізація
- •2.8 Результати і доведення для
- •3 Основні результати
- •5 Література
Зміст
1 Вступ 2
2 Теоретичні відомості 3
2.1 Стаціонарні послідовності 3
2.2 Спектральний розклад кореляційної функції 4
2.4 Спектральне представлення стаціонарних (в широкому сенсі) послідовностей 5
2.5 Регулярні послідовності 6
2.6 Екстраполяція, інтерполяція та фільтрація 7
2.7 Двоїстість та ортогоналізація 10
2.8 результати і доведення для 14
3 Основні результати 20
3.1 Перевірка гіпотези про двоїстість та ортогоналізацію. 20
3.1.1 Приклад 1 20
3.1.2 Приклад 2 22
4 Висновок 24
5 Література 25
1 Вступ
Багато прогнозувальних задач стаціонарних випадкових процесів (див. [2], [7], [10], [14]) еквівалентні пошуку відстані від сталої функції 1 до підпростору в ,де S – підмножина цілих чисел , ek = e-ikλ, w-невід’ємна інтегрована функція на одиничному крузі T, і це зважений простір на T з нормою .Тут µ - це Лебегова міра на Т, причому µ(T) = 1. Записуємо
для відстані. Наприклад, складається із многочленів , і їх границь в коли індексна множина S, є пів пряма , тобто
У цьому випадку, загальновідома теорема стверджує, що для ,
якщо ; в іншому випадку (див., наприклад, [5, p. 156]). У праці [10] для індексної множини привернула значну увагу до обчислення коли індексна множина єз обмеженою кількістю доданих та видалених точок. На сьогодні, найбільш відомий загальний результат – це Теорема 2 Ченга та ін., яка стверджує, що, для такого, є позитивним лише за умови що Однак, задача обчислення та функції в ,що його досягає, залишається недосяжною, навіть якщо , , за винятком кількох особливих випадків, розглянутих у пункті 2. У цій роботі ми розв’язуємо задачу пошуку обґрунтованої загальної індексної множини S, що могла б пролити світло на труднощі, звичайні для цієї сфери досліджень. Пункт 3 представляє результати дляі містить деякі відкриті питання щодо загального .
2 Теоретичні відомості
2.1 Стаціонарні послідовності
Нехай – ймовірнісний простір і - деяка послідовність випадкових величин. Позначимо черезпослідовність
Означення 1.
Випадкова послідовність називається стаціонарною (у вузькому сенсі), якщо для любого розподіли ймовірностей співпадають:
Означення 2.
Послідовність комплексних випадкових величин з ,, називається стаціонарною (в широкому сенсі), якщо для всіх
Позначимо
І припускаючи, що
Функцію будемо називати коваріаційною функцією, а– кореляційною функцією стаціонарної (в широкому сенсі) випадкової послідовності.
2.2 Спектральний розклад кореляційної функції
Нехай
де - ортогональні випадкові величини з нульовими середніми і . Якщо покласти, що , то рядсходиться в середньоквадратичному сенсі і
Введемо функцію
Тоді коваріаційна функція може бути записана у вигляді інтеграла Лебега-Стілт’єса
Теорема (Герглотц).
Нехай – коваріаційна функція стаціонарної (в широкому сенсі) випадкової послідовності з нульовим середнім. Тоді на знайдеться така скінченна міра ,
, що для любого
де інтеграл розуміється як інтеграл Лебега-Стілт’єса по множині.
2.4 Спектральне представлення стаціонарних (в широкому сенсі) послідовностей
Теорема 1.
Існує така ортогональні стохастична міра , що для кожного (-м.н.)
При цьому .
Теорема 2.
Якщо , то знайдеться така функція , що (-м.н.)
2.5 Регулярні послідовності
Введемо позначення. Нехай та – замкнені лінійні многовиди, породжені величинами івідповідно. Нехай також
Означення.
Стаціонарна послідовністьназивається регулярною, якщо
і сингулярною, якщо
Теорема.
Кожна стаціонарна в широкому сенсі випадкова послідовність допускає єдиний розклад
де – регулярна, а – сингулярна послідовності. При цьому іортогональні (.
Означення.
Клас Харді – це клас аналітичних функційу відкритому одиничному коліна комплексній площин, які задовольняють умову
Теорема (Колмагоров).
Нехай – не вироджена регулярна стаціонарна послідовність. Тоді існує спектральна щільністьтака, що
А саме, (майже скрізь по мірі Лебега).
І навпаки, якщо – деяка стаціонарна послідовність, що має спектральну щільність, яка задовольняє умову (1), то ця послідовність є регулярною.
2.6 Екстраполяція, інтерполяція та фільтрація
Екстраполяція.
Розглянемо частковий випадок, коли спектральна щільність задається у вигляді
де функція має радіус збіжності і не має нулів в радіусі
Нехай
– спектральне представлення послідовності .
Теорема 1. Якщо спектральна щільність послідовності може бути представлена у вигляді (1), то оптимальна (лінійна) оцінкавеличинипозадається формулою
де
та
Інтерполяція.
Найпростішою задачею інтерполяції є задача побудови оптимальної (в середньоквадратичному сенсі) лінійної оцінки по результатам спостережень «пропущеного» значення .
Позначимо через – замкнений лінійний многовид, породжений величинами. Тоді кожна випадкова величинаможе бути представлена у вигляді
де належить замкненому лінійному многовиду, породженому функціями і оцінка
буде оптимальною тоді і тільки тоді, коли
Із властивостей «перпендикулярів» в гільбертовому просторі випливає, що функціяповністю визначається двома умовами:
Теорема 2 (Колмагоров).
Нехай – регулярна послідовність з
Тоді
де
І похибка інтерполяції задається формулою
Фільтрація.
Задача фільтрації полягає в побудові оптимальної ( в середньоквадратичному сенсі) лінійної оцінки величини по тім чи іншим спостереженням послідовності
Оскільки , то знайдеться така функція, що
Оптимальна функція :
,
.
Отриманий розв’язок (4) можна використати для побудови оптимальної оцінки величини по результатам спостережень, де – деяке задане число з .