А. И. Мальцев - Основы линейной алгебры

А.И.Мальцев

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к третьему изданию

7

Введение

8

Глава I. Матрицы и определители

10

§ 1. Действия с матрицами

10

1.1. Матрицы. Основное поле (10). 1.2. Умножение матриц (12). 1.3.

Транспонирование матриц (17). 1.4. Клеточные матрицы (21). 1.5.

Кватернионы (24).

Примеры и задачи

28

§ 2. Определители

30

2.1. Определение (30). 2.2. Основные свойства определителей (36).

2.3. Определитель произведения. Обратные матрицы (45). 2.4.

Крамеровские системы линейных уравнений (50).

Дополнения и примеры

54

§ 3. Характеристический и минимальный многочлены

55

3.1. Подобие матриц (55). 3.2. Характеристический многочлен (57).

3.3. Минимальный многочлен (60).

Примеры и задачи

64

Глава II. Линейные пространства

65

§ 4. Размерность

65

4.1 Модули и векторные пространства (65). 4.2. Линейная зависимость

(70). 4.3. Изоморфизм (78).

Примеры и задачи

81

§ 5. Координаты

81

5.1. Координаты вектора (81). 5.2. Ранги матриц (85). 5.3. Общие

системы линейных уравнений (92).

Дополнения и примеры

97

§ 6. Линейные подпространства

98

6.1. Пересечение и сумма подпространств (98). 6.2. Прямые суммы

(103). 6.3. Системы однородных линейных уравнений (105).

Примеры и задачи

109

Глава III. Линейные преобразования

110

§ 7. Преобразования произвольных множеств

110

7.1. Произведение преобразований (110). 7.2. Единичное и обратное

преобразования (112). 7.3. Взаимно однозначные преобразования

(113). 7.4. Подстановки (114).

Примеры и задачи

117

§ 8. Линейные преобразования и их матрицы

117

8.1. Простейшие свойства (117). 8.2. Матрица линейного

преобразования (120). 8.3. Преобразование координат (121).

Примеры и задачи

123

§ 9. Действия с линейными преобразованиями

123

9.1. Умножение линейных преобразований (123). 9.2. Умножение на

число и сложение (125). 9.3. Многочлены от линейных

преобразований (127).

Примеры и задачи

128

§ 10. Ранг и дефект линейного преобразования

129

Примеры и задачи

135

§ 11. Инвариантные подпространства

135

11.1. Индуцированное преобразование (135). 11.2. Прямая сумма

инвариантных подпространств (137). 11.3. Характеристический

многочлен преобразования (139). 11.4. Собственные векторы и

собственные значения (140).

Примеры и задачи

143

§ 12. Преобразования с матрицей нормальной формы

144

12.1. Диагональная форма (144). 12.2. Клетки Жордана (145). 12.3.

Корневые подпространства (146).

Примеры и задачи

149

Глава IV. Многочленные матрицы

150

§ 13. Инвариантные множители

150

13.1. Эквивалентность (150). 13.2. Диагональная форма (152). 13.3.

Наибольшие общие делители миноров (155). 13.4. Условия

эквивалентности (159).

Примеры и задачи

162

§ 14. Элементарные делители

163

14.1. Связь с инвариантными множителями (163). 14.2.

Элементарные делители распавшейся матрицы (165).

Примеры и задачи

166

§ 15. Нормальные формы матрицы линейного преобразования

167

15.1. Деление λ-матриц (167). 15.2. Скалярная эквивалентность (169).

15.3. Критерий подобия матриц (170). 15.4. Нормальная форма

Жордана (171). 15.5. Естественная нормальная форма (174). 15.6.

Другие нормальные формы (176).

Примеры и задачи

179

§ 16. Функции от матриц

180

16.1. Многочлен от жордановой матрицы (181). 16.2. Скалярные

функции (182). 16.3. Представление значений функций

многочленами (185). 16.4. Элементарные делители функций (187).

16.5. Степенные ряды (190). 16.6. Матрицы, перестановочные с

данной матрицей (191). 16.7. Матрицы, перестановочные с

перестановочными матрицами (195).

Примеры и задачи

197

Глава V. Унитарные и евклидовы пространства

199

§ 17. Унитарные пространства

199

17.1. Аксиоматика и примеры (199). 17.2. Длина вектора (203). 17.3.

Ортонормированные системы (205). 17.4. Изоморфизм (210). 17.5.

Ортогональные суммы. Проекции (211).

Примеры и задачи

213

§ 18. Сопряженные преобразования

214

18.1. Линейные функции (214). 18.2. Сопряженные преобразования

(217). 18.3. Нормальные преобразования (219).

Примеры и задачи

224

§ 19. Унитарные и симметрические преобразования

225

19.1. Унитарные преобразования (225). 19.2. Унитарная

эквивалентность (227). 19.3. Нормальная форма матрицы унитарного

преобразования (229). 19.4. Симметрические преобразования

(231).19.5.Кососимметрические преобразования(233).

19.6.Неотрицательные симметрические преобразования (235).

Примеры и задачи

239

§ 20. Разложения общих преобразований

240

20.1. Разложение на симметрическую и кососимметрическую части

(240). 20.2. Полярное разложение (241). 20.3. Преобразование Кэли

(245). 20.4. Спектральное разложение (248).

Примеры и задачи

252

Глава VI. Квадратичные и билинейные формы

254

§ 21. Билинейные формы

254

21.1. Преобразование форм (254). 21.2. Эквивалентность

билинейных форм (251).21.3.Конгруэнтность симметрических

билинейных форм (259).

Примеры и задачи

261

§ 22. Квадратичные формы

262

22.1. Конгруэнтность (262). 22.2. Алгоритм Лагранжа (264). 22.3.

Закон инерции квадратичных форм (267). 22.4. Знакопостоянные

формы (269).

Примеры и задачи

270

§ 23. Пары форм

271

23.1. Эквивалентность пар форм (271). 23.2. Конгруэнтность пар

форм (272). 23.3. Конгруэнтность несимметрических билинейных

форм (276).

Примеры и задачи ч

278

§ 24. Билинейные функции

278

24.1. Основные определения (278). 24.2. Пространства с билинейной

метрикой (282). 24.3. Билинейные функции в билинейно-

метрических пространствах (286).

Примеры и задачи

292

Глава VII. Линейные преобразования билинейно-метрических

293

пространств

§ 25. Основные типы линейных преобразований

293

25.1. Автоморфизмы (293). 25.2. Симметрические и

кососимметрические преобразования (298).

Примеры и задачи

300

§ 26. Комплексные евклидовы пространства

300

26.1. Симметрические преобразования (301). 26.2.

Кососимметрические преобразования (303). 26.3. Комплексные

ортогональные преобразования (306).

Примеры и задачи

309

§ 27. Симплектические пространства

309

27.1. Симметрические преобразования (309). 27.2.

Кососимметрические преобразования (312). 27.3. Симплектические

преобразования (313).

Примеры и задачи

315

§ 28. Псевдоунитарные пространства

315

28.1. Симметрические преобразования (316). 28.2. Псевдоунитарные

преобразования (324).

Примеры и задачи

445

Глава VIII. Аффинные пространства

326

§ 29. Общие аффинные пространства

326

29.1. Аксиоматика (326). 29.2. Линейные многообразия (334). 29.3.

Параллельные плоскости (344). 29.4. Линейные функционалы (346).

Дополнения и примеры

351

§ 30. Аффинные координаты

353

30.1. Координаты точки (353). 30.2. Уравнения плоскостей (356).

30.3. Уравнения гиперплоскостей и прямых (364). 30.4.

Преобразование аффинных координат (369).

Примеры и задачи

373

§ 31. Выпуклые тела

374

31.1. Лучи (374). 31.2. Полупространства (377). 31.3. Выпуклые

множества (381).

Дополнения и примеры

385

§ 32. Евклидовы точечные пространства

386

32.1. Длина ломаной (386). 32.2. Угол между прямыми (388). 32.3.

Ортогональные проекции (391). 32.4. Угол между плоскостью и

прямой (397).

Примеры и задачи

398

Предметный указатель

399

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Автоморфизм 139, 293, 332

Адъюнкт минора 55

— косой 81

— элемента 42

Алгоритм Гаусса 51

Луч 376

— Лагранжа 264

Матрица 10

База 72, 81, 106, 206

— автоморфизма 372

Базис 72, 337, 353

— адъюнгированная 47

Вектор 66

— билинейной функции 279

— изотропный 283

— Грама 214, 282

— корневой 147

—— жорданова 146, 171

— нормированный 203

— идемпотентная 29

— свободный 326

— инволютивная 29

— собственный 141

— индуцированного преобразования

Гиперплоскость 100, 341, 362, 385

137

Гиперповерхность алгебраическая

— каноническая диагональная 152

357

— клеточно-диагональнаь 24

Гомоморфизм 331, 351

— клеточно-треугольная 62

Делитель миноров 155

— комплексно-сопряженная 20

— элементарный 164

— кососимметрическая 18

Дефект матрицы 134

— линейного преобразования 120

— преобразования 129

— многочленная (λ-матрица) 150

Длина вектора 203

Матрица неособенная 49

Дополнение ортогональное 212

— нильпотентная 64

—, — к плоскости 393

— нулевая 11

Зависимость линейная 70, 71, 334,

— обратная 19, 85

336

— ортогональная 20, 49

Закон двойственности 351

— особенная 49

— инерции 260, 268

— перехода 83, 370

Замыкание 336, 381

— полупростая 180

Изоморфизм билинейно-метрических

— полураспавшаяся 34, 62, 137

пространств 284

— преобразования 255

— косой 81

— присоединенная 47

— линейных преобразований 132,

— распавшаяся 61

228, 294

— симметрическая 18

— — пространств 78, 132

— симплектическая 314

— унитарных пространств 210

— системы 30, 31, 50, 93

Кватернион 26

— скалярная 169

Клетка Жордана 145

— сопровождающая 174

— — обобщенная 178

— строчечно-конечная 29

Конгруэнтность матриц 259, 273

— транспонированная 18, 40

— форм 257, 272

— треугольная 64

Коразмерность 340

— унитарная 21, 49, 226

Кратность собственного значения

— формы 257

142

— характеристическая 57

Линейная комбинация 68

— эрмитова 21, 234

Ломаная 387

Метрика билинейная 282

Минор 42, 55, 64

— тривиальное 98

Многогранник выпуклый 386

Подстановка 114, 115

Многообразие алгебр 351

Поле упорядоченное 374

— алгебраическое 357

Полуплоскость 380

— корневое 348

Полупространство 378

— линейное 336

Порядок дуальный 375

Многочлен матричный 16, 167

—, естественный на прямой 375

— минимальный матрицы 60

Правило треугольника 330

— — преобразования 140

Представление функционала 355

Множество выпуклое (конвексное)

Преобразование 110, 117

381, 383

— взаимно однозначное 113

Множители инвариантные 159, 172

— единичное 112, 118

Модуль 65

— идемпотентное 248

— унитарный 66, 80

— изометрическое 293

Независимость линейная 70, 334, 336

— индуцированное 137

Неравенство Бесселя 208

— координат 83, 84, 121

— Коши—Буняковского 208

— кососимметрическое 233, 291, 298

Область значений 129

— Кэли 245, 299

Определитель 30, 31

— линейное 117, 241

— Вандермонда 54

— неособенное 131

— Грама 214

— нормальное 219

— объемный 355

— нулевое 118

— преобразования 139

— обратное 112

Ортогональность векторов 205, 283

— ортогональное 249, 306

— множеств векторов 211

— особенное 131

— подпространств 211

— проекционное 248

Отрезок 376

— псевдоунитарное 324

Перенос 327

— симметрическое 231, 235, 291, 298

Плоскость 100, 336

— симплектическое 314

— дополнительная 340

— сопряженное 217, 289

— координатная n-мерная 362

— унитарное 225

— пустая 338

— эрмитово 231

Подобие матриц 55, 170

— -матриц элементарное 151

— преобразований 132, 228

Признак Якоби 270

Подпространство 98

Проекция вектора на

— дополнительное 339

подпространство 213, 248

— изотропное 283

— ортогональная 393

— инвариантное 135

Произведение матриц 13

— истинное (нетривиальное) 99

— преобразований 111

— касательное 344

— скалярное 201, 202

Подпространство корневое 147

Пространство аффинное над

— линейное 98 -

векторным пространством 326

— нулевое 98

— — — полем 329, 351

— билинейно-метрическое 282

— — симплектическая 309

— евклидово 200, 201, 286, 386

— образующая 72

— конечномерное 13

— точек выпукло неприводимая 386

— линейное (или векторное) 66, 63

— уравнений 357

— метрическое 387

— — линейных 50, 51, 95, 105

— псевдоевклидово 285

След матрицы 57

— псевдсунитарное 286, 315

— преобразования 139

— симплектическое 286, 309

Смещение 329

— сопряженное (или дуальное) 214

Собственное значение матрицы 58

— строк 68

— — преобразования 140

— унитарное 201, 386

Спектр линейного преобразования

— функций 202

252

Процесс Грама—Шмидта 209

Строка 68

Прямая 100, 338

— координатная 82, 353, 355

Равенство Парсеваля 209

Сумма матриц прямая 24

Радиус-вектор точки 327

— подпространств 100, 103, 211

Разложение полярное 241

— преобразований 126

— спектральное 250

— ряд матриц 190

Размерность аффинного

Теорема Гамильтона—Кэли 59

пространства 334

— Кронекера—Капелли 94

— выпуклого множества 383

— Шура 239 Тождество Лагранжа 47

— линейного пространства 73

Угол между лучами 391

Ранг матрицы 86

— — прямой и плоскостью 396

— однородной системы 108

— — прямыми 389

— преобразования 12Э

Форма 256

— формы 257

— билинейная 256, 258, 259, 261

Расстояние между векторами 205

— естественная нормальная 174, 175

— — точками 38/

— Жордана 146, 178

Репер 353, 388

— каноническая λ -матрицы 152

Решение нулевое 106

— квадратичная 254, 269

Решение системы линейных

— линейная 254

уравнений 50, 93

— полилинейная 256

Ряд степенной от матриц 190

— эрмитова билинейная 258, 258, 263

Сдвиг 327

— 5-го порядка 358

Сигнатура пространства 285, 286

Формулы Крамера 51

— формы 260

Функционал линейный 346

Симплекс 385, 386

— полилинейный 353

Система векторов линейно зависимая

— 5-го порядка 358

70

Фундаментальная система решений

— — ортогональная 205

106

— — ортонормированная 206

Функция 69

— координатная 81

— билинейная 278, 280, 231

— — нормальная 301, 316

— квадратичная 280, 281