int_kurs-podg_-ege_kasatkina-i_l_2012
.pdf
Физика для старшеклассников и абитуриентов
совпадают и с линиями водорода. Значит, в неизвестном газе есть и атомы другого вещества.
Правильный ответ 1).
А120. Ученый де Бройль высказал гипотезу, что частицы вещества обладают волновыми свойствами. Эта гипотеза в дальнейшем была подтверждена в опытах по дифракции электронов.
Правильный ответ 4).
А121. Длина волны де Бройля O связана с ее импульсом р формулой
|
|
|
|
λ = |
h |
, |
|
|
|
|
|
||
откуда |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
p = |
h |
= |
6,6 10−34 |
|
|
–22 |
|
2 10−12 |
кг · м/с = 3,3 · 10 кг · м/с. |
||||
λ |
||||||
Правильный ответ 3).
А122. Два фотона летят навстречу друг другу каждый со скоростью с. Их скорость относительно друг друга равна с согласно второму постулату Эйнштейна: скорость света в вакууме абсолютна и одинакова относительно любых инерциальных систем отсчета.
Правильный ответ 4).
А123. Согласно первому постулату Эйнштейна все явления природы происходят одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Поэтому спектры выглядят на Земле и в космическом корабле одинаково.
Правильный ответ 1).
А124. Излученная звездой энергия пропорциональна изменению ее массы:
'Е = 'mc2. Значит, 1,8 · 1026 = k · 108 · 9 · 1016,
откуда k = 20. Правильный ответ 4).
А125. Первым постулатом Эйнштейна является утверждение, что все законы природы выполняются в любых инерциальных системах отсчета одинаковым образом.
Правильный ответ 4).
640
Раздел IV. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности.
А126. Скорость фотона относительно корабля с = 3 · 108 м/с. Правильный ответ 2).
А127. Согласно второму постулату Эйнштейна скорость света в вакууме абсолютна и относительно любых инерциальных систем равна с.
Правильный ответ 4).
А128. Космонавты, простившись со своими сверстниками, слетали с релятивистской скоростью за пределы Солнечной системы и вернулись на Землю. При этом они обнаружили, что сверстники моложе их.
Правильный ответ 1).
А129. Время по часам землян |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
t = |
|
t0 |
|
|
|
= |
|
|
t0 |
|
|
|
= |
|
t0 |
= 1,25t0. |
|||||
|
1 − |
v |
2 |
|
|
|
1 − 0,36 |
ñ |
2 |
|
0,8ñ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
ñ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правильный ответ 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
А130. Длина стержня по мерке землян |
|
|
|||||||||||||||||||
|
l = l 1 |
− |
v2 |
= l 1 − 0,64ñ2 = |
0,6l |
. |
|||||||||||||||
|
c2 |
||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
ñ2 |
|
|
|
0 |
|
||||||
Правильный ответ 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
А131. Масса движущейся частицы |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
m = |
|
m0 |
|
|
= |
|
|
m0 |
|
|
= |
|
m0 |
|
= 1,25m0. |
||||||
|
1 − |
v |
2 |
|
|
|
1 − 0,36 |
ñ |
2 |
|
0,8ñ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
ñ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правильный ответ 1).
А132. Энергия покоя тела
Е0 = m0c2 = 2 · (3 ·108)2 Дж = 1,8 · 1017 Дж.
Правильный ответ 2).
А133. Кинетическая энергия тела Еk равна разности энергии движущегося тела Е и его энергии покоя Е0:
Еk = Е – Е0 = 2,2 · 1017 Дж – 9 · 1016 Дж = 1,3 · 1017 Дж.
Правильный ответ 1).
641
Физика для старшеклассников и абитуриентов
А134. Полная энергия частицы
Е = Е0 + Еk, где Е0 = m0c2.
С учетом этого равенства полная энергия частицы
Е = m0c2 + Ek. Правильный ответ 2).
А135. В ядре атома фосфора 1531 Р содержится А =31 нуклон и Z = 15 протонов. Поскольку массовое число А, т.е. общее количество нуклонов в ядре равно сумме количества протонов Z и количества нейтронов N в нем, то количество нейтронов
N = A – Z = 31 – 15 – 16.
Правильный ответ 4).
А136. В ядерной реакции всегда выполняются законы сохранения массового А и зарядового Z чисел: сумма массовых чисел ядер и частиц до реакции равна сумме их массовых чисел после реакции, а также сумма их зарядовых чисел до реакции равна сумме их зарядовых чисел после реакции. Поэтому в предложенной нам ядерной реакции
массовое число неизвестной частицы равно: 9 + 4 – 12 = 1, а ее зарядовое число равно: 4 + 2 – 6 = 0.
Следовательно, эта частица — нейтрон. Правильный ответ 1).
А137. Как следует из рис. 350, количество разных гаммаквантов при переходе атома водорода между четвертым и первым (основным) энергетическими уровнями в процессах излучения и поглощения энергии атомом равно 12.
Правильный ответ 4).
А138. Период полураспада — это время распада половины от наличного количества ядер.
Правильный ответ 3).
А139. Массовое число — это число нуклонов в ядре. Правильный ответ 4).
642
Раздел IV. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности.
А140. Энергия излученного возбужденным атомом кванта равна разности его стационарных энергетических состояний:
hQ = En – Em, |
|
где частота ν = |
ñ |
. |
||
|
|
|||||
|
|
ñ |
|
λ |
||
Таким образом, |
h |
= En – Em, |
||||
λ |
||||||
|
|
|
|
|
||
hc
откуда O = .
En − Em
Правильный ответ 2).
А141. Согласно правилу смещения 
e при бета-распаде элемент смещается на одну клетку к концу таблицы Менделеева.
Правильный ответ 4).
А142. Аннигиляция — это превращение частиц вещества в полевые частицы.
Правильный ответ 3).
А143. Бета-лучи — это поток электронов. Правильный ответ 2).
А144. Альфа-частицы — это ядра гелия. Правильный ответ 3).
А145. Дефект массы — это разность между массами отдельных нуклонов и ядра.
Правильный ответ 4).
А146. Первый постулат Бора утверждает, что атом может находиться в стационарных состояниях, когда он энергию не излучает.
Правильный ответ 4).
А147. В результате ядерной реакции
73 Li + 12 H → 84 Be + 10 n образуется нейтрон.
Правильный ответ 2).
А148. Согласно правилу смещения 
при D-распаде элемент смещается на две клетки к началу таблицы Менделеева.
Правильный ответ 1).
643
Физика для старшеклассников и абитуриентов
А149. Изотопами называются элементы с одинаковым числом протонов, но разным числом нейтронов.
Правильный ответ 3).
А150. Атом в состоянии с энергией Е1 (рис. 368) поглотил гамма-квант с энергией 3 · 10–18 Дж. При этом его энергия стала равна
–8 · 10–18 Дж + 3 · 10–18 Дж = 5 · 10–18 Дж
и атом перейдет в состояние с энергией Е2. Правильный ответ 1).
219
А151. После одного D-распада радон 86 Rn потеряет D-час- тицу 24 Не и превратится в элемент с зарядовым числом Z =86–2=84имассовымчисломA =219–4=215.Припоследу- ющих двух E-распадах, т.е. потере двух электронов –10е массовое число не изменится, а зарядовое число увеличится на 2 и станет Z = 84 + 2 = 86. В итоге получим элемент с зарядовым числом Z = 86 и массовым числом A = 215.
Правильный ответ 1).
152. При облучении ядер урана 23592 U тепловыми нейтронами ядро делится на 2 радиоактивных осколка и нейтроны.
Правильный ответ 3).
Часть 2
В1. Пружинный маятник оттянули от положения равновесия на 1,5 см и отпустили. Какой путь пройдет маятник за 1 с, если период его колебаний 0,2 с?
Обозначим А — амплитуду колебания, t — время колебания, T — период, S — пройденный путь.
Дано: |
|
Решение |
|
||
А = 1,5 см |
|
В пути S, пройденном маятником за 1 с, |
t = 1 с |
|
может укладываться целое число амплитуд, |
Т = 0,2 с |
|
а может — нет. |
|
|
Чтобы это определить, подсчитаем сна- |
|
|
|
S — ? |
|
чала, сколько периодов Т укладывается во |
времени t:
t |
= |
1c |
=5. |
|
0,2 ñ |
||
T |
|
||
644
Раздел IV. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности.
Каждый период, т. е. время полного колебания, соответствует 4 амплитудам: два раза маятник отклоняется в одну сторону и два раза — в другую. Значит, за время t = 1 с маятник максимально отклонился от положения равновесия 5 · 4 = 20 раз.
Следовательно путь S, пройденный им за время t, равен:
S = 20 A = 20 · 1,5 см = 30 см.
Ответ: S = 30 см.
В2. Уравнение гармонических колебаний маятника х = А cos 2St. Все величины выражены в единицах СИ. Через сколько времени, считая от момента t = 0, потенциальная энергия маятника станет равна его кинетической энергии?
Дано:
х = А cos 2St Wp = Wk
t — ?
Решение
Возведем в квадрат левые и правые части данного уравнения:
х2 = А2cos2 2St. |
(1) |
Теперь умножим левую и правую ча-
k
сти этого уравнения на 2 , где k — жесткость пружинного маятника.
Получим: |
|
|
|
kx2 |
= |
kA2 |
cos2 2πt . |
(2) |
||
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
Здесь |
kx2 |
= W |
— мгновенная потенциальная энергия |
|||||||
|
|
|||||||||
2 |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
маятника, а |
kA2 |
= W |
— его максимальная потенциальная |
|||||||
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
pmax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
энергия, равная, согласно закону сохранения механической энергии, сумме мгновенных потенциальной Wp и кинетической Wk энергий в любой момет времени:
Wp max = Wp + Wk = 2 Wp,
поскольку Wp = Wk согласно условию задачи.
С учетом этих выражений уравнение (2) можно записать так:
Wp = 2Wр cos2 2St,
645
Физика для старшеклассников и абитуриентов
откуда |
cos2 2St = |
1 |
, |
|
а cos 2St = |
1 |
= |
2 |
. |
2 |
|
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
С учетом этого 2St = |
π |
, |
откуда t = |
1 |
с = 0,125 с. |
||||
|
|
|
4 |
|
|
8 |
|
|
|
Ответ: t = 0,125 с.
В3. Нить математического маятника отклонили от вертикали на угол D, и при этом он поднялся на высоту h над прежним положением. Чему стала равна циклическая частота колебаний маятника, когда его отпустили
Обозначим l длину маятника, g — ускорение свободного падения, Z — циклическую частоту.
Дано:
D h g
Z — ?
Решение
Обратимся к рис. 384. Из него следует, что cos D = l − h = 1 − h ,
ll
откуда |
h |
= 1 − cos α |
и l = |
h |
. |
|
1 − cos α |
||||
|
l |
|
|
||
Циклическая частота математического маятника связана
с его длиной формулой Z = |
|
g |
. С учетом предыдущего вы- |
|||
|
|
|||||
ражения |
|
|
|
l |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
Z = |
g |
(1 − cos α). |
||
|
|
h |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: Z = |
g |
(1 − cos α). |
|
|
|
|
h |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
В4. Через сколько времени, считая от начала колебания, происходящего по закону косинуса, смещение колеблющейся точки составит половину амплитуды? Период колебания 12 с.
Обозначим х смещение точки, А — амплитуду колебания, Т — период, t — время колебания.
Дано: |
|
Решение |
||||
|
||||||
х = |
À |
|
|
Запишем уравнение колебаний: |
||
2 |
|
|
|
х = А cos Zt |
||
Т = 12 с |
|
или с учетом условия задачи |
||||
|
|
|
|
|||
S — ? |
|
|
À |
= А cos Zt, |
||
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
||
646
Раздел IV. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности.
откуда |
cos Zt = |
1 |
и Zt = |
π . |
|
|
2 |
|
3 |
Выразим циклическую частоту через период:
Z = 2π .
Ò
Подставив это выражение в предыдущую формулу, получим:
2π t = |
π |
, откуда t = |
|
Ò |
= |
12 |
с = 2 с. |
|
3 |
6 |
6 |
||||||
Ò |
|
|
|
|||||
Ответ: t = 2 с.
В5. Один математический маятник за определенное время совершил 10 колебаний, а другой маятник за это же время совершил 5 колебаний. Разность их длин 15 см. Определить длины маятников l1 и l2.
Обозначим N1 число колебаний одного маятника, N2 — число колебаний другого маятника, l1 — длину одного маятника, l2 — длину другого маятника, 'l — разность их длин, t — время колебаний, g — ускорение свободного падения.
Дано: |
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
N1 = 10 |
|
|
|
Период колебаний одного маятника можно |
||||||||||||||||||||||
N2 = 5 |
|
|
выразить двумя формулами: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
'l = 15 см |
|
|
|
|
Ò1 = |
|
t |
|
|
|
|
|
|
Ò1 |
|
= 2π |
l1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
. |
||||||||||||||
l1 — ? |
|
|
|
|
N1 |
|
|
|
|
|
g |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
l2 — ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
= |
2π |
l |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Значит, |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. |
|
(1) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N1 |
g |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Аналогично для другого маятника |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
= |
|
2π |
|
|
l2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
N2 |
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Разделим эти равенства друг на друга: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
tN2 |
= |
2π |
l1g |
, |
|
|
|
|
N2 |
= |
|
l1 |
, |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
N1t |
2π gl2 |
|
|
|
|
|
|
|
N1 |
|
|
l2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
= |
|
N2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
откуда |
|
|
|
1 |
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||||||||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Теперь запишем еще одно уравнение, в которое войдут искомые длины маятников. Если внимательно посмотреть
647
Физика для старшеклассников и абитуриентов
на выражение (1), то можно сделать вывод, что длиннее тот маятник, который за одинаковое время сделает меньше колебаний. Следовательно,
|
|
|
|
|
|
|
l2 = l1 + 'l. |
(3) |
||||||||
Выразим из (2) длину l2 и подставим в (3): |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
N2 |
|
|
|
|
N2 |
|
|||||
|
l2 = l1 |
1 |
, |
|
|
|
l1 |
1 |
|
= l1 + 'l , |
||||||
|
N2 |
|
|
N2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
откуда |
l1 = |
|
|
|
|
l |
= |
|
15 |
|
|
см = 5 см, |
||||
N |
2 |
|
|
|
10 |
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
− 1 |
|
|
|
|
− 1 |
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
N2 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||
l2 = 5 см + 15 см = 20 см. Ответ: l1 = 5 см, l2 = 20 см.
В6. Масса Земли больше массы Луны в 81 раз, а радиус Земли больше радиуса Луны в 3,6 раза. Определить, как изменится период колебания математического маятника, если его перенести с Земли на Луну.
Обозначим МЗ массу Земли, МЛ — массу Луны, RЗ — радиус Земли, RЛ — радиус Луны, gЗ — ускорение свободного падения на Земле, gЛ — ускорение свободного падения на Луне, TЗ — период колебаний на Земле, TЛ — период колебаний на Луне, G — гравитационную постоянную, l — длину маятника.
Дано: |
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
ÌÇ |
= 81 |
|
Период колебаний маятника на Земле |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ÌË |
|
|
|
TЗ = 2S |
l |
, |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
RÇ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
= 3,6 |
|
|
|
|
|
|
|
gÇ |
||||
|
|
RË |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
где ускорение свободного падения на земле |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ÒË |
— ? |
|
|
|
g |
= G |
ÌÇ |
. |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||
Ò |
|
|
|
|
|
|
З |
|
|
R2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ç |
|
|
|
|
|
|
|
Ç |
|
|
|||||
|
|
С учетом этого равенства |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
TЗ |
= 2S |
lRÇ2 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
GMÇ |
||||||
Аналогично, на Луне
648
Раздел IV. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности.
|
|
|
|
|
TЛ = 2S |
|
|
lRË2 |
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
GMË |
|
|
|
|
|
||
Тогда отношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ÒË |
= |
2π |
lRË2 GMÇ |
= |
RË |
|
ÌÇ |
= |
1 |
81 = |
9 |
= 2,5. |
|||
|
2π |
GM lR2 |
R |
|
3,6 |
3,6 |
||||||||||
Ò |
|
|
Ì |
Ë |
|
|
|
|||||||||
Ç |
|
|
Ë Ç |
Ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: ÒË = 2,5.
ÒÇ
В7. Амплитуда гармонических колебаний 2 см, полная энергия колебаний 3 · 10–5 Дж. Найти смещение маятника, считая от начала колебания, в тот момент, когда на него действует сила 2,25 мН.
Обозначим А амплитуду колебаний, х — смещение маятника, W — полную энергию колебаний, Wkm — максимальную кинетическую энергию маятника, m — его массу, a — мгновенное ускорение маятника, am — его максимальное ускорение, vm — максимальную скорость маятника, Z— его циклическую частоту, t — время колебаний, F — силу, действующую на маятник.
Дано:
А = 2 см
W = 3 · 10–5 Дж F = 2,25 мН
х — ?
откуда
Решение
Смещение маятника определяет уравнение х = А cos Zt, а его мгновенное ускорение а = am cos Zt, где am = Z2А.
Поэтому
а = Z2А cos Zt = Z2 х,
х = |
à |
. |
(1) |
|
|||
|
ω2 |
|
|
Ускорение найдем по второму закону Ньютона:
а = |
F |
. |
(2) |
|
|||
|
m |
|
|
Теперь определим квадрат циклической частоты. Полная механическая энергия маятника равна его макси-
мальной кинетической энергии:
|
|
mv2 |
где vm = ZА. |
||||
W = Wkm = |
|
m |
, |
||||
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
С учетом этого |
W = |
|
mω2 |
À2 |
, |
||
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
649