int_kurs-podg_-ege_kasatkina-i_l_2012

Дано: Решение

Сдовательных резисторах равна отношению ЭДС

источника к их общему сопротивлению:

изведению силы тока в нем и сопротивления этого резистора:

500

Раздел III. Электромагнетизм

Посмотрим внимательно на схему. В точке с потенциалом M3 соединены обкладки всех трех конденсаторов. А теория нам говорит, что в этом случае алгебраическая сумма зарядов соединенных обкладок равна нулю:

Поскольку нам надо найти заряды конденсаторов, то одно уравнение, в которое они входят, мы уже составили. Теперь выразим разность потенциалов на обкладках каждого конденсатора через соответствующий заряд и емкость — нам же надо записать еще уравнения, куда эти заряды войдут:

Итак, мы имеем 6 уравнений и много неизвестных. Посмотрим внимательно на равенство (1). Его же можно записать так:

M1 – M4 = M1 – M3 + M3 – M4

или, согласно равенствам (1), (4) и (6),

Tеперь у нас есть три уравнения (3), (7) и (8) с тремя искомымизарядами,вкоторыхостальныевеличинынамизвестны. Будем их решать простой подстановкой. Выразим из равенства (3), например, заряд q1 и подставим его в уравнение (7):

501

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Теперь мы имеем два уравнения (8) и (10) с двумя неизвестными q2 и q3. Выразим из (10) заряд q2 и подставим его в (8):

Вот и нашли мы один заряд. Теперь по формулам (11) и (9) найдем остальные:

Пусть знаки «минус» нас не смущают. Дело в том, что в равенство (3) входят модули зарядов, т.е. с учетом обоих знаков. И если бы все заряды получились бы положительными, то их сумма не была бы равна нулю, как этого требует правило (3). Знак «минус» соответствует отрицательному заряду обкладок, соединенных с точкой, потенциал которой M3, а другие обкладки этих конденсаторов имеют такой же по модулю положительный заряд.

С22. Плоский слюдяной конденсатор соединили с источником напряжения U, после чего вынули со скоростью v слюдяную прокладку. При этом по проводникам, соединявшим конденсатор с источником зарядов, прошел ток силой I. Обкладки конденсатора квадратной формы со стороной l, диэлектрическая проницаемость слюды H. Чему равно расстояние d между обкладками конденсатора?

Дано: Решение

UКогда конденсатор подсоединили к источнику

vзарядов, он зарядился. Обозначим заряд на его

Iобкладках q1. Когда вынули диэлектрик, не от-

lключая конденсатор от источника, напряжение

Hна нем осталось прежним, а изменилась емкость

конденсатора и вместе с ней изменился заряд.

d — ?

502

Раздел III. Электромагнетизм

Пусть он стал q2. И при этом по проводнику прошел ток силой I. А сила тока — это отношение заряда, прошедшего по проводнику, ко времени его прохождения t. Значит, по проводнику прошел заряд, равный разности зарядов — бывшего на обкладках, q1 и нового q2. И тогда сила тока

I = q1 − q2 . t

Заряд на обкладках конденсатора равен произведению его емкости и напряжения на обкладках:

q1 = C1U и q2 = C2U.

Теперь выразим емкости С1 и С2 через размеры конденсатора и диэлектрическую проницаемость. При этом учтем, что проницаемость воздуха между обкладками, когда из конденсатора вынули слюду, равна 1, а площадь квадратных обкладок S = l2. С учетом этого

Поэтому

I = ε0εl2U − ε0l2U = ε0l2U (ε − 1) . dt dt

Отсюда искомое расстояние между обкладками d:

d = ε0l2U (ε − 1) .

It

Когда слюдяную пластинку вынимали из конденсатора, она прошла путь, равный длине ее стороны l за время t со скоростью v. Значит, неизвестное время можно определить как отношение длины стороны l к этой скорости:

t = l . v

Подставим правую часть этого выражения вместо времени в предыдущую формулу:

503

Физика для старшеклассников и абитуриентов

d = ε0l2U (ε − 1)v = ε0lUv (ε − 1).

Il I

Ответ: d = ε0lUI v (ε − 1).

С23. Лебедка поднимает бетонную плиту прямоугольной формы толщиной h, площадью S без начальной скорости с ускорением a в течение времени t. Сила тока в двигателе I, плотность бетона U. Найти напряжение на зажимах двигателя.

Обозначим U напряжение на зажимах двигателя, A — работу тока по подъему плиты, FH — силу натяжения каната, H — высоту подъема плиты, m — массу плиты, g — ускорение свободного падения, V — объем плиты.

Дано: Решение

hРабота тока по подъему плиты

UНа плиту действуют направленная вверх сила

504

Раздел III. Электромагнетизм

Подставим правую часть равенства (3) в формулу (2):

U = ρhSat2 (a + g) .

2It

Ответ: U = ρhSat2 (a + g) .

2It

С24. Найти силу тока короткого замыкания в цепи, если при силе тока 4 А мощность тока во внешней части цепи 20 Вт, а при силе тока 10 А мощность тока 30 Вт.

Обозначим Iк.з. силу тока короткого замыкания, I1 — силу тока в первом случае, Р1 — мощность тока в первом слу-

чае, I2 — силу тока во втором случае, Р2 — мощность тока во втором случае, — ЭДС источника тока, r — внутреннее сопротивление, R1 — сопротивление внешней части цепи в первом случае, R2 — сопротивление внешней части цепи во втором случае.

505

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Чтобы «уйти» от неизвестной ЭДС, разделим два последних равенства друг на друга и из полученного выражения найдем внутреннее сопротивление источника тока, поскольку остальные величины нам известны:

Нам осталось подставить правые части равенств (3) и (4) в формулу (1):

Произведем вычисления:

10 (10 − 4)

Iк.з.= 2020 10 − 30 4 + 4 (А) = 19 А.

Ответ: Iк.з.= 19 А.

С25. Дана цепь (рис. 252). Сопротивление резистора 30 кОм, внутренним сопротивлением и сопротивлением соединительных проводов можно пренебречь. Сразу после замыкания ключа К ученик стал измерять нарастающее с течением времени t напряжение U на обкладках конденсатора.

506

Раздел III. Электромагнетизм

Результаты его измерений приведены в таблице.

Оценить силу зарядного тока в резисторе в момент времени t = 4 c. Погрешность измерения напряжения 0,1 В.

Обозначим I силу тока в резисторе, R — его сопротивление.

Решение

Напряжение на обкладках конденсатора перестанет нарастать, когда он полностью зарядится. В этот момент его напряжение станет равно ЭДС источника тока. Таким образом, значение 5,2 В — это ЭДС.

В момент времени t = 4 с напряжение на конденсаторе было 4,6 В, а ЭДС 5,2 В, значит, падение напряжения на резисторе R было 5,2 В — 4,6 В = 0,6 В.

Силу зарядного тока в резисторе найдем по закону Ома для участка цепи:

Ответ: I = 20 мкА.

С26. Электрочайник имеет в нагревательном элементе две секции. При включении одной из них вода в чайнике нагревается за 20 мин, при включении другой — за 30 мин. За сколько времени нагреется вода в чайнике, если обе секции включить параллельно друг другу?

Обозначим t1 время, в течение которого закипает чайник при включении одной секции, t2 — время, в течение которого закипает чайник при включении другой секции, t — время, в течение которого закипает чайник при параллельном включении обеих секций, Q — количество теплоты, пошедшее на нагревание воды в чайнике, U — напряжение в розетке, R1 — сопротивление одной секции, R2 — сопротивление другой секции, R — общее сопротивление обеих секций, включенных параллельно друг другу.

507

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Когда в ту же розетку включили чайник с другой секцией, то же количество теплоты

При параллельном включении секций их общее сопро-

тивление

R = R1R2 , R1 + R2

508

Раздел III. Электромагнетизм

С27. Аккумулятор с ЭДС 2,2 В и внутренним сопротивлением 0,1 Ом замкнут медной проволокой. Ее сопротивление таково, что мощность тока в ней максимальна. За 5 мин проволока нагрелась на 315 К. Найти массу проволоки. Удельная теплоемкость меди 380 Дж/(кг · К). Ответ округлить до сотых долей килограмма.

Обозначим ЭДС источника тока, r — его внутреннее сопротивление, t — время нагревания, 'T — изменение температуры проволоки, c — удельную теплоемкость меди, m — массу проволоки, R — ее сопротивление, I — силу тока, Q — количество выделенной теплоты.

c T

По закону Ома для всей цепи

ε

I = R + r .

Мощность тока максимальна, когда R = r, поэтому

Нам осталось подставить правую часть равенства (2) в формулу (1) и из полученного выражения найти массу про-

509