Teoriya (1)

3 Оцінювання похибок вимірювань

.

1 Складові похибки вимірювань, їх види та джерела виникнення.

- похибку відліку – від; Інструментальна похибка у свою чергу складається з основної (Δо) і сумар-ної додаткової

(Δд) похибок засобів вимірювань (ЗВ), а також динамічної складо-вої похибки вимірювань (Δдин) і похибки взаємодії ЗВ з об‘єктом вимірювання (Δвз). Нарешті, д сама складається з ряду складових (Δд1, д2, ... дn), обумовле-них різними впливаючими величинами ζ1, ζ2, ... ζn.

По точності вимірювань прилади поділяються на класи. Клас точності - узагальнена характеристика засобу вимірювальної техніки (засобу вимірювань), що визначається границями його допустимих основної і додаткових похибок, а також іншими характеристиками, що впливають на його точність, значення яких регламентується. Клас точності ЗВ дає інформацію про межі допус-

змінюється в часі, а інерційні властивості ЗВ не дозволяють зроби-ти його точне вимірювання. При статичних вимірюваннях дин = 0.

Похибка від взаємодії ЗВ з об‘єктом вимірювання вз, залежить як від влас-тивостей ЗВ, так і від властивостей об‘єкту.

Наприклад, при вимірюванні вольтметром напруги постійного струму U, на затискачах активного двополюсника виникає похибка через зниження U при під-ключенні вольтметра до об‘єкту.

Така ж похибка виникає і при вимірюванні струму амперметром, якщо останній після одержання результату вимірювання виключають із кола. Причина похибки – збільшення опору кола на значення опору амперметра RА.

Відносне значення цієї похибки при Rвих«RV і RА«Rвих+Rн у відносних оди-ницях визначається відповідно виразами:

δвз V = -Rвих / RV, (11.1)

δвз A = -RA / (Rвих + Rн), (11.2)

де δвз V, δвз A – відносне значення похибки взаємодії при вимірюванні відпові-дно вольтметром чи амперметром;

Rвих - вихідний опір досліджуваного кола (включно з джерелом живлення); RV, RA - вхідний (внутрішній) опір вольтметра і амперметра;

4

Rн – опір навантаження;

Вхідні кола ЗВ, що вимірюють змінну напругу, характеризується паралельним з‘єднанням вхідного опору RV і вхідної ємності вольтметра СV.

У даному випадку, якщо прийняти, що вихідний опір джерела сигналу чисто активний, а вимірювана напруга синусоїдальна u = Umsinωt,

то, при

Rвих « RV і (ωТ)2 « 1, (11.3)

де Т = RвихСV .

І замість (11.1) маємо

δвз V = -Rвих/RV –0,5(ωТ)2. (11.4)

Методична складова похибки вимірювання м обумовлена недосконалістю методу вимірювання. Наприклад, заміна нелінійної функції перетворення ЗВ із слабо вираженою не лінійністю,

лінійною залежністю й ін. Виявлення джерел і характеру поведінки методичних похибок може бути виконано ретельним аналізом прийнятого в конкретному експерименті методу вимірювання. Похибка відліку від в ЗВ з цифровим відліковим пристроєм не перевищує одного кванта шкали відлікового пристрою і включається в склад основної похибки о, а в ЗВ з аналоговим відліковим пристроєм не включається. Її граничне значення для аналогових приладів визначається формулою

від,г = ±КЦП, (11.5)

де ЦП – ціна поділки; К – коефіцієнт, значення якого залежить від того, до якої долі ділення проводиться заокруг-

лення при відліку (якщо до половини, то К = 0,5; якщо до десятої долі, то К = 0,1 і т. д.).

2 Закон нормального розподілу випадкових похибок. Математичне сподівання, диспер-

сія, середнє квадратичне відхилення і їх оцінки.

Закон розподілу вважається заданим, якщо:

1)зазначена безліч можливих значень випадкової величини;

2)зазначений спосіб кількісного визначення імовірності попадання випадкової величини в будь-яку область безлічі можливих значень. Імовірність попадання в задану область може бути визначена формулою:

Тут Nт — кількість спостережень випадкової величини, що знаходяться в заданій області; N - загальне число спостережень (частотне визначення імовірності).

Характеристикою центру розподілу є математичне сподівання Мх, випадкової величини Х (часто називають також генеральним середнім значенням):

Ступінь розсіювання випадкової величини Х відносно Мх, може бути охарактеризована за допомогою генеральної дисперсії : 2x D

Якщо f(x) все в більшому ступені концентрується поблизу Мх то значення дисперсії зменшуються. Якщо ж маються дуже віддалені від Мх значення випадкової величини Х, то дисперсія збільшується. Квадратний корінь з дисперсії називається середнім квадратичним відхиленням

(СКВ) ϭx.

Всі описані вище функції і пов‘язані з ними параметри є теоретичними, що характеризують визначені ластивості досліджуваного об'єкту. На практиці майже завжди ці характеристики невідомі і виникає задача експериментального (емпіричного) визначення тих чи інших характеристик випадкових величин на основі спостережень і приймають практичні значення: середнє аривмети-

͞

чне x, дисперсія СКВ ≈ ϭ.

3 Стандартні апроксимації законів розподілень випадкових похибок.

Аналітичними вираженнями законів розподілу випадкових величин є функції розподілу імовірностей — інтегральна і диференційна. Інтегральна функція розподілу F(x) випадкової величини Х показує імовірність того, що випадкова величина не перевищує деякого заданого чи поточного значення х,тобто Отже, імовірність того, що значення випадкової величини Х розміщене між х1 і х2 дорівнює різниці значень функції розподілу, обчислених у цих двох точках:

Інтегральна функція розподілу випадкової величини Х має наступні властивості: Якщо функ-

ція F (х) диференційована для всіх значень випадкової величини X, то закон розподілу імовірностей може бути виражений в аналітичній формі також за допомогою диференційної функції розподілу імовірностей:

Таким чином, значення функції f {х} наближено дорівнює відношенню імовірності попадання випадкової величини в інтервал (х, х+Δх) до довжини x цього інтервалу, коли x— нескінченно мала величина. Тому функцію f

(х) називають також функцією щільності розподілу імовірностей (чи коротшефункцією густини імовірності).

Основні властивості функції f (х):

де - z-змінна інтегрування.

За допомогою диференційної функції розподілу обчислюється імовірність перебування випадкової величини в будь-якій області з безлічі її можливих значень.

4 Довірчий інтервал і довірча ймовірність. Параметр q=a/σ і його застосування при оцінці СКВ та довірчих інтервалів.

Довірчий інтервал — інтервал, у межах якого з заданою довірчою імовірністю можна чекати значення оцінюваної (шуканої) випадкової величини. Застосовується для більш повної оцінки точності в порівнянні з точковою оцінкою.

Наприклад, можна сказати: результати опитування показали, що кандидат набере на виборах 40% голосів. Проте математично правильніше сказати: з імовірністю 90% кількість голосів набраних кандидатом згідно з опитуваннями лежить в інтервалі 403%. Тут довірчий інтервал 3%.

Довірчий інтервал і довірча ймовірність. Параметр q=a/σ і його застосування при оцінці СКВ та довірчих інтервалів.

Для повного уявлення про точність вимірювань та надійність оцінки випадкових відхилень результатів вимірювань, особливо при обмеженій кількості значень вимірюваної величини, необхідно задатися довірчими межами, довірчим інтервалом та довірчою ймовірністю. Нехай

- n незалежних спостережень над випадковою величиною з законом розподілу F(z/a), що залежить від параметра a, значення якого невідомо. Довірчі межі випадкових похибок

— це верхня та нижня межі інтервалу, в які похибки потрапляють із заданою ймовірністю Р. Величина Р називається довірчою ймовірністю. Для визначення довірчих меж похибок необхідно знати густину розподілу похибок та ймовірність потрапляння похибок у довірчі межі. Якщо не ввести обмеження, то задача матиме множину розв'язків. нтервал називають довірчим, а ймовірність – довірчою імовірністю або надійністю оцінки.

4 Визначення імовірності появи похибки яка не перевищує заданого значення. Стандартні форми представлення результатів вимірювань.

5 Опрацювання результатів прямих одноразових та багаторазових вимірювань. Коефіцієнт кореляції.

При одноразовому вимірюванні фізичної величини отримати найвірогідніший результат та оцінити його точність надто складно і прак-тично неможливо. Для отримання най вірогіднішого результату вимі-рювання слід перейти до багаторазових вимірювань. Як показує дос-лід, при багаторазовому вимірюванні однієї й тієї ж фізичної величи-ни, проведеному за допомогою одного й того ж приладу, в однаковихумовах, з однаковою старанністю, результати спостережень будуть(хоч і не значно) відрізнятись один від одного. Це вказує на те, що прибагаторазових вимірюваннях результати спостережень та їх похибки євипадковими величинами. Виникнення випадкових похибок зумовленеспільним впливом на засіб та об'єкт вимірювання багатьох випадковихфакторів, між якими практично відсутній взаємозв'язок. Тому багато-разові вимірювання проводять з метою визначення та зменшення ви-падкової складової похибки. При цьому необхідно визначити, яке зна-чення прийняти за кінцевий результат вимірювання. Відповідь на цепитання дає математична статистика, для якої ця задача є одним з ви-падків знаходження оцінок числових функцій розподілу.

Нормальний закон розподілу (загальні відомості). З теорії мате-матичної статистики відомо, що за достатньо великої кількості випад-кових величин їх поява підпорядковується певному закону. Якщо поосі абсцис відкласти різні значення випадкових величин X, а по осіординат відносну кількість величин даного значення (тобто кількістьвеличин даного значення N поділену на загальну їх кількість п), топри п ^ <х> дістанемо криву, зображену на рис.1.4.4.

Ця крива характеризує закон нормального розподілу випадковихвеличин. В 1809 р. німецький математик Карл Фрідріх Гаус застосувавцей закон для аналізу випадкових величин.

Закон нормального розподілу випадкової величини дає змогу об-числити ймовірність перебування випадкової величини Хі в певнихмежах. Причому закон нормального розподілу може точно описуватилише нескінченно велику сукупність випадкових похибок (генеральнасукупність). Так як кількість вимірювань не може бути нескінченною,це практично здійснити неможливо. Навіть при достатньо великій кі-лькості вимірювань виникають похибки, зумовлені багатьма фактора-ми (зміною умов проведення вимірювань, суб'єктивними факторами,що впливають на експериментатора тощо).

Як показала практика, в деяких випадках велика кількість вимірю-вань обмежена часом (обробки результатів вимірювань в екстремаль-них ситуаціях). Для вибірки з n значень Хі оцінкоюматематичного сподівання випадкової величини (її най вірогіднішимзначенням) є середня арифметична отриманих результатів спостере-ження:

Отже, середнє арифметичне є більш достовірним значенням, якеможна надати вимірюваній величині. Оскільки за оцінку дійсного зна-чення вимірюваної величини приймають середнє арифметичне резуль-татів спостережень, то і для оцінки випадкових похибок доцільно використовувати відхилення результату спостережень від середнього арифметичного:

^Хі — di — ХІ Х

Якщо відхилення di надто малі, то результати вимірювань близькіодне до одного і, ймовірно, дуже точні. Якщо деякі з відхилень великі,то на точні результати вимірювань неможливо розраховувати.

В теорії ймовірності доводиться, що вибіркове середньо квадрати-чне відхилення окремих результатів спостережень (ах) виражаєтьсячерез випадкові відхилення d

6 Опрацювання результатів опосередкованих вимірювань.

7,8 Опрацювання результатів сумісних вимірювань.

При сукупних та сумісних вимірюваннях шукані значення фізичних величин G1,G2,…,Gm і отримані в і-ому досліді внаслідок прямих або опосередкованих вимірювань значення фізичних вели-

чин Ai,Bi зв‘язані між собою рівняннями :

Після підставляння в кожне рівняння визначених експериментальних значень отримує-

мо рівняння(2.139)

де знак рівності має вже чисто умовний характер, бо отримані в результаті експерименту коефіцієнти, що входять у вираз ( ) містять похибки. Тому рівняння типу ( ) називають умовними.

Якщо рівняння (2.139) складені із однойменних величин, то вимірювання називають сукупними; якщо ж фізичні величини, що входять до рівняння, мають різні розмірності, вимірювання називають сумісними.

Коли в кожне рівняння ввести доданок (він представляє собою випадкову похибку), котрий перетворює це рівняння в тотожність, то завдання полягає в тому, щоби знайти такі оцін-

ки при котрих сума квадратів випадкових похибок буде найменшою, тобто в рів-

няннях(2.140)

значення випадкових похибок будуть задовільняти умову min Оскільки

то вимогу мінімізації суми квадратів залишкових похибок можна записати у вигляді:

Функція декількох змінних (.) досягне мінімуму в точці, де часткові похідні дорівнюють нулю. Тому оцінку фізичних величин Gj, що нас цікавлять, знаходимо із системи рівнянь

j=1,2,…,m. (2.141)

Знаходження оцінок способом найменших квадратів, особливо при застосуванні, сучасної обчислювальної техніки створює можливість опрацювання великих масивів експериментальних даних, внаслідок чого точність знаходження оцінок може бути значно підвищена за рахунок кількості умовних рівнянь і, отже, кількості спостережень, до декількох десятків і навіть сотень.

При опрацюванні великої кількості спостережень вже можна визначити дисперсію випадкових похибок для рівняння оцінок результатів:

(2.142)

Де - похибки, що легко обчислюються після визначення Gj.

Один із найпоширеніших експериментів полягає в знаходженні функціональної залежності між величинами. Порівняно простим завданням є встановлення лінійної залежності між величинами, визначеними при сумісних вимірюваннях.

Розглядаються дві фізичні змінні величини x та y, котрі, як ми припускаємо, пов‘язані лінійною залежністю

(2.143)

При виконанні низки вимірювань отримаємо результати, на підставі котрих потрібно знайти рівняння прямої лінії, що найкращим чином апроксимує отримані результати. Ця задача може бути розв‘язана графічно або аналітично при допомозі методу максимальної правдоподібності. Аналітичний метод визначення найкращої прямої лінії, яка апроксимує серію експериментальних точок, називається лінійною регресією, чи апроксимацією прямої методом найменших квадратів.

Задача зводиться до визначення коефіцієнтів рівняння регресії А і В:

(2.144)

Ці формули дають найкращі оцінки постійних А і В для прямої лінії що базуються на точках, визначених за результатами вимірювання. Отримана лінія називається лінією регресії y від x.

4 Засоби вимірювань

1 Основні різновидності засобів вимірювань, їх класифікація.

Засобами вимірювань називають технічні засоби, що використовуються при вимірюваннях і мають нормовані метрологічні властивості. До засобів вимірювань належать міри, вимірювальні перетворювачі, прилади, установки і системи.

Міра—засіб вимірювань,призначений для відтворення фізичної величини заданого розміру. Міра, що відтворює одне значення фізичної величини, називається однозначною, а міра,

призначена для відтворення ряду значень величини,— багатозначною.

Наприклад, гиря — однозначна міра маси; вимірюваль-ний резистор — однозначна міра електричного опору; лінійка з поділками — багатозначна міра довжини; конден-сатор змінної ємності з градуйованою шкалою — багатозначна міра електричної ємності.

Набором мір називається спеціально підібраний комплект конструктивно відокремлених мір, що можуть вико-ристовуватися не тільки окремо, а й у різних комбінаціях для відтворення ряду заданих значень даної фізичної ве¬личини. Наприклад, набір вимірювальних резисторів, набір вимірювальних конденсаторів.

Набір мір, конструктивно об'єднаних з пристроєм для вмикання їх у різних комбінаціях, називається магазином мір. Наприклад, магазин опору, магазин індуктивності, магазин ємності.

Вимірювальним перетворювачем називають засіб вимі¬рювань, призначений для перетворення вхідного вимірю¬вального сигналу у вихідний, зручний для дальшого пере¬творення, обробки, зберігання, але непридатний для безпосереднього сприймання спостерігачем. Наприклад, калібрований шунт, вимірювальний трансформатор, атесто¬вана термопара.

Вимірювальним приладом називають засіб вимірювань, призначений для вироблення вихідного сигналу вимірювальної інформації у формі, придатній для безпосереднього сприймання спостерігачем. Наприклад, вольтметр, ватметр, термометр.

Вимірювальні перетворювачі і прилади називають вимірювальними пристро-

ями.

Вимірювальною установкою називають сукупність функціонально об'єднаних засобів вимірювань (мір, вимірювальних пристроїв) і допоміжних пристроїв (стабілізуючих, перемикаючих), призначених для вироблення вимірювальних сигналів у формі, придатній для безпосереднього сприймання вимірювальної інформації спостерігачем. Наприклад, установка для магнітних вимірювань.

Вимірювальною системою називають сукупність засобів вимірювань (мір, вимірювальних пристроїв) і допоміжних пристроїв, з'єднаних між собою каналами зв'язку, призначених для вироблення сигналів у формі, придатній для автоматичної обробки, передавання, а також використання вимірювальної інформації у автоматизованих системах управління.

Еталони і зразкові засоби вимі¬рювань. За призначенням засоби вимірювань поділяють на еталони, зразкові та робочі.

Еталон (еталон одиниці) — засіб вимірювання (або комплекс засобів вимірювань), що забезпечує відтворення, а також збереження одиниці фізичної величини для передачі її розміру іншим засобом вимірювань, виконаний за особливою специфікацією і офіційно затверджений в установленому порядку як еталон.

Зразковими засобами вимірювань називають такі, що призначені для перевірки інших засобів вимірювань і офіційно затверджені як зразкові. Наприклад, зразкова міра, зразковий вимірювальний прилад, вимірювальний перетворювач.

До зразкових засобів вимірювань відносять, зокрема, зразкову речовину і стандартний зразок.

Зразкова речовина — зразкова міра у вигляді речовин з відомими властивостями, які відтворюються при додержанні умов приготовлення, що вказані в затвердженій специфікації. Наприклад, чиста вода, чисті гази (водень, кисень), чисті метали (цинк, срібло, золото, платина), неметали, сполуки.

Стандартний зразок — міра для відтворення одиниць величин, що характеризують властивості або склад речовин і матеріалів. Наприклад, стандартний зразок властивостей феромагнітного матеріалу, легованої сталі.

Засоби вимірювань, що призначені для вимірювань, не пов'язаних з передачею розміру одиниць або перевіркою інших засобів, називаються робочими.

Метрологічні характеристики — це характеристики властивостей засобу вимірювань, які нормуються для визначення результату вимірювання і його похибок. Для кожного типу засобу вимірювань встановлюють свої метрологічні характеристики.

Характеристики, що встановлюються нормативно-технічними документами, називаються нормованими метрологічними характеристиками, а ті, що визначаються експериментально — дійсними метрологічними характеристиками. Номенклатура метрологічних характеристик, правила вибору комплексів нормованих метрологічних характеристик для засобів вимірювань і способи їх нормування визначаються стандартом ГОСТ 8.009-84

До основних метрологічних характеристик відносяться: градуювальна характеристика; похибка засобу вимірювань; чутливість; ціна поділки шкали;

поріг чутливості; діапазон вимірювань; варіація показів;

варіація вихідного сигналу; динамічні характеристики (перехідна та імпульсна перехідна функції, амплітудні і фазові ха-

рактеристики, передавальна функція) та ін.

До нормованих метрологічних характеристик включають ті, що відображають реальні властивості засобу вимірювання і перелік цих характеристик повинен бути достатнім для оцінки інструментальної складової похибки вимірювань в умовах застосування засобу вимірювань.

Загальний перелік нормованих метрологічних характеристик засобу вимірювань, форми їх подання та методи нормування визначаються стандартами. В перелік можуть входити:

межі вимірювань, межі шкали; ціна поділки аналогових засобів;

вихідний код, число розрядів коду, номінальна ціна найменшого розряду для цифрових засо-

бів;

градуювальна характеристика; похибка;

варіація показів приладу або вихідного сигналу перетворювача; повний вхідний опір вимірювального пристрою, вимірювального перетворювача; та ін.