Litvin_TFKP
.pdf2
Министерство образования и науки Украины Приазовский государственный технический университет Кафедра высшей математики
Н.В. Литвин
Конспект лекций по теории функций комплексного
переменного
Мариуполь – 2004
Литвин Н.В.
Конспект лекций по теории функций комплексного переменного. Мариуполь: ПГТУ, 2004. – 56с.
В пособии в доступной форме изложены основные сведения из теории функций комплексного переменного; к каждой теме приведены примеры, иллюстрирующие способы решения поставленных задач.
Цель пособия – помочь студенту освоить теоретические основы и изучить методы решения задач, используемые в теории функций комплексного переменного.
Рекомендуется использовать это пособие студентам всех форм обучения.
3
1 . Комплексные чи сла и действия над ними .
Комплексным числом z называется выражение z = а + ib, где a, b – любые действительные числа, i – мнимая единица. Первое число a пары (a, b) называется действительной частью комплексного числа z и обозначается символом a = Re z; второе число b называется мнимой частью комплексного числа z и обозначается символом b = Im z.
Два комплексных числа z1 = a1 + ib1 и z2 = a2 + ib2 равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, т.е. z1 = z2
лишь при a1 = a2, b1 = b2.
Нулём называется комплексное число, у которого действительная часть а = 0 и мнимая часть b = 0, т. е. z = 0 + i0, и обычно пишут просто z = 0.
Включим действительные числа во множество комплексных чисел, рассматривая действительное число а как комплексное число, у которого мнимая часть равна нулю, т. е. а = а + i0. Таким образом, множество комплексных чисел рассматривается как расширение множества действительных чисел. Комплексное число вида z = 0 + ib называется чисто мнимым и обозначается z = ib.
Комплексное число z = a − ib называется комплексно сопряжённым числу z = a + ib.
Запись вида z = a + ib называется алгебраической формой комплексного числа.
1 . 1 . Геометрич еская интер претация комплексных чи сел .
Поскольку комплексное число определяется как пара действительных чисел, то естественной геометрической интерпретацией является изображение комплексного числа z = a + ib точкой плоскости (x, y) с декартовыми координатами x = a, y = b. Такую плоскость в дальнейшем будем называть комплексной плоскостью, ось абсцисс – действительной, а ось ординат – мнимой осью комплексной плоскости. При этом устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством всех комплексных чисел и множеством точек комплексной плоскости, а также между множеством всех комплексных чисел и множеством всех свободных векторов, проекции x и y которых на оси абсцисс и ординат соответственно равны a и b. Таким образом, комплексное число z = a + ib изображается в плоскости (x, y) точкой M(a, b) либо вектором, начало которого находится в точке О(0,0) а конец в точке M(a, b). Для определения
4
положения точки на плоскости можно пользоваться полярными координатами (r, j), где r – расстояние точки от начала координат, а j – угол, который составляет радиус–вектор данной точки с положительным направлением оси абсцисс. Положительным направлением изменения угла
j считается направление против часовой стрелки (-p < j £ p). Длина r
вектора |
ОМ называется модулем комплексного числа и обозначает- |
||||
сяr = |
|
z |
|
, |
а угол j, образованный этим вектором с положительным на- |
|
|
правлением оси ОХ, называется аргументом комплексного числа z и обозначается j = Arg z. Легко выразить модуль и аргумент комплексного
числа через его действительную и мнимую части: r = a2 + b2 , tgj = ba
(при выборе из последнего соотношения значения j следует учитывать знаки a и b). Отметим, что аргумент комплексного числа определён не однозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2p:
Arg z = arg z + 2pk, k = 0, ±1, ±2,¼,
где arg z – есть главное значение аргумента, определяемое условиями
–p < arg z £ p, причём |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
arctg |
, |
|
|
|
если |
a > 0; |
|
|||
|
ï |
a |
|
|
|
|
||||||
|
ï |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ï p + arctg |
, |
|
если |
a < 0, |
b ³ 0; |
||||||
|
a |
|
||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ï |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
argz = |
ï |
|
|
|
|
|
, |
если |
a < 0, |
b < 0; |
||
í-p + arctg |
a |
|||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ï |
p |
, |
|
|
|
|
|
если |
a = 0, |
b > 0; |
|
|
ï |
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ï |
- |
, |
|
|
|
|
если |
a = 0, |
b < 0. |
||
|
ï |
2 |
|
|
|
|
||||||
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеют место следующие соотношения |
|
|
|
||||||
b |
|
|
b |
|
|
|
a |
||
tg(Argz) = a |
, sin(Argz) = |
|
|
|
, cos(Argz) = |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
a2 + b2 |
a2 + b2 |
Аргумент комплексного числа z = 0 вообще не определён, а его модуль равен нулю. Два отличных от нуля комплексных числа равны между собой в том и только в том случае, если равны их модули, а значения аргументов или равны, или отличаются на число кратное 2p. Комплексно сопряжённые числа имеют один и тот же модуль, а значения их аргументов при соответствующем выборе областей их изменения различаются знаком.
5
1) |
|
z |
|
= |
|
z |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства модуля комплексных чисел: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2) |
|
|
z |
|
× |
|
|
z |
|
= |
|
z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
|
|
z1 × z2 |
|
= |
|
|
|
|
z1 |
|
× |
|
z2 |
|
; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
|
|
zn |
|
|
= |
|
z |
|
n ; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
|
|
z1 |
|
|
|
= |
|
|
z1 |
|
|
, если z2 ¹ 0; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z2 |
|
|
|
z2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6)Rez £ z , Imz £ z ;
7)z1 + z2 £ z1 + z2 ;
8)z1 - z2 ³ z1 - z2 .
Воспользовавшись связью декартовых и полярных координат x = r cos j, y = r sin j, получим так называемую тригонометрическую форму записи комплексного числа:
z = r (cos j + i sin j),
где r = çzï, j = Arg z.
Используя известную формулу Эйлера eiϕ = cos j + i sin j, получаем
так называемую показательную форму записи комплексного числа: z = reiϕ.
Примеры. Найти модуль и главное значение аргумента:
1.1. z = 4 + 3i.
|z| = 16 + 9 = 5 ; так как x = 4 > 0, то arg z = arctg 3/4.
1.2. z = – 2 + 2 3 i.
z = 4 +12 = 4 ; так как x = – 2 < 0, y = 2 3 > 0, то argz = p + arctg 2-23 = p - arctg3 = p - p3 = 23p.
1.3. Записать в тригонометрической и в показательной формах ком-
плексное число z = -1- i3.
Решение. Найдём модуль и главное значение аргумента данного чис-
ла:
z = 1+ 3 = 2; x = -1 < 0, = -3 < 0, Þ
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
) = -p + arctg |
|
= -p + p |
= - |
2p |
|
|
|
|||||||||
|
|
Þ argz = -p + arctg( |
|
3 |
|
||||||||||||||||||
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||
-1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
||||||||
Таким образом, тригонометрическая форма данного числа имеет вид: |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
æ |
æ |
2p ö |
|
æ |
|
|
2p öö |
|
|
|
|
|
− |
2π |
i |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
-1- i 3 = 2 |
ç cosç - |
|
÷ |
+ isin ç |
- |
|
÷÷ |
, а показательная – z = 2e |
|
3 |
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
è |
è |
3 ø |
|
è |
|
|
3 øø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 . 2 . Действия над комплексными числами .
Пусть даны два комплексных числа z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2. Суммой комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число z = a + ib, где a = a1 + a2, b = b1 + b2. Легко видеть, что при таком определении сохраняются переместительный и сочетательный законы сложения, т.е.
z1 + z2 = z2 + z1 и z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3. Так же, как и в области дей-
ствительных чисел, сумма любого комплексного числа z с нулём равна этому числу z, т. е. z + 0 = z.
Операция вычитания комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению. Комплексное число z = a + ib называется разностью
комплексных чисел z1 = a1 + ib1 и z2 = a2 + ib2, если a = a1 – a2, b = b1 – b2.
Отмеченное выше соответствие между множеством всех комплексных чисел и плоскими векторами позволяют отождествить операции сложения и вычитания комплексных чисел с соответствующими операциями над векторами. При этом легко устанавливаются неравенства треугольника:
z1 + z2 £ z1 + z2 , z1 - z2 ³ z1 - z2 .
Модуль разности двух комплексных чисел имеет геометрический смысл расстояния между соответствующими точками на комплексной плоскости.
Произведением комплексных чисел z1 = a1 + ib1 и z2 = a2 + ib2 называ-
ется комплексное число z = a + ib такое, что a = a1a2 – b1b2, b = a1b2 + a2b1. При таком определении произведения выполняются переместительный:
z1∙z2 = z2∙z1, сочетательный: z1∙(z2∙z3) = (z1∙z2)∙z3 и распределительный: (z1 + z2)∙z3 = z1∙z2 + z2∙z3 законы. Заметим, что умножение на действительную единицу (1, 0) не меняет комплексного числа: z×1 = z. Чисто мнимое число ib можно рассматривать как произведение мнимой единицы i и действительного числа b. В силу определения произведения комплексных чисел справедливо соотношение i×i = i2 = – 1. Оно позволяет придать прямой алгебраический смысл алгебраической форме записи комплексного числа z = a + ib и производить операции сложения и умножения комплексных чисел по обычным правилам алгебры многочленов.
Для выполнения операции умножения удобно пользоваться триго-
7
нометрической формой комплексных чисел. Пусть
z1 = r1 (cosj1 + isin j1 ), z2 = r2 (cosj2 + isin j2 ) .
Согласно правилам умножения получаем
z = r(cosj + isin j) = z1 × z2 = r1 (cosj1 + isin j1 ) ×r2 (cosj2 + isin j2 ) = = r1r2 (cosj1 cosj2 - sin j1 sin j2 ) + ir1r2 (sin j1 cosj2 + cosj1 sin j2 ) =
= r r écos |
( |
j + j |
2 ) |
+ isin |
( |
j + j |
ù |
= r ×r |
2 |
× ei(ϕ1 +ϕ2 ). |
1 2 ë |
1 |
|
1 |
2 )û |
1 |
|
Отсюда r = r1×r2, j = j1+ j2, т. е. модуль произведения равен произведению модулей, а аргумент – сумме аргументов сомножителей.
Операция деления комплексных чисел определяется как операция, обратная умножению. Комплексное число z = a + ib называется частным от деления комплексных чисел z1 = a1 + ib1 и z2 = a2 + ib2 ¹ 0, если z1 = z2×z. Чтобы выполнить деление комплексных чисел z1 и z2 , умножим и разделим частное на комплексное число z2 = a2 - ib2 , сопряжённое числу z2:
z = |
z1 |
= |
a1 + ib1 |
= |
(a1 + ib1 )×(a2 - ib2 ) |
= |
(a1a2 + b1b2 ) + i(-a1b2 |
+ a2b1 ) |
= |
|||||||||
z2 |
a2 + ib2 |
(a2 + ib2 )×(a2 - ib2 ) |
|
a22 + b22 |
|
|||||||||||||
= |
a1a2 + b1b2 |
+ i |
b1a2 - a1b2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
a22 + b22 |
a22 + b22 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
В случае деления комплексных чисел в тригонометрической форме |
|||||||||||||||||
при r2 ¹ 0 имеют место следующие соотношения: |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
z = r(cosj + isin j) = |
z1 |
r1 |
(cosj1 |
+ isin j1 ) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|||||||
|
|
|
|
z2 |
r2 |
(cosj2 |
+ isin j2 ) |
|
|
=r1 (cos(j1 - j2 ) + isin (j1 - j2 )), r2
или в показательной форме z = r1 ei(ϕ1 −ϕ2 ). r2
Примеры.
1.4. Найти действительные решения уравнения
(4+2i)x+(5–3i)y = 13 + i.
Решение. Выделим в левой части уравнения действительную и мнимую части:
(4x + 5y) + i(2x – 3y) = 13 + i.
ïì4x + 5y =13, |
ìx = 2, |
||
í |
2x - 3y =1; |
Þ í |
y =1. |
ï |
î |
||
î |
|
|
8
1.5.Найти произведение комплексных чисел (3 + 5i)∙(4–i).
Решение.
(3 + 5i)∙(4 – i) = 12 + 20i – 3i – 5i2 = 12 + 17i + 5 = 17 + 17i.
1.6.Найти частное от деления комплексных чисел 43+-5ii .
Решение.
3 - i |
= |
(3 - i)(4 - 5i) |
= |
12 - 4i -15i + 5i2 |
= |
|
7 -19i |
= |
7 |
- |
19 |
i. |
||
4 + 5i |
(4 + 5i)(4 - 5i) |
|
16 - 25i2 |
|
16 + 25 |
41 |
|
41 |
1 . 3 . Возведение компл ексного числа в степень и извлечение корня из комплексного ч исла.
Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа удобны при рассмотрении алгебраических операций возведения комплексного числа в целую положительную степень и извлечения корня из комплексного числа. Возведение комплексного числа
z = r(cos j + i sin j)
в натуральную степень n производится по формуле zn = rn (cosnj + isin nj),
т. е. zn = z n , Argzn = n × Argz + 2pk, k = 0,±1,±2,K
Отсюда получается формула Муавра
(cosj + isin j)n = cosnj + isin nj.
Комплексное число z1 = nz называется корнем n–й степени из комплексного числа z, если z = z1n . Из этого определения следует, что
r1 = nr и j1 = jn . Как было отмечено выше, аргумент комплексного чис-
ла определён не однозначно, а с точностью до слагаемого кратного 2p. Поэтому корень n–й степени из комплексного числа z имеет n различных значений, которые находят по формуле
|
|
|
|
æ |
j + 2pk |
|
j + 2pk ö |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n z = n r çcos |
|
+ isin |
|
|
÷ |
, |
|
|
|
|
||||
n |
n |
|
||||||||||||
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|||||||
где k = 0,1,2,K,n -1, j = argz, |
r = |
|
z |
|
. |
|||||||||
|
|
Точки на комплексной плоскости, соответствующие различным значениям nz , расположены в вершинах правильного n–угольника, вписанного в окружность радиуса nr с центром в точке z = 0.
9
Корень n–й степени из действительного числа a также имеет n различных значений; среди этих значений действительных будет два, одно или ни одного в зависимости от чётности или нечётности n и знака числа a.
Примеры.
1.7. Найти все значения 41- i.
Решение. Приводим комплексное число 1 – i к тригонометрическому
виду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
-1ö |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
||||
r = |
1+1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= -arctg1 = - |
. |
|||||||||||||||||
|
|
2 , то argz = arctgç |
|
|
÷ |
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
1 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Так как x > 0, |
y < 0 , то j = - p |
. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
æ |
|
p |
ö |
+ isin |
æ |
- |
p ö |
ö |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 – i = |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
çсosç - |
4 |
÷ |
ç |
|
|
÷÷ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
è |
|
|
4 ø |
ø |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
- |
p |
+ |
2pk |
|
|
|
|
|
- |
p |
+ |
2pk |
ö |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
= 8 |
|
|
|
ç |
|
4 |
+ isin |
4 |
|
÷ |
|
|
|||||||||||||||||||||
и |
4 |
1- i |
2 |
|
ç cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
Полагая k = 0, 1, 2, 3, найдём: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
æ |
|
p |
|
|
|
|
|
p |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1- i |
= |
|
|
|
|
+ isin |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
при k = 0 |
|
z1 = |
|
|
|
2 |
ç cos |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
16 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
æ |
|
7p |
|
|
|
|
|
7p ö |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1- i |
= |
|
|
|
|
+ isin |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
при k = 1 |
|
z2 = |
|
|
|
2 |
çcos |
|
|
|
|
|
|
|
÷, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
16 ø |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
æ |
|
15p |
|
|
|
|
|
15p ö |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1- i |
= |
|
|
|
|
+ isin |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
при k = 2 |
|
z3 = |
|
|
|
2 |
ç cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
16 ø |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
æ |
|
23p |
|
|
|
|
|
23p ö |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1- i |
= |
|
|
|
|
+ isin |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
при k = 3 |
|
z4 = |
|
|
|
2 |
çcos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
16 ø |
|
|
|
|
1.8. Найти все значения 41 .
Решение. Запишем действительное число 1 в тригонометрической
форме. Так как |
|
|
|
r =1, j = 0 и |
1 = 1×(cos 0 + i sin 0). |
|||||||
1 = 1 + 0i, то |
||||||||||||
Следовательно, |
4 |
|
= cos |
2pk |
+ isin |
2pk |
|
= cos pk |
+ isin pk . |
|||
1 |
||||||||||||
|
4 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
2 |
||||
При k = 0 |
имеем |
4 |
1 |
= cos0 + isin0 =1; |
|
10
при k = 1 |
имеем |
4 |
|
= cos p + isin p = i; |
|||||
1 |
|||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|||
при k = 2 |
имеем |
4 |
1 |
= cos p + isin p = -1; |
|||||
при k = 3 |
имеем |
4 |
|
= cos |
3p |
+ isin |
3p |
= -i. |
|
1 |
|||||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 . Функции комплексного пер еменного.
2 . 1 . Понятие функции комплексного перем енного
Говорят, что в области D комплексной плоскости z определена функция комплексного переменного w = f(z), если каждой точке zÎD поставлено в соответствие одно (однозначная функция) или несколько (многозначная функция) значений w.
Множество комплексных чисел w, соответствующих всем zÎD, называется множеством значений функции f(z).
Поскольку каждое комплексное число z = x + iy характеризуется парой действительных чисел x и y, то задание комплексной функции w = u + iv комплексной переменой z = x + iy эквивалентно заданию двух действительных функций двух действительных переменных, что можно записать в виде
w(z) = u(x,y) + i v(x,y).
Функции u(x,y) и v(x,y) определены в области D. Функция u(x,y) называется действительной, а функция v(x,y) – мнимой частью функции w = f(z).
Множество значений w функции f(z) на комплексной плоскости w может иметь самую разнообразную структуру. В частности, это может быть открытая область G или замкнутая область G. При этом геометрическая интерпретация понятия функции f(z) комплексной переменой заключается в том, что равенством w = f(z) устанавливается закон соответствия между точками области D комплексной плоскости z и точками области G комплексной плоскости w. Очевидно, устанавливается и обратное соответствие: каждой точке wÎG ставится в соответствие одна или несколько точек z области D. Это означает, что в области G задана (однозначная или многозначная) функция комплексной переменной w: z = =j(w). Эта функция называется обратной функции f(z). Область G задания функции j(w) является областью значений функции f(z). Если функция j(w), обратная однозначной функции f(z), заданной в области D, является однозначной функцией в области G, то между областями D и G установлено однозначное соответствие. Говорят, что w – образ точки z, а
11
точка z – прообраз точки w при отображении w = f(z). Функция f(z) называется однолистной функцией в области D, если в различных точках z этой области она принимает различные значения. Из этого определения следует, что функция, обратная однолистной, является однозначной.
Примеры.
2.1. Найти действительную и мнимую части функции w = z3 - iz .
Решение.
Так как z = x + i × y , z = x - i × y , имеем
u + i × v = (x + i × y)3 - i ×(x - i × y) = (x3 - 3xy2 - y)+ i(3x2 y - y3 - x).
Следовательно, u(x,y) = x3 - 3xy2 - y, v(x,y) = 3x2 y - y3 - x.
2.2. Найти образ точки z0 =1- i при отображении w = (z - i)2 .
Решение.
w0 = (1- i - i)2 = (1- 2i)2 = -3 - 4i .
2.3. В какую кривую отображается единичная окружность |z| = 1 с
помощью функции w = z2 ?
Решение.
Так как по условию |z| = 1, то | ω | = |z|2 = 1. Следовательно, образом окружности |z| = 1 в плоскости z является окружность | ω | = 1 в плоскости ω , проходимая дважды. Это следует из того, что Arg w = 2Argz + 2pk ,
так что когда точка z описывает полную окружность |z| = 1, то её образ описывает окружность | w|=1 дважды.
2 . 2 . Основные элементарные фун кции комплексног о перем енного.
1. Дробно-рациональная функция
w = |
a |
0 |
zn + a |
zn−1 |
+ ...+ a |
n |
; |
||
|
1 |
|
|
||||||
b |
|
zm + b zm−1 |
+ ...+ b |
m |
|||||
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
в частности, рациональной функцией является многочлен
w= a0zn + a1zn−1 +... + a0 .
2.Показательная функция ez определяется как сумма абсолютно
12
сходящегося во всей комплексной плоскости степенного ряда
ez =1+ z + z2 +L+ zn +L
2! n!
Показательная функция обладает следующими свойствами:
1)ez1 +z2 = ez1 × ez2 при любых z1z2 .
2)ez+2πki = ez , (k = 0, ±1 , ±2 ,…), т. е. функция ez является периодиче-
ской с периодом T = 2pi.
3. Тригонометрические функции sin z и cos z определяются степенными рядами
|
|
z3 |
n+1 |
z2n−1 |
|||||||
sin z = z - |
|
|
+L+ (-1) |
|
|
|
|
|
|
+L, |
|
3! |
( |
2n |
-1 ! |
||||||||
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|||
|
|
z2 |
n+1 |
z2n−2 |
|||||||
cosz =1- |
|
|
+L+ (-1) |
|
|
|
|
+L, |
|||
|
2! |
|
(2n |
- 2)! |
где n = 1,2, …,
абсолютно сходящимися при любом значении z. Функции sin z и cos z – периодические с действительным периодом Т = 2p, имеют только дейст-
вительные нули при z = pk и z = p2 + pk соответственно, где
k=0, ±1,±2 ,…
Функции tg z , ctg z определяются равенствами
tgz = coszsin z , ctgz = coszsin z , они имеют действительный период Т = p.
Для тригонометрических функций остаются в силе все формулы тригонометрии. Для функций e z , sin z, cos z имеют место формулы Эйлера:
|
eiz = cosz + isin z, |
|
|||
|
e−iz = cosz - isin z, |
|
|||
откуда |
eiz + e−iz |
|
eiz + e−iz |
|
|
cosz = |
, sin z = |
. |
|||
2 |
2i |
||||
|
|
|
4. Гиперболические функции.
Гиперболические функции sh z, ch z, th z, cth z определяются равен-
ствами shz = |
ez - e−z |
, chz = |
ez + e−z |
, Т = 2πi; thz = |
shz |
, cthz = |
chz |
, |
|
2 |
2 |
chz |
shz |
||||||
|
|
|
|
|
Т = πi. Тригонометрические и гиперболические функции связаны между собой соотношениями:
sin z = – i sh iz, cos z = ch iz, tg z = – i th iz, ctg z = i cth iz.
13
sh z = – i sin iz, ch z = cos iz, th z = – i tg iz, cth z = i ctg iz. Очевидно и то, что ez = ex (cosy + isin y) , т. к. z = x + iy.
5. Логарифмическая функция Ln z, где z ¹ 0, определяется как функция, обратная показательной, причём
Ln z = ln z + i Arg z = ln z + i arg z + 2πki, (k = 0,±1,±2,L) ,
т.е. eLnz = z , arg z – главное значение z. Эта функция является многозначной. Главным значением Ln z называется то значение, которое получается
при k = 0; оно обозначается ln z: ln z = ln z + i arg z. Понятно, что Ln z = lnz + 2πki, k = 0, ±1,±2,L . Справедливы следующие соотношения:
|
æ |
z1 |
ö |
|
|
|
|
Ln (z1z2 ) = Lnz1 + Lnz2 , Ln ç |
÷ |
= Lnz1 - Lnz2 . |
|
||
|
|
|
||||
|
è z2 |
ø |
|
|
|
|
6. |
Общая показательная функция w = az , где а – любое комплексное |
|||||
число |
(а ¹ 0) определяется равенством az |
= ezLna , т.к. |
az |
= eLnaz = ezLna . |
||
Главное значение этой многозначной функции az = ezln a . |
|
|
||||
7. |
Общая степенная функцияw = za , |
где a = a + ib |
– |
любое ком- |
плексное число, определяется равенством za = eaLnz . Это многозначная функция, и её главное значение равно za = eaLnz .
8. Обратные тригонометрические функции Arcsin z, Arccos z, Arctg z, Arcctg z определяются как функции, обратные функциям sin z, cos z, tg z, ctg z соответственно. Все эти функции являются многозначными и выражаются через логарифмическую функцию.
Arcsin z = -iLn(iz ± |
|
|
), |
Arccosz = -iLn (z ± |
|
), |
||||||||||||
1- z2 |
z2 -1 |
|||||||||||||||||
|
i |
|
æ |
1+ iz ö |
|
|
i |
|
|
æ i - z ö |
||||||||
Arctgz = - |
|
Ln ç |
|
|
|
|
÷ |
= - |
|
Lnç |
|
÷, z ¹ ±i. |
||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
è |
1- iz ø |
|
|
|
|
è i + z ø |
||||||||||
Arcctgz = - |
i |
|
|
æ z + i ö |
|
z ¹ ±i. |
||||||||||||
|
|
Lnç |
|
|
|
÷ |
, |
|||||||||||
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
è z - i ø |
|
|
|
|
|
Главные значения этих функций получаются, если брать главные значения соответствующих логарифмических функций.
9. Обратные гиперболические функции определяются следующим
образом: Arshz = Ln (z ± z2 +1), Archz = Ln(z ± z2 -1),
14
Arthz = |
1 |
æ |
1+ z ö |
, z ¹ ±1 . |
|
|
Ln ç |
|
÷ |
||
2 |
|
||||
|
è |
1- z ø |
|
Примеры.
2.4. Найти значение модуля функции v = sin z в точке z = p + iln(2 + 5) .
Решение. Т. к.
z = ( x + iy), то ω = sin (x+ iy) = sin x cos iy + sin iy cos x = = sin x ch y + i sh y cos x,
( sh y = – i sin iy Þ sin iy = – shyi = -i shyi2 = ishy ).
Модуль функции sin z равен
sin z = sin2 xch2 y + sh2 ycos2 x = sin2 xch2 y + sh2 y(1- sin2 x) = = sin2 x (ch2 y - sh2 y)+ sh2 y = sin2 x + sh 2 y
Полагая z = p + iln(2 + 5) , найдём
sin(p + iln(2 + 5 )) = ish (ln (2 + 5)) = sh(ln(2 + 5 ))=
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 - 5 |
|
||
|
ln(2+ |
|
) |
|
−ln(2+ |
|
) 2 + |
5 - |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + 5 - |
|
||||||||||||||||
= e |
5 |
- e |
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
2 |
+ 5 |
|
= |
|
|
|
4 - 5 |
= |
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= 2 + |
|
+ 2 - |
|
= 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Этот пример показывает, что тригонометрическая функция sin z в комплексной плоскости может принимать значения по модулю большие единицы.
2.5. Вычислить значениеe |
−2+ |
πi |
, записать его модуль, действительную |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||
и мнимую части. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. |
= ex+iy = ex (cos y + isin y), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Так как ez |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
π |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
p ö |
|
|
æ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|||
|
|
−2+ |
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||
|
e |
|
3 = e−2 |
ç |
cos |
|
|
+ isin |
|
÷ |
= e−2 |
ç |
|
|
+ i |
|
|
|
|
|
÷. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
ç |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
÷ |
||||||
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
||||||||
|
|
|
æ |
−2+ π |
ö |
|
|
1 |
|
|
|
|
æ |
|
−2+π |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Reçe |
|
3 |
÷ = |
|
|
|
|
, |
Imçe |
3 |
÷ |
= |
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||
|
|
|
2e2 |
|
2e2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
15
Найдём модуль функции ez : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2x (cos2 y + sin2 y) |
= ex . |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ez |
|
= |
|
|
|
|
e2x cos2 y + e2x sin2 y = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В данном примере |
|
е |
−2+ |
πi |
|
= |
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2.6. Записать в алгебраической форме Arcsin |
|
p i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
) z = p |
|
|||
|
|
Решение. Полагая в формуле |
|
Arcsin z = -iLn(iz ± |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1- z2 |
, по- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
лучим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Arcsin |
|
p |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
± |
|
|
1 |
+ |
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
= -iLnç - |
3 |
|
|
9 |
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é |
|
æ p |
|
|
|
|
|
|
|
|
öù |
é |
|
|
æ p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
ù |
|
|
|||||||||||||||||||||||
1) |
Arcsin |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
p2 |
|
|
+ |
1+ |
p2 |
= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
i = -iLn ê-ç |
3 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
÷ú |
= -i êln |
ç |
|
|
|
9 |
÷ + pi + 2pkiú |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ú |
ê |
|
|
|
ç 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
ú |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
øû |
ë |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
û |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
1+ p |
2 |
|
|
|
|
|
k = 0,±1,±2,K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
( |
2k +1 - iln ç p |
|
|
|
|
÷, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
ç |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
æ |
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
p ö |
ö |
|
|
|||||||||||||||||||
2) |
Arcsin |
|
p |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
p2 |
- |
p |
|
|
|
1+ |
p2 |
- |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
= -iLn ç |
|
9 |
3 |
|
÷ = -içln ç |
9 |
3 |
÷ + 2pki ÷ = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
÷ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
è |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
ø |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
p2 |
- |
p |
|
|
k |
= 0,±1,±2,K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
= 2pk - ilnç |
|
9 |
3 |
÷, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.7. Записать в алгебраической форме Arctg( 1+ i ). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. Полагая в формуле Arctgz = - |
|
|
i |
Ln |
æ |
1+ iz ö |
, z = 1+i, получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
è |
1- iz ø |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
æ |
1+ i 1+ i |
ö |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
æ |
|
|
i |
ö |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Arctg(1+ i) |
= - |
|
|
|
|
Lnç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
= - |
|
|
Ln |
ç |
|
|
|
|
÷ = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1- i(1+ i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
ç |
÷ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
è 2 - i ø |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
æ -1+ 2i |
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
i |
æ |
|
|
1 |
|
|
2 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= - |
|
|
|
Ln ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
= - |
|
|
|
Ln ç - |
|
|
|
+ |
|
|
|
i÷. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Далее, |
- |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
i |
= |
|
|
|
|
,arg |
ç |
- |
|
|
+ |
|
|
|
|
i |
÷ = p - arctg2 , следовательно, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
5 |
5 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
æ |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 + i(p - arctg2) + 2pki = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Ln ç - |
|
|
+ |
|
|
|
|
i÷ = -ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2k |
- iarctg2. |
|
|
|
|
|
|||||||
= -ln 5 + ip 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Окончательно, |
|
|
|
|
|
|
|
i |
(-ln |
|
|
|
+ ip(1+ 2k) - i arctg2) = |
|||
|
Arctg(1+ i) = - |
|
|
|
||||||||||||
|
|
5 |
||||||||||||||
|
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
p |
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
|
ln |
5 + |
2 (1+ 2k) - |
|
arctg2 |
= |
|||||||||
2 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= - |
|
arctg2 + |
2 (1+ 2k) + |
|
ln |
|
|
|
5, k = 0,±1,±2,K |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.8. Решить уравнение sin z = 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Решение. Задача сводится к нахождению величины z = Arcsin 3. Вос- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пользуемся формулой Arcsin t = -iLn (it ± |
|
|
|
|
|
|
|
). При t = 3 будем иметь |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1- t2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z = Arcsin3 = -iLn (3i ± i |
|
|
|
|
) = -iLn((3 ± |
|
)i). |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
8 |
8 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Так как 3 + |
|
> 0 и3 - |
|
|
> 0 , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
8 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
arg(3 + |
|
|
|
) i = arg( |
3 - |
|
) i = p |
; |
|
(3 + |
|
) |
i |
|
= 3 + |
|
, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
8 |
8 |
8 |
8 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
(3 - |
|
) i |
|
= 3 - |
|
, |
то |
|
|
Ln (3 ± |
|
) |
|
|
|
|
i = ln (3 ± |
|
|
|
|
)+ p i + 2pki. |
|||||||||||||||||||
|
8 |
|
8 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Следовательно, z = p |
+ 2pk - iln (3 ± |
|
|
|
),k = 0,±1,±2,K |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
8 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 . Предел по следова тельности компл ексных чисел . Пред ел и непрерывно сть функц ии ком - плексного переменного.
3.1. Пусть дана последовательность комплексных чисел
{zn } = z1,z2 ,K,zn ,K
Комплексное число а называется пределом последовательности{zn } ,
если для любого положительного числа ε можно указать такой номер N = N(e) , начиная с которого все члены zn этой последовательности
удовлетворяют неравенству zn - a < e, n ³ N .
Последовательность{zn } , имеющая предел а, называется сходящейся
к числу а, что записывается в виде lim zn = a .
n→∞
Каждой последовательности комплексных чисел {zn } соответствуют
|
|
17 |
две последовательности действительных чисел {xn } и{yn } , где |
||
zn = xn + iyn , |
n =1,2,K |
|
ТЕОРЕМА 1. Последовательность |
{zn = xn + iyn } сходится к числу |
|
a = α + iβ тогда и только тогда, когда lim xn = a, |
lim yn = b. |
|
n→∞ |
n→∞ |
Последовательность {zn } называется ограниченной, если существует положительное число М такое, что для всех элементов zn этой последовательности выполняется неравенство zn £ M.
ТЕОРЕМА 2. Всякая сходящаяся последовательность {zn } ограниче-
на.
Свойства сходящихся последовательностей.
Если lim zn = a,lim tn = b , то |
|
||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
n→∞ |
|
|||||
1 |
lim |
z |
n |
± t |
n ) |
= a ± b; |
|
||||
) |
n→∞ ( |
|
|
|
|
|
|
||||
2) |
lim(zn ×tn ) = a × b; |
|
|||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
lim |
zn |
= a ,(tn ¹ 0,b ¹ 0). |
|
|||||||
|
|
||||||||||
|
n→∞ tn |
b |
|
|
|
|
|
||||
Пример. |
|
|
|
|
|
n - i |
|
|
|||
3.1. Доказать, |
|
что последовательность zn = |
|
, n =1,2,K имеет |
|||||||
|
n +1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пределом число а = 1.
Доказательство. Пусть задано произвольное число ε > 0. Покажем, что существует такой номер N, что zn -1 < e для всех n ³ N . Так как
|
|
|
|
|
|
|
zn -1 |
|
= |
n - i |
-1 |
= |
|
1+ i |
= |
|
|
2 |
|
, |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n +1 |
|
|
|
n +1 |
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
то |
неравенство |
|
zn -1 |
|
< e |
будет выполнено, |
если |
2 |
|
|
< e, т. е. при |
|||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n +1 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
n > |
2 |
-1 . Значит, в качестве N(e) |
можно взять число |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
e |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é |
|
|
|
|
ù |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N(e) = ê |
|
|
|
|
-1ú +1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18
где символ [x] означает целую часть действительного числа x.
Достаточное условие сходимости последовательности комплексных чисел.
Пусть z |
n |
= r |
eiϕn |
, гдеr |
n |
= |
|
|
z |
n |
|
, |
j |
n |
= argz |
n |
. Тогда, |
|
|
если lim r |
n |
= r , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
0 |
|||||||||
lim j |
n |
= j |
0 |
, то lim z |
n |
= r eiϕ0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
n→∞ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Примеры. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
+ |
|
z ön |
|
|
= e |
z |
|
|
|
|
|
= x + iy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3.2. Доказать, что lim |
ç1 |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
, |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
è |
|
|
|
|
|
|
n ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
z ön |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Доказательство. Обозначим zn = ç1 |
+ |
|
|
|
÷ |
|
|
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
n ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z ön |
|
|
|
|
|
|
|
éæ |
|
|
|
|
|
|
x ö2 |
|
|
|
y2 ù |
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
zn |
|
= lim |
ç1 |
+ |
|
|
÷ |
|
|
|
= lim |
êç1+ |
|
|
|
÷ |
+ |
|
|
ú |
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
n→∞ |
è |
|
|
|
|
|
|
n ø |
|
|
n→∞ |
ê |
è |
|
|
|
|
|
|
n ø |
|
|
|
|
ú |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 + 2xn ö |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
+ |
|
2 |
|
|
= e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
z ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Так как |
jn = argç1+ |
|
|
|
÷ = arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
= arctg |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
+ x |
|
|
|
n + x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
n ø |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
z ön |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
z ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
||||||||||
то |
|
|
|
argzn = argç1+ |
|
|
|
÷ |
|
|
= n × argç1 |
+ |
|
|
÷ |
= n × arctg |
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
n ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
n ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Значит, |
|
|
|
|
|
|
lim jn = lim n ×arctg |
|
|
|
|
y |
|
|
= y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Пользуясь достаточным условием сходимости последовательности |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
комплексных чисел, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
+ |
|
z |
ön |
= ex ×eiy |
= ex+iy = ez . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim ç1 |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3. Доказать, что последовательность zn = arg (-n1)n , n =1,2,K рас-
ходится.
Доказательство. Так как
|
|
|
|
|
|
19 |
|
( |
-1 n |
ì |
0 |
при |
n = 2k, |
zn = arg |
) |
|
|
|
||
|
n |
= í |
|
при |
n = 2k -1, |
|
|
|
îp |
то последовательность {zn } имеет вид: π; 0; π; 0; … и предела не имеет.
Пусть имеем последовательность {zn } комплексных чисел z1 ,z2 ,K,zn ,K Если для любого сколь угодно большого числа М > 0 су-
ществует натуральное число N такое, что все члены zn последовательности с номерами n > N удовлетворяют неравенству |zn | > M, то говорят, что
последовательность {zn } сходится к бесконечно удалённой точке или к
бесконечности: lim zn = ¥ . Пополняя плоскость комплексного переменно-
n→∞
го так введенной бесконечно удалённой точкой z = ¥, получаем расширенную плоскость комплексного переменного.
3.2. Окрестностью точки z0 плоскости комплексной переменной z называется всякая область, содержащая эту точку. d-окрестностью точки zo называется множество всех точек z, лежащих внутри круга радиуса d с центром в точке z0, т. е. множество всех точек z, удовлетворяющих неравенству z - z0 < d.
Пусть функция w = f (z) определена в некоторой окрестности W точки z0, кроме, быть может, самой точки z0. Число А называется пределом функции f ( z) в точке z0, если для любого числа e > 0 можно указать такое число d > 0, что для всех точек z Î W , удовлетворяющих усло-
вию z - z0 < d , выполняется неравенство f (z) - A < e . В этом случае пи-
шут lim f (z) = A. Здесь предполагается, что z0 и А конечные точки ком-
z→z0
плексной плоскости.
Определение предела функции f(z) в точке z0 может быть дано и подругому. Если для любой последовательности{zn }, zn ¹ z0 , сходящейся к точке z0 , соответствующая ей последовательность значений функции сходится к комплексному числу А, то число А называют преде-
лом функции f |
(z) в точке z0: lim f (z) = A . Здесь конечность z0 |
и А не |
||||||||||||
|
z→z0 |
( |
|
) |
|
|
( |
|
) |
|
( |
|
) |
|
предполагается. |
z→z0 |
z |
, где |
f |
z |
= u |
x, y |
+ |
||||||
Существование предела lim f |
|
|
|
|
|
|
||||||||
+iv(x, y), z0 = x0 + iy0 , равносильно существованию |
двух |
пределов |
20
x→x0 |
( |
x, y |
) |
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
( |
x,y |
) |
, причём |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim u |
|
|
и lim v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
y→y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y→y0 |
|
z→z0 |
( |
|
|
) |
x→x0 |
( |
|
|
|
) |
|
x→x0 |
( |
|
|
|
) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
x,y |
|
x, y |
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f |
|
|
|
= lim u |
|
|
+ i lim v |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y→y0 |
|
|
|
|
|
|
y→y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства пределов функций комплексного переменного. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→z0 |
|
( |
z |
) |
z→z0 |
|
( |
z |
) |
= B , тогда |
||||
Пусть существуют пределы lim f |
|
|
= A, lim g |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
z→z0 |
( |
f |
( |
z |
) |
± g |
( |
z |
)) |
= A |
± B, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
lim |
( |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
z→z0 |
f |
z |
×g |
( |
z |
)) |
= A |
× B, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
lim |
f (z) |
|
= |
A |
, |
|
B ¹ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
g(z) |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
z |
→z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Функция f (z) , заданная в области D, называется непрерывной в точ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ке z0, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f (z) = f (z0 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→z0 |
|
|
f (z) = u(x, y) + iv(x,y) комплексной |
|||||||||||
Для |
|
непрерывности |
|
функции |
переменной в точке z0 = x + iy0 необходимо и достаточно, чтобы её действительная и мнимая части, т.е. функции u(x,y) и v(x,y), были непрерывны
вточке z0 по совокупности переменных x, y. Функция f(z) комплексного переменного называется непрерывной в области D , если она непрерывна
вкаждой точке этой области. Сумма, разность, произведение двух функций комплексного переменного f(z) и g(z) , непрерывных в области D , также являются функциями непрерывными в этой области, а функция
f (z) непрерывна в тех точках области D , где g(z) ¹0. g(z)
Пример.
3.4. Дана линейная функция w = f (z) = az + b, где a и b – комплексные постоянные. Доказать, что в точке z0 эта функция непрерывна, т.е.
zlimz (az + b) = az0 + b .
→ 0
Доказательство. Возьмём произвольное число e > 0. Так как f (z) - w0 = (az + b) - (az0 + b) = az - az0 = a × z - z0 ,
то, выбрав в качестве d > 0 число d = ae , будем иметь f (z) - w0 < e при
|z – z0| < d. Это означает, что w0 = az0 + b есть предел функции f(z) = az + b в точке z0.