Розділ 4. Коливання та хвилі. Основні формули.

4.1 Механічні коливання та хвилі.

Вільні коливання.

Рівняння гармонійних коливань:

, де

–амплітуда або максимальне відхилення точки від положення рівноваги, м;

- власна частота вільних коливань;

зміщення або відхилення точки від положення рівноваги, м;

Власна циклічна частота коливань

Частота коливань

Період коливань

Фаза коливань , або при,

початкова фаза коливань( при =0),.

Швидкість при гармонійних коливаннях

=А- амплітуда швидкості

Прискорення при гармонійних коливаннях ,

- амплітуда прискорення .

Пружний маятник.

Рівняння вільних коливань пружного маятника

,

коефіцієнт жорсткості пружини ,

маса вантажу .

Власна циклічна частота .

Період коливань Т=.

Потенціальна енергія sin²).

Кінетична енергія A²cos².

Повна механічна енергія коливань

=.

Амплітуда коливань А=.

Математичний маятник

Рівняння вільних коливань математичного маятника

,

тангенціальне прискорення ,

прискорення вільного падіння ,

довжина маятника, ,,

зміщення маятника від положення рівноваги, .

Вільна циклічна частота .

Період коливань Т=.

4.2 Електромагнітні коливання та хвилі.

Вільні коливання у електричному контурі

Рівняння вільних електричних коливань в контурі( без активного опору)

.

Власна циклічна частота ,

С – ємність конденсатора ;

L – індуктивність контуру .

Миттєве значення заряду в конденсаторі ,

амплітудне значення заряду конденсатору .

Миттєве значення струму в контурі

.

Амплітудне значення струму в контурі .

Період вільних коливань (формула Томсона)

Т=.

Повна енергія у контурі ,

енергія електричного поля зарядженого конденсатора;

енергія магнітного поля котушки індуктивності.

Змінний електричний струм.

Магнітний потік, пронизуючий рамку Ф=,

площа рамки;

кут між векторами магнітної індукції В і нормаллю к площі контуру;

циклічна частота.

Миттєве значення ЕРС індукції у рамці

)=

Амплітудне значення ЕРС індукції .

Миттєве значення змінного струму .

ЕРС рамки, яка має витків:,.

Діючи значення струму, напруги, ЕРС ;;.

Трансформатор

Коефіцієнт трансформації ,,

ККД трансформатора .

Індекс 1 – первинна обкладка трансформатору; Індекс 2 – вторинна обкладка трансформатору.

Приклади розв’язування задач.

Задача 4.1. Рівняння коливань х = 0,1Sin (pt/8 + p/4 )см. Знайти: 1) максимальні значення швидкості та прискорення руху точки; 2) значення максимальної сили, що діє на точку; 3) повну енергію точки, яка коливається.

Розв’язання:

Cos () = 1, отже

0, 0003925 = 3,9· 10^-4 (м/с)

Прискорення точки можна знайти як похідну від швидкості:

а = -0,001 (

Максимальне значення буде, якщо Sin , отже

a_max = -0,001 (м/с²)

Значення максимальної сили знайдемо:

F_max = ma_max = -0,016 · 10^-4 = -2, 46 · 10^-6 (Н)

Значення повної енергії знайдемо:

Е_повн = 1,23·10^-10 (Дж)

Відповідь: u_мах = 3,9Ч10^-4м/с; а_мах = -1,5Ч10^-4м/с²;

F_мах = -2,46Ч10^-6Н; Е_повн = 1,23Ч10^-10 Дж.

Задача 4.2   Один маятник здійснив 10 коливань, другий за цей же час – 6 коливань. Різниця довжин маятників 16см. Знайти довжини маятників.