Розділ IX. Побудова економіко-математичної моделі діяльності банківської установи та алгоритм розв'язування

Із всієї сукупності методів дослідження й планування операцій фінансистам найбільш доступні методи лінійного й нелінійного оптимального математичного програмування.

Рішення завдання методами лінійного й нелінійного програмування засноване на тім, що один із критеріїв задається у вигляді цільової функції, що підлягає максимізації або мінімізації. Для інших цілей вибираються які-небудь прийнятні значення, які задаються у вигляді обмежень при рішенні завдання оптимізації.

Для спрощення припустимо, що банки і фірми лише емітують кредитні ресурси, а їх придбанням в обсязі B_h займаються лише домашні господарства, використовуючи це як форму розміщення збережених коштів – альтернативу депозитам. [4. 253] Для фінансового ринку має місце спрощене рівняння балансу:

B_f+B_b=B_h. (9.1)

Як зовнішні умови, що впливають на діяльність комерційного банку, так і процеси, що розвиваються у самому банку, є результатом складної і неоднозначної взаємодії багатьох чинників, причин, залежностей, багато з яких має випадкові (імовірнісну) чи не чітку (розпливчасту) природу. Наслідком цього є те, що робота банку значною мірою обтяжена невизначеністю та зумовленим нею ризиком.

Одним з способів, за допомогою якого можна описати поточний стан банку, є його опис за допомогою вектора характеристик:

x=f(x₁,x₂ …, x_n). (9.2)

Кількісний та якісний склад компонент вектора х визначається ступенем деталізації.

Фактично ця форма опису стану банку за змістом адекватна банківському балансу: компоненти вектора х можуть бути інтерпретовані як звичайні статті балансу, а кількість їх і структура відповідають рівню його агресивності. Конкретні значення кожної з компонент х_j вектора стану х визначаються обранням одиниць вимірювання для відповідного ресурсу (характеристики). Здебільшого це вимірювачі коштів у тій чи іншій валюті; можуть бути і так звані ресурсні одиниці (р. од.) стан окремого j-го ресурсу ототожнюється з деяким елементом множини невід’ємних дійсних чисел R=[0,+∞), геометричним образом якої є додатна піввісь дійсної числової осі. Отже, стан банку загалом можна подати деякою точкою невід’ємного ортанту n-мірного евклідового простору:

_. (9.3)

Множина всіх можливих (допустимих) точок векторів) х утворює простір станів банку :

. (9.4)

Можуть також створюватись певні похідні (вторинні) характеристики:

. (9.5)

Значимо що вектор похідних характеристик y є функцією від вектора х:у=f(x).

Як типовий приклад похідних (вторинних) характеристик стану банку постає система обов’язкових фінансових нормативів (коефіцієнтів), що їх встановлює НБУ.

Для врахування чинника часу потрібно задати деяку множину Т, елементи котрої називають моменти часу. Традиційно як модель «неперервного фізичного» часу використовують множину точок нескінченної одномірної дійсної осі R¹₊ з фіксованим початком відліку, а множина всіх ураховуваних моментів часу Т- це певний відрізок на цій осі. [5, 254-257]

Якщо задана модель неперервного часу, то стан j-ї характеристики можна розглядати як значення функції х_j (t)що визначена на множині Т і набуває значення на множині R¹₊. Графік функції х_j (t) відіграє роль траєкторії зміни в часі j-ї характеристики. Стан банку загалом – це значення векторної функції часу:

ч(е) = (ч₁(е)б …б ч_о (е)б …б ч_т (е))б (9.6)

а траєкторія системи є деякою кривою (гіперповерхнею) вn-міроному просторі.

Модель динаміки банківських ресурсів, що ґрунтується на подані часових інтервалів, не повною мірою відповідають процесам, які реалізуються на практиці. По-перше, “фізичний час” як такий що плине рівномірно і неперервно, не відповідає зазвичай внутрішнім ритмам “життєвого циклу” економічних суб’єктів. Класичний приклад невідповідності “фізичного” і “економічного” часу пов’язаний з необхідністю врахування вхідних і святкових днів, упродовж яких банк не виконують свої операції. По-друге, неперервність висуває високі вимоги щодо масивів даних, необхідних для відповідного їх тестування та експлуатації. [8, 270-280]

Для переходу від неперервного часу до дискретного, що більш адекватно враховує умови діяльності фінансово-економічних інститутів, може використовуватися так звана інтертемпоральна модель Хікса. Згідно з цією концепцією скінчений відрізок часу [t_-, t₊],впродовж якого спостерігається функціонування системи, поділяється на рівні К частин (відрізки та інтервали) довжиною δ:

[t_-, t_- + δ), [t_- + δ, t_- +2δ), …,[t_- + (K-1)δ, t₊], (9.7)

де t_- + К δ= t₊.

В основі такого поділу – гіпотеза, за якою всередині цих інтервалів

[t_-, (k-1)δ, t_-+ kδ] усі параметри x_j (t), що характеризують стан банку та умови його функціонування, залишаються (наближено) постійними і змінюються лише на межах часових інтервалів.

Відповідно до законодавства банк зобов'язаний дотримувати економічних нормативів регулювання банківської діяльності, що встановлюють максимально припустимі границі ризиків і мінімально припустимі границі ліквідності. Тому ми просто змушені прийняти норми ризику й ліквідності НБУ як обмеження. Як головна мета (цільової функції) виберемо максимізацію прибутку.

В математичній постановці завдання планування системи максимізації прибутку банку потрібно знайти невідомі вектори активів

, (9.8)

і пасивів

(9.9)

банку, максимізуючи лінійну форму прибутку системи кредитування:

(9.10)

де Prf – прибуток (profit) грошово-кредитної системи банку як ціль, критерій оптимізації (максимізації).

Позначення показників для розміщення ресурсів (активів):

A_a – сума інвестицій в окремий тип активів ;

–загальна сума активів;

D_a – прибутковість окремого типу активів;

a – цифрове ім'я (індекс) окремого типу активів;

n – число типів активів.

Позначення показників для залученних ресурсів (пасивів):

L_l – сума залучення по окремому типі зобов'язань в

пасиві;

–загальна сума залучення в пасивах;

E_l – процентні витрати по залученню окремого типу

пасивів;

l – цифрове ім'я окремого типу пасивів;

m – число типів пасивів.

Враховуючи економічні, власні і технологічні обмеження можемо побудувати алгоритм моделі формування системи максимізації прибутку, блок-схема алгоритму представлена у додатку 3.