- •Анотация
- •2.Описание математической модели решения задачи
- •3.Блок-схема алгоритма
- •4.Описание программы
- •Описание алгоритма программы
- •Описание выполнения программы
- •Характеристика данных и их условные обозначения
- •Текст программы
- •Контрольный пример Метод наименьших квадратов
- •Анализ результатов
- •Заключение
- •Список литературы
- •Приложение
Государственное высшее учебное заведение
«Донецкий национальный технический университет»
Факультет компьютерных наук и технологий
Кафедра «Вычислительная математика и программирование»
Курсовая работа
по курсу:«Вычислительная техника и алгоритмические языки»
на тему:
«Использование метода наименьших квадратов при решении электротехнических задач»
Студента первого курса
группы
направления подготовки 6.050702
специальности 7.05070204
Руководитель Чеснокова Оксана Витальевна
Национальная шкала _______________
Количество баллов: ___ Оценка: ECTS ___
Членыкомисии ________________ __________________
(подпись) (фамилия и инициалы)
________________ __________________
(подпись) (фамилия и инициалы)
________________ __________________
(подпись) (фамилия и инициалы)
г. Донецк – 2014
Анотация
В данной курсовой работе я рассмотрел задачу о зависимости тока ротора АД АИУМ225М4 от напряжения при различных коэффициентах нагрузки. Составил программудля вычисления коэффициента корреляции,подбора методом наименьших квадратов.Контрольный расчет был проведен при помощи математического пакетаMathCad.
Содержание
Анотация 2
Введение 4
1.Постановка задачи 5
2.Описание математической модели решения задачи 6
3.Блок-схема алгоритма 13
4.Описание программы 18
4.1.Описание алгоритма программы 18
4.2.Описание выполнения программы 19
1.Характеристика данных и их условные обозначения 21
2.Текст программы 22
3.Контрольный пример 31
4.Анализ результатов 35
Заключение 36
Список литературы 37
Приложение 38
Введение
В работе рассматривается решение задачи по обработке реальных количественных экспериментальных данных, полученных в результате технических испытаний, методом найменьших квадратов. В качестве инструмента для решения поставленной задачи выбраны язык программирования С++ и математический пакет MathCAD.
1.Постановка задачи
Известны зависимости тока ротора АД АИУМ225М4 от напряжения при различных коэффициентах нагрузки.
Для зависимостей с коэффициентами нагрузки 1, 1,3 вычислить коэффициент корреляции; методом наименьших квадратов подобрать зависимости вида, вычислить индекс корреляции, суммарную квадратичную ошибку, среднюю ошибку в точке и относительную ошибку. Найти ожидаемое значение токов при напряжениях 0,72, 0,98, 1,23. Номинальной ток ротора 52 А.
В программе исходные данные рекомендуется считывать из файла aium225m4.txt или с клавиатуры. Результаты вычислений сохранить в текстовом файле rezult.txt. Средствами математического пакета или электронных таблиц проверить результаты работы программы, построить график экспериментальной зависимости и подобранной функции.
Рисунок 1.График исходных данных
2.Описание математической модели решения задачи
Метод наименьших квадратов используется при обработке реальных количественных данных, полученных в результате всевозможных научных опытов, технических испытаний, астрономических, геодезических и т.п. наблюдений. Пусть в результате эксперимента были получены некоторые данные, представленные в виде таблицы . Необходимо построить аналитическую зависимость, наиболее близко описывающую результаты эксперимента.
Таблица 1– экспериментальные данные
Идея метода наименьших квадратов заключается в том, что функцию
необходимо подобрать таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений измеренных значений yi от расчетных Yi была наименьшей:
Рисунок 2.Визуализация метода найменьших квадратов
Геометрическая интерпретация метода наименьших квадратов Задача сводится к определению коэффициентов . Для ее решения необходимо составить систему уравнений
Если параметры ai входят в зависимостьлинейно, то получим систему из k-линейных уравнений с k неизвестными:
Зная коэффициенты, являющиеся решением системы , можно составить искомую функцию
Подбор параметров линейной функции
Пусть необходимо определить параметры функции: . Составим многочлен для заданной функции:
Сформируем систему линейных уравнений , решив которую, определим коэффициенты функции:
Кубическая функция
Необходимо определить параметры многочлена третьей степени:
Составим функцию
Система уравнений для вычисления параметров примет вид:
Полином k-й степени
Необходимо определить параметры многочлена k-й степени:
Тогда система уравнений для определения параметров ak принимает вид:
Получив коэффициенты полинома, необходимо произвести выравнивание значений экспериментальной зависимости, то есть выполнить расчет теоретических значений по полученной формуле.
Уравнение регрессии и коэффициент корреляции
Линия, описываемая уравнением вида y = a0 + a1x, называется линией регрессии y на x, параметры a0 и a1 называются коэффициентами регрессии и определяются формулами .
Чем меньше величина тем более обоснованно
предположение, что экспериментальные данные описываются линейной функцией. Существует показатель, характеризующий тесноту линейной связи между x и y, называемый коэффициентом корреляции и рассчитываемый по формуле:
Значение коэффициента корреляции удовлетворяет соотношению:
.
Чем меньше отличается абсолютная величина r от единицы, тем ближе к линии регрессии располагаются экспериментальные точки. Если коэффициент корреляции равен нулю, то это означает, что между x и y не существует линейной связи, но между ними может существовать зависимость, отличная от линейной.
Криволинейная корреляция
Обычно коэффициент корреляции r применяется только в тех случаях, когда между данными существует прямолинейная связь. Если же связь криволинейная, то пользуются индексом корреляции, который рассчитывается по формуле:
где y– экспериментальные значения,
Y – теоретические значения,
–среднее значение y.
Индекс корреляции по своему абсолютному значению колеблется в пределах от 0 до 1. При функциональной зависимости индекс корреляции равен 1. При отсутствии связи R = 0. Если коэффициент корреляции r является мерой тесноты связи только для линейной формы связи, то индекс корреляции R – и для линейной, и для криволинейной. При прямолинейной связи коэффициент корреляции по своей абсолютной величине равен индексу корреляции:.