3.1.2 Обработка прямых измерений с многократными наблюдениями

При обработке многократных измерений решают две задачи.

Во-первых, определяют некоторое приближенное значение измеряемой величины, называемое оценкой и наилучшим образом соответствующее полученным результатам. Во-вторых, определяют вероятные отклонения результатов измерений от оценки измеряемой величины.

Цельобработки результатов многократных измерений состоит в том, чтобы уменьшить значение случайной погрешности.

При статистической обработке результатов наблюдений следует выполнить следующие операции.

1. Исключить из результатов наблюдения грубые погрешности (промахи) (см. подраздел 2.4).

2. Исключить известные систематические погрешности результатов наблюдений (см. пп. 2.5.3).

3. Вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений или другую оценку математического ожидания, применяемую за результат измерений (см. пп. 2.3.1).

4. Вычислить оценку СКО результата наблюдения (см. пп. 2.3.1).

5. Вычислить оценку СКО результата измерения

6. Проверить гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат выбранному закону распределения (см. пп. 2.3.2).

7. Вычислить доверительные границы случайной погрешности результата измерения (см. пп. 2.3.3).

8

. Вычислить границы неисключенной систематической погрешности результата измерения (см. п. 2.6).

9. Вычислить доверительные границы погрешности результата измерения.

Порядок выполнения операций, перечисленных в пунктах 1-5, был рассмотрен нами в предыдущих подразделах. Рассмотрим порядок выполнения операций 6, 7.

6. Проверка гипотезы о принадлежности результатов наблюдений выбранному закону должна производиться только при числе наблюдений от 10-15 до 20-30. При n < 10-15 гипотеза не проверяется в силу небольшого объема выборки. Приn > 20-30 среднее арифметическое результатов наблюдений, принимаемое за результат измерения, распределено по нормальному закону (согласно центральной предельной теореме теории вероятности), поэтому для определения границ случайной погрешности результата измерения такая проверка не требуется.

7. Границы случайной погрешности результата измерения определяют по формуле (3.3)

,

где доверительный коэффициентберется в зависимости от числа наблюдений, закона распределения результатов наблюдения и доверительной вероятности (рис. 3.4).

Пункты 8, 9 выполняются аналогично тому, как это делалось для однократных наблюдений (рис. 3.2, 3.3).

3.1.3 Обработка нескольких групп прямых измерений с многократными наблюдениями

На практике одну и ту же величину могут измерять разными СИТ, в разное время или в разных условиях, получая несколько (больше одной) групп наблюдений. Для повышения точности естественно объединить эти результаты, т.е. выполнить совместную обработку этих групп.

Однако, объединение групп наблюдений возможно далеко не всегда. К повышению точности объединение результатов приведет лишь при определенных условиях, а именно при статистической однородности групп наблюдений.

С

Рисунок 3.4 - Порядок определения границ случайной погрешности при проведении прямых измерений с многократными наблюдениями

татистическая однородность групп наблюдений заключается в выполнении следующих условий:

1) наблюдения в группах распределены по одному и тому же закону;

Рисунок 39. Порядок определения границ случайной погрешности при проведении

прямых измерений с многократными наблюдениями.

Рисунок 3.4. Порядок определения границ случайной погрешности при проведении прямых измерений с многократными наблюдениями.

Рисунок 3.4 - Порядок определения границ случайной погрешности при проведении прямых измерений с многократными наблюдениями

2) средние арифметические групп различаются незначительно;

3) дисперсии групп различаются незначительно (т.е. результаты равнорассеяны или, как говорят, равноточны).

Проверка соответствия распределения наблюдений в группах одному и тому же закону осуществляется с помощью критериев согласия (см. пп. 2.3.2).

Дальнейшая проверка статистической однородности осуществляется с помощью аппарата математической статистики, называемого дисперсионным анализом.

Проверка однородности групп по математическому ожиданию при числе групп L3 осуществляется с помощью критериев Аббе или Фишера, рассмотренных в пп. 2.5.2.

Для L=2 алгоритм осуществления этой проверки приведен на рис. 3.5.

Он состоит в следующем.

1. Определяются средние арифметические для каждой группы наблюдений по формулам

(3.8)

где x_1i,x_2j– результаты наблюдений из 1-й и 2-й групп;

2. Определяется модуль разности полученных средних арифметических:

. (3.9)

3. Определяется оценка дисперсии результатов наблюдений в каждой из групп по формулам

(3.10)

4. Определяется суммарная оценка дисперсии результатов измерения этих групп:

. (3.11)

5. По заданной доверительной вероятности Р_Д , считая закон распределения модуля разности средних арифметических наблюдений групп нормальным (дляn₁+n₂ > 30), определяем по табл. 2.1 значение коэффициентаt_p, после чего производится сравнениеGи. ЕслиG, отклонение средних арифметических групп считается несущественным и можно переходить к проверке групп на равнорассеянность (равноточность). В противном случае объединять группы нельзя.

Рисунок 3.5 - Алгоритм обработки двух групп наблюдений

Для проверки равнорассеянности (равноточности) измерений в группах следует воспользоваться следующим алгоритмом (рис.3.5).

1. По вычисленным значениям иопределяется величинаили, так, чтобы.

2. Выбирается доверительная вероятность и по табл. А.7 распределения Фишера (а именно по такому закону оказывается распределенной величина ) находится значение параметра₀ для заданныхn₁+n₂.

3. Производится сравнение  и₀ . Если <₀ , серии измерений считаютсяравнорассеянными, если >₀ , сериинеравнорассеяны(неравноточны).

В зависимости от полученных результатов производится дальнейшая обработка групп измерений.

Измерения равноточные.

Оценку математического ожидания результатов наблюдений (результат измерения) для объединенных групп определяют по формуле

(3.12)

Оценка дисперсии результата измерения, очевидно, описывается выражением

Для преобразования этого выражения величину представим как

. (3.13)

Так как с учетом выражения (3.13)

то эту сумму можно записать следующим образом

Поскольку

и

то окончательное выражение для оценки дисперсии результата измерения будет иметь вид

. (3.14)

Измерения неравноточные.

При неравнорассеянных результатах измерения в группах их объединение осуществляется таким образом, чтобы получить наиболее эффективную оценку математического ожидания. Эту оценку будем искать, используяпринцип максимального правдоподобия(пп. 2.3.1).

Если средние арифметические в группах можно считать распределенными по нормальному закону, то функцию правдоподобия можно представить в виде

.(3.15)

Логарифмическая функция правдоподобия

. (3.16)

Нам нужно найти эффективную оценку , поэтому приравниваем нулю производнуюпо

.

Отсюда

. (3.17)

Это так называемое средневзвешенное, которое принимается за оценку математического ожидания объединенных групп.

Для равных дисперсий получаем выражение (3.12).

Оценка дисперсии

. (3.18)

После получения оценок дисперсии вычисляют границы случайной погрешности по формуле (3.3), в которой t_Pдля (n₁₊n₂) > 30 , берется для нормального распределения.