Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Брестский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

косой изгиб

.docx

Скачиваний:

Добавлен:

01.03.2016

Размер:

428.54 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Лекция 7 (продолжение). Примеры решения на сложное сопротивление и задачи для самостоятельного решения

Расчет балок при косом изгибе

Пример 1.

Для стальной балки требуется:

1. Определить положение нейтральной линии;

2. Построить эпюру нормальных напряжений в долях силы Р вдоль оси, перпендикулярной нейтральной линии;

3. Определить грузоподъемность балки, если R = 240 МПа.

Решение.

1. Определим геометрические характеристики сечения.

По таблице стандартных профилей находим

где х и у – собственные оси швеллера.

ХСY – главная центральная система координат.

Ось х параллельна оси Х, а ось у параллельна оси Y.

Определим главные центральные моменты инерции относительно осей Х и Y.

2. Рассмотрим плоскость OYZ (вертикальную плоскость) и построим эпюру М_х.

Рассмотрим плоскость OХZ (горизонтальную плоскость) и построим эпюру М_у.

3. Опасным является сечение в заделке, так как относительно этого сечения изгибающие моменты являются наибольшими.

(растянуто верхнее волокно).

(растянуто правое волокно).

Силовая плоскость (плоскость действия результирующего момента ) проходит через I и III квадранты. Тогда нейтральная линия должна проходить через II и IV квадранты.

Определим угол наклона нейтральной линии к оси Х

Знак «минус» показывает, что угол откладываем от оси Х против хода часовой стрелки.

4. Определим координаты угловых точек сечения А, L, B, K в главной центральной системе координат ХY

;

Подсчитаем напряжения в точках А, L, B, K.

Продлим нейтральную линию и на перпендикуляре построим эпюру напряжений.

5. Определим грузоподъемность балки

Условия прочности

Мн

Мн.

Пример 2.

Балка загружена нагрузкой, показанной на рис.1. Сила кН действует в вертикальной плоскости, кН – в горизонтальной, пара сил кНм – в плоскости, расположенной под углом к оси .

Рис.1

Требуется:

1) из условия прочности подобрать номер двутавра;

2) найти полное перемещение точки оси балки (см. рис. 1);

3) нарисовать сечение балки в масштабе и показать на нем нейтральную линию и полное перемещение точки . Определить угол между нейтральной линией и полным перемещением.

Решение.

Разложим нагрузку на вертикальную (рис. 2, а) и горизонтальную (рис. 2, в) составляющие и построим эпюры и (рис. 2, б, г). Чтобы правильно поставить знаки изгибающих моментов, необходимо на рисунках показывать направление осей и , так как в соответствии с правилом знаков для изгибающего момента в задачах сложного сопротивления знак момента зависит от направления осей. Эпюры моментов строим со стороны растянутых волокон в той плоскости, в которой действует нагрузка. По эпюрам выбираем опасные сечения. В рассматриваемом примере их два: сечение , в котором действуют кНм и кНм, и сечение с изгибающими моментами – кНм и кНм.

Рис.2

Условие прочности в опасных точках двутавра имеет вид . Поскольку отношение моментов сопротивления зависит от номера двутавра, а он неизвестен, примем это отношение условно равным 10. Тогда условие прочности в опасных точках сечения примет вид:

где допускаемое напряжение для стали принято = 160 МПа, величины изгибающих моментов переведены из кНм в кНсм. Из написанного условия прочности найдем необходимый момент сопротивления

см³.

По сортаменту прокатной стали подбираем номер двутавра. Для двутавра № 50 с такими характеристиками: см³ и см³ условие прочности в опасных точках сечения

кН/см²

не выполняется, поэтому увеличиваем двутавр. Проверим прочность для двутавра № 55, у которого см³ и см³:

кН/см².

Убедимся в том, что условие прочности выполняется и в опасных точках опасного сечения :

кН/см².

Обратите внимание на величину напряжений от изгибающего момента , действующего в горизонтальной плоскости, которую показывает второй член в сумме. Видно, что, несмотря на то, что в рассмотренном примере существенно меньше , напряжения от больше чем напряжения от (или они примерно одинаковы). Это говорит об опасности изгиба в горизонтальной плоскости, особенно для двутавров, у которых .

Найдем перемещение точки . Будем искать по формуле сначала вертикальную составляющую перемещения, вызванную вертикальной составляющей нагрузки. Формулу Максвелла – Мора интегрируем по правилу Верещагина, перемножая эпюры и (рис. 2, б, е). Если хотя бы одна эпюра на участке имеет форму трапеции, используем для перемножения правило трапеций.

кНм³.

Аналогично определим по горизонтальную составляющую перемещения (эпюру М₁ от горизонтальной единичной силы, направленной вдоль оси y, можно не строить, т.к. она такая же, как от вертикальной единичной нагрузки), перемножая эпюры и (рис. 2, г, е).

кНм³.

Положительные знаки перемещений свидетельствуют о том, что перемещения происходят по направлениям единичных сил, т.е. вертикальное перемещение – вниз (по направлению оси ), горизонтальное – по направлению оси . Сосчитаем найденные составляющие перемещения в "см", разделив их на соответствующие жесткости.

кНсм²,

см,

см.

Из сравнения величин и видно, что горизонтальная составляющая перемещения, даже при небольшой горизонтальной нагрузке много больше (особенно для двутавра) вертикальной составляющей.

Выполним последнюю часть задачи. Нарисуем сечение балки в масштабе, покажем на нем нейтральную линию и полное перемещение. Уравнение нейтральной линии в опасном сечении С имеет вид (при составлении уравнения нейтральной линии не забывайте учитывать знаки изгибающих моментов в рассматриваемом сечении. В данной задаче оба момента положительны):

или .

Нейтральная линия, построенная по этому уравнению, и эпюра нормальных напряжений в сечении показаны на рис. 3. Знаки напряжений соответствуют положительным знакам изгибающих моментов. Угловые точки 1, 1 – это опасные точки сечения, в которых мы ранее находили напряжения.

Рис.3

Найдем угол (см. рис. 3) между нейтральной линией и осью :

Отложим в масштабе найденные ранее вертикальную и горизонтальную составляющие перемещения с учетом их направления. Полное перемещение точки – отрезок на рис. 3 равен геометрической сумме и . Угол между полным перемещением и осью

Таким образом, угол между полным перемещением и нейтральной линией , что близко к .

Пример 3.

Для стержня (рис.1) определить внутренние силовые факторы в произвольном поперечном сечении и их построить эпюры.

Дано: F₁ = 100 Н, F₂ = 300 Н, q = 75 Н/м, a = 0,3 м, b = 0,2 м, l = 2 м.

а) б)

Рис.1

Решение.

Рассекаем брус на произвольном расстоянии z от его свободного конца. Отбрасываем правую часть. Располагаем оси координат в центре тяжести сечения. Действие правой части бруса на его левую часть заменяем внутренними силами: N, Q_x, Q_y, M_x, M_y, Т_кр (рис. 1, б).

Уравновешиваем, то есть, записываем уравнения равновесия и определяем значения внутренних силовых факторов.

;

Q_X =  100Н.

;

при z = 0 Q_y = 0;

при z = l Q_y = 150 Н.

;

N =  300Н.

;

при z = 0 M_x =  45 Нм;

при z = l M_x = 195 Нм.

;

при z = 0 M_y = 30 Нм; при z = l M_y =  170 Нм.

; Т_кр = 15 Нм.

Строим эпюры внутренних силовых факторов (рис.2). Опасное сечение в данном брусе будет находиться в заделке, так как в этом сечении значения всех внутренних силовых факторов имеют наибольшие величины.

Рис.2

Пример 4.

Консольная балка прямоугольного поперечного сечения с соотношением сторон нагружена в вертикальной и в горизонтальной плоскостях сосредоточенными силами кН, кН, сосредоточенным моментом кНм и равномерно распределённой нагрузкой интенсивностью кН/м (рис.1).

Определить рациональную ориентацию поперечного сечения (ребром или плашмя), а также его размеры b и h из условия прочности при допускаемом нормальном напряжении кН/см². Построить эпюру нормальных напряжений по контуру опасного поперечного сечения.

Рис. 1

Решение.

Для прямоугольного поперечного сечения условие прочности при одновременном изгибе в двух плоскостях можно записать в виде:

где – максимальное значение нормального напряжения, возникающего в поперечном сечении балки; и – изгибающие моменты; и – осевые моменты сопротивления поперечного сечения относительно главных центральных осей x и y соответственно.

1. Строим эпюры изгибающих моментов и по значениям, вычисленным для характерных сечений (рис. 2).

Воспользуемся принципом суперпозиции и сначала рассмотрим изгиб балки в вертикальной плоскости.

Сечение 1:

кНм.

Сечения 2 и 3:

кНм.

Рис. 2

Сечения 4 и 5:

кНм.

Сечение 6:

На участке балки, нагруженном равномерно распределённой нагрузкой интенсивностью q, необходимо сделать дополнительное сечение 7. Перерезывающая сила , возникающая в этом сечении, равна

и при м она обращается в нуль.

Следовательно, в этом поперечном сечении балки изгибающий момент принимает экстремальное значение:

кНм.

Теперь рассмотрим изгиб балки в горизонтальной плоскости.

Сечение 1:

кНм.

Сечения 2 –7:

кНм.

2. Определяем необходимые размеры поперечного сечения балки при его расположении ребром.

Осевые моменты сопротивления равны:

; .

Условие прочности принимает вид:

Отсюда, после несложных преобразований,

Отметим, что при косом изгибе расположение опасного с точки зрения прочности сечения не всегда очевидно. Поэтому нам необходимо исследовать несколько сечений, «похожих» на опасные сечения.

Сечение 1:

см.

Сечение 7:

см.

Из двух полученных выше значений размера b нам следует выбрать большее значение. Таким образом, для случая расположения балки ребром принимаем следующие размеры поперечного сечения:

см; см.

3. Теперь определим необходимые размеры поперечного сечения балки при ее расположении плашмя.

Осевые моменты сопротивления в этом случае равны:

; .

Условие прочности принимает вид:

Отсюда

Из условия прочности сечения 1 получим:

см,

а из условия прочности сечения 7 –

см.

Из двух найденных выше значений принимаем для размера b большее значение: см. Тогда

см.

Анализируя полученные результаты, видим, что расположение поперечного сечения балки плашмя является более рациональным, поскольку в этом случае размер см оказывается меньше, чем при расположении балки ребром ( см).