косой изгиб
.docx,
где проекции полного прогиба на главные оси. Эти ве личины можно определить методом начальных параметров. Начало координат поместим на левом конце балки в точке А.
Прогиб в плоскости x0z. Начальные параметры:
кН.
Составим выражение прогибов fx (z) с помощью универсального уравнения упругой линии балки:
. (1)
Величину 0 определим из условия, что при fx (l) = 0. Под ставляя в выражение (1) z = l = 4 м, получим:
;
.
Окончательно выражение прогибов fx (z) будет иметь вид:
. (2)
Для определения прогиба в середине пролета подставим z = 0,5l = 2 м в выражение (2):
кНм3.
Учитывая, что Е = 2108 кН/м2 и Iy = 891108 м4, получаем:
.
Прогиб в плоскости y0z. Начальные параметры:
кН.
Выражение для прогибов fy (z) получаем с помощью метода на чальных параметров:
. (3)
Подставляя z = l = 4 м в выражение (3) и учитывая, что в т. В прогиб равен нулю, получаем уравнение для определения :
,
откуда
.
Окончательно выражение для прогибов fy (z) будет иметь вид:
. (4)
Для определения прогиба в середине пролета подставим z = 0,5 l = 2 м в выражение (4):
;
.
Определим величину модуля вектора полного прогиба
м.
Направление вектора полного прогиба показано на рис. 3. При этом, угол определим по формуле:
; .
Рис.3
Пример 8.
Для консольной двутавровой балки, загруженной горизонтальной силой F1 = 0,56 кН и вертикальной силой F2 = 5,84 кН (рис. 1), построить эпюру нормальных напряжений в защемлении и найти максимальное нормальноенапряжение .
Решение.
Нормальные напряжения определяем по формуле Подсчитаем вначале величины изгибающих моментов в защемлении (по модулю):
My == 560 Hм;
Mz == 2920 Hм.
При этом момент Mz растягивает верхние волокна и сжимает нижние, а момент My растягивает левые волокна и сжимает правые.
Моменты инерции сечения, состоящего из прямоугольников, относительно осей z и y равны:
Iz = 116,67 см4 =
Iy = 29,5 см4 =.
Для построения эпюры нормальных напряжений вычисляем напряжения в угловых точках a, b, c, d (рис. 1, б). В точке а оба момента Mz и My вызывают растяжение, поэтому напряжение имеет величину:
В точке b момент Mz вызывает растяжение, а My – сжатие, поэтому
В точке с момент Mz вызывает сжатие, а My – растяжение, поэтому
В точке d оба момента Mz и My вызывают сжатие, поэтому
Определив напряжения в угловых точках и зная, что нормальные напряжения изменяются по закону плоскости, строим эпюру (рис. 2). Из эпюры видно, что наибольшее нормальное напряжение = 138 МПа.
Пример 9.
Для стальной балки, лежащей на двух опорах и нагруженной силой F = 60 кН, лежащей в плоскости zy и составляющей угол = 30o с вертикальной осью y (рис. 1), подобрать прямоугольное сечение при условии, что h = 2b, Ry = 160 МПа, = 1.
Решение.
Разложив силу на две составляющие по главным осям сечения балки, определим опорные реакции, действующие в главных плоскостях, и построим эпюры изгибающих моментов Mz и My, рис. 2, а.
Наибольшие моменты действуют в среднем сечении, где
В этом сечении наибольшие нормальные напряжения возникают в точках а (растяжение) и b (сжатие), рис. 2, б. Для них условие прочности запишется так:
Вычисляем моменты сопротивления Wz и Wy при заданном соотношении высоты h и ширины b:
Подставляем в условие прочности значения Mz , My , Wz и Wy. В итоге получим
,
откуда
Задачи для самостоятельного решения
Задача № 1
Деревянная балка длиной 2 м, имеющая прямоугольное поперечное сечение 12х20 см, защемлена одним концом и нагружена сосредоточенной силой F=2,4 кН на другом конце. Нагрузка лежит в плоскости поперечного сечения балки и проходит через его центр тяжести (см. рисунок). Построить эпюры нормальных напряжений по сторонам защемленного сечения и определить полный прогиб свободного конца балки.
Ответ:
Задача № 2
Для балки, лежащей на двух опорах и загруженной тремя вертикальными сосредоточенными силами F1 = F3 = 10 кН, F2 = 20 кН и равномерно распределенной горизонтальной нагрузкой q = 24 кН/м, требуется подобрать прямоугольное поперечное сечение с отношением сторон h = 1,5b. Пролет балки равен 1 м, Ry = 150 МПа, = 1 (см. рис.).
Ответ: b = 6 см, h = 9 см.
Задача № 3
Балка прямоугольного поперечного сечения b×h = 0,18м×0,24м нагружена так, как показано на рисунке. Найти наибольшее нормальное напряжение, если сила F = 60 кН, пролет балки l = 3 м, угол между линией действия силы Fи вертикальной осью = 30o.
Ответ: = 35,5 МПа.
Задача № 4
Определить наибольшие (по абсолютной величине) нормальные напряжения в балке пролетом 2 м, опирающейся на шарнирные подвижную и неподвижную опоры и несущую посередине пролета сосредоточенный груз F = 6кН. Сечение балки с прямоугольным отверстием показано на рис. 1.
У к а з а н и е Вначале необходимо определить положение нейтральной оси.
Балка прямоугольного сечения изгибается моментом М = 10 кНм (рис. 2). Найти точки с наибольшими нормальными напряжениями и вычислить эти напряжения.
Балка двутаврового сечения № 20 свободно опирается на прогоны, наклоненные под углом 30о к горизонтали (рис. 3). Расстояние между осями прогонов 4 м. Балка посередине нагружена вертикальной сосредоточенной силой F = 8 кН. Пренебрегая собственным весом балки, определить напряжения в точках a, b, c, d и угол наклона нейтральной оси сечения балки к главной оси z.
Ответ к рис.1: = 35,1 МПа.
Ответ к рис.2: 7,15 МПа; –7,15 МПа.
Ответ к рис.3: –210,9 МПа; –135,5 МПа; 210,9 МПа; 135,5 МПа; = 83о48/.
Задача № 5
Стальная консольная балка двутаврового поперечного сечения длиной l = 2 м изгибается силой F = 8 кН, приложенной к ее свободному концу (см. рис.). Пренебрегая собственным весом балки, подобрать номер двутаврового профиля и определить прогиб свободного конца, если = 30o, Ry = 140 МПа, = 1 и модуль упругости Е = 2 МПа.
У к а з а н и е. Для двутаврового сечения при предварительном подборе принимают Wy / Wz = 8–10.
Ответ: двутавр № 36; прогиб w = 1,03 см.
Задача № 6
Стальная консольная балка двутаврового поперечного сечения (двутавр № 24) длиной 1 м загружена сосредоточенной вертикальной силой F = 40 кН. Найти максимальное нормальное напряжение в балке и вычислить прогиб конца консоли, если модуль упругости Е =МПа. Определить, как изменятся напряжения и прогиб балки, если сила F отклонится от вертикали на угол = 5о.
Ответ: при прямом изгибе = 138,5 МПа; w = 0,193 см; при косом изгибе напряжения и прогиб возрастают в 1,7 раза.
Задача № 7
При установлении опоры двутавра № 60 была допущена ошибка и стенка двутавра отклонилась от вертикали на угол равный 1о. Определить связанное с этим увеличение нормальных напряжений и полного прогиба двутавра.
Ответ: напряжения увеличились на 20%, полный прогиб на 30%.
Задача № 8
Балка квадратного сечения, защемлена одним концом, на свободном конце нагружена силой F. В первом случае сила направлена параллельно стороне квадрата, а во втором совпадает с его диагональю. Как изменится величина силы F при переходе от первого варианта ко второму при условии, что наибольшие нормальные напряжения в обоих случаях одинаковы.