косой изгиб

                                                    Рис. 3

 

Определяем значения напряжений в угловых точках поперечного сечения с учётом их знака:

 кН/см;    кН/см;

  кН/см;   кН/см.

Эпюра  нормальных напряжений  по контуру поперечного сечения, расположенного плашмя, представлена на рис. 4.

                                               Рис. 4

 

Пример 5.

Для балки с постоянным прямоугольным поперечным сечением (рисунок 1) требуется:

1) Построить эпюры изгибающих моментов M_x и M_y.

2) Проверить балку на прочность по нормальным напряжениям в самых опасных точках заделки.

Дано допускаемое значение нормального напряжения: = 835 МПа.

Значения сосредоточенных сил: Р₁=3 кН; Р₂=10 кН; Р₃=6 кН. Размеры сечения: b=6 см=0,06 м; h=10 см = 0,1 м.

Линейные размеры приведены на схеме.

Решение.

Применяем метод сечений. Начиная со свободного торца, разбиваем балку на участки, проводя их границы через сечения, в которых приложены внешние силы.

1. Построим эпюру для изгибающего момента M_x. Для этого рассмотрим только все вертикальные силы на балке, то есть те, которые стремятся совершить деформацию изгиба относительно оси x. (В вертикальной плоскости, в плоскости чертежа.)

                                                                   Рис.1

 

I участок. 

Проводим произвольное сечение. Отбрасываем правую часть балки вместе с заделкой. Рассматриваем моменты всех сил, приложенных к оставленной левой части балки. Заменяем действие отброшенной (правой) части внутренним изгибающим моментом M_x, считая его положительным (последовательность рассуждений отображена на рисунок 1).

Составляем уравнение равновесия для моментов относительно точки K – центра тяжести сечения:

.  .

II участок. 

.  ;     ;     

На границах участка:  (кНм);       (кНм).

III участок. 

.  ;     

На границах участка:  (кНм);

 (кНм).

Строим эпюру M_x в плоскости чертежа.

2. Построим эпюру для изгибающего момента M_y. Для этого рассмотрим только все горизонтальные силы на балке, то есть те, которые стремятся совершить деформацию изгиба относительно оси y. (В горизонтальной плоскости, то есть в плоскости, перпендикулярной чертежу.) Изгибающий момент M_y, так же, как и момент M_x, справа от сечения считаем положительным (см. рис. 1). (Последовательность рассуждений аналогична той, что использовалась для построения эпюры M_x, и на схеме не отображена.)

I участок. 

.    .   

На границах участка:   (кНм);      (кНм).

 

II участок.  

.  ;        

 

На границах участка:  (кНм);       (кНм).

 

III участок.    

.  ;              

На границах участка:   (кНм);        (кНм).

Строим эпюру M_y в горизонтальной плоскости.

3. Определим нормальные напряжения в четырех опасных точках сечения в заделке по формуле:

;

Рассчитаем моменты инерции прямоугольника:

 (м⁴);

 (м⁴).

Значения изгибающих моментов в заделке определяем по эпюрам (рис. 1):

 (Нм);

 (Нм).

Определим напряжение в точке А.

Её координаты:     x= – b/2= – 0,03 м;             y= – h/2= – 0,05 м.

 (Па).

Определим напряжение в точке B.

Её координаты:   x= – b/2= – 0,03 м;              y=h/2=0,05 м.

 (Па).

Определим напряжение в точке C.

Её координаты:   x=b/2=0,03 м;       y=h/2=0,05 м.

 (Па).

Определим напряжение в точке D.

Её координаты:   x=b/2=0,03 м;       y= – h/2= – 0,05.

 (Па).

Значения напряжения максимальны в точках А и С.

Проверим, соблюдается ли в этих точках условие прочности:

 МПа <  =835 МПа.

Следовательно, расчет подтверждает выполнение условия прочности.

4. Строим эпюру нормальных напряжений в сечении, находящемся в заделке (рис.2).

                                               Рис.2

 

Пример 6.

Для заданной консольной балки (рис.1)

1. построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.

2. Подобрать поперечное сечение при  и .

3. Для опасного сечения определить: момент сопротивления, положение нейтральной линии, максимальные напряжения и построить эпюры распределения нормальных напряжений по сечению в аксонометрии.

 

                                       Рис.1

 

Дано: а =0,4 м, =30⁰, М=20 кНм, Р=16 кН, q=30 кН/м.

Решение:

Все нагрузки, действующие на консольную балку, расположены в различных плоскостях, проходящих через ось балки, поэтому мы имеем дело со сложным изгибом. Для решения поставленной задачи нагрузки, действующие в произвольных силовых плоскостях нужно разложить на составляющие, расположенные в главных плоскостях  и .

Плоскость 

Проекция силы  на плоскость  проецируется с учетом угла 

Момент  действует в плоскости , поэтому проецируется в натуральную величину.

Нагрузка  лежит в плоскости, перпендикулярной , поэтому ее проекция на плоскость  будет равна нулю. Покажем плоскость  со спроецированной нагрузкой (рис. 2).

                                       Рис.2

 

Поперечная сила по всей длине балки будет одинакова и равна

Изгибающий момент в сечении, где приложен момент М

Слева от сечения

Справа от сечения

Изгибающий момент в защемлении

Строим эпюры  и  (рис. 2).

Плоскость 

Покажем плоскость  и спроецируем на нее всю нагрузку.

Проекция силы Р

Поперечная сила от свободного конца до начала приложения нагрузки q

Поперечная сила от начала действия нагрузки q до защемления

,

где  - координата , отсчитываемая от начала распределенной нагрузки.

В сечении начала действия распределенной нагрузки

В защемлении балки

Поперечная сила меняет знак, значит, на эпюре изгибающих моментов будет экстремум в сечении с координатой

Изгибающий момент на свободном конце балки равен нулю.

В сечении начала действия распределенной нагрузки

Экстремальное значение изгибающего момента

В сечении защемления

Строим эпюры (рис. 3).

                                     Рис.3

 

По двум эпюрам  и  определяем опасное сечение.

Вероятнее всего опасным сечением будет точка приложения сосредоточенного момента М. Для данного сечения ; . Расположим сечение таким образом, что бы большая сторона сечения была перпендикулярна оси, относительно которой изгибающий момент будет максимальным (рис. 4).

            Рис.4

 

Момент сопротивления прямоугольного сечения с учетом :

относительно оси 

относительно оси 

Условие прочности при сложном изгибе

Принимаем 

Моменты сопротивления сечения

Для определения угла наклона нейтральной линии необходимо определить отношение осевых моментов инерции.

Тангенс угла наклона нейтральной линии

 (рис. 5).

Для проверки правильности построения нейтральной линии рассмотрим знаки напряжений от изгиба относительно осей  и .

Момент  сжимает нижние волокна и растягивает верхние. Ставим около точек В и С знак плюс, а около точек А и Д знак минус.

Момент  сжимает правые волокна и растягивает левые. Ставим около точек В и А знак плюс, а около точек С и Д знак минус.

Очевидно, что максимальные напряжения будут в точках, где совпадают знаки (точка В – максимальное положительное нормальное напряжение; Точка D – максимальное отрицательное напряжение).

Тогда нейтральная линия должна пройти через четверти сечения, содержащие в себе точки С и А, как мы и изобразили на рис. 5, отложив угол  от оси .

Рассмотри напряженное состояние поперечного сечения. На нейтральной линии (н. л.) нормальные напряжения будут равны нулю.

В точках наиболее удаленных от нейтральной линии (точки В и D) нормальные напряжения имеют максимальные значения

В точках А и С напряжения по модулю равны

Для изображения эпюры распределения нормальных напряжений по сечению начнем со стороны BC.

Напряжения будем откладывать параллельно оси , перпендикулярной поперечному сечению.

В точке В откладываем параллельно оси  в сторону положительных значений в масштабе значение

                                        Рис.5

 

По стороне ВС напряжения будут изменяться пропорционально от максимального значения в точке В до нулевого значения на нейтральной линии. Поэтому соединяем точку В с точкой пересечения нейтральной линией стороныВС. Из точки С проведем прямую, параллельную оси  до пересечения с продолжением прямой проведенной из точки В к точке пересечения нейтральной линии стороны ВС. Получили отрезок, дающий нам значение и знак напряжения в точке С

Те же действия проделываем со стороной АD. Получаем напряжение в точке А

Соединяя значения точек А и В – получаем распределение нормальных напряжений по стороне АВ. Соединяем значения напряжений точек С и D – получаем распределение нормальных напряжений по стороне СD.

Образованная плоскость, соединяющая значения напряжений для точек А, В, С и D является эпюрой распределения нормальных напряжений по сечению. Для определения напряжения в любой точке сечения проводится перпендикуляр к сечению до пересечения с плоскостью эпюры. Величина перпендикуляра даст знак и значение напряжения для данной точки.

 

Пример 7.

Стальная балка АВ, расчетная схема и поперечное сечение ко торой показаны на рис. 1, а, (c = 0,03 м) нагружена силами Р₁ и Р₂.

                                                       Рис.1

 

Требуется:           

1. Построить эпюры изгибающих моментов в главных плоско стях инерции;

2. Установить по эпюрам изгибающих моментов опасное сече ние балки. Найти для опасного сечения положение нулевой линии;

3. Вычислить наибольшие растягивающие и сжимающие нор мальные напряжения;

4. Определить значение полного прогиба в середине пролета балки и указать его направление.

Решение.

1. Построить эпюры изгибающих моментов в глав ных плоскостях инерции. Ввиду симметричности сечения бал ки относительно осей x и y (рис. 5.28, а), можно сделать вывод, что эти оси  главные. Для построения эпюр изгибающих моментов, используя принцип независимости действия сил, представим косой изгиб как изгиб в двух главных плоскостях инерции бруса (рис. 1, б, г). Определив опорные реакции, составим аналитиче ские выражения изгибающих моментов и вычислим их значения в характерных сечениях. Построим эпюры изгибающих моментов M_x и M_y  (рис. 1, в, г), откладывая ординаты со стороны растянутых волокон. В соответствии с принятым правилом знаков, M_x < 0, M_y > 0.

2. Установить по эпюрам изгибающих моментов опасное сечение балки. Найти для опасного сечения положение нулевой линии. Сравнивая ординаты эпюр M_x и M_y , делаем вывод, что опасными могут быть сечения D или С, т.к. в них предположительно возникают наибольшие по величине изгибающие моменты. Для того, чтобы установить, какое из них является наиболее опас ным, нужно вычислить возникающие в сечениях C и D наибольшие нормальные напряжения и сравнить их. Теоретически доказано, что если контур поперечного сечения так вписывается в прямо угольник, что четыре крайние точки сечения совпадают с углами прямоугольника, то максимальное нормальное напряжение будет в одном из углов прямоугольника и определится по формуле:

,

где все величины берутся по абсолютной величине. У нас именно такой случай. Осевые моменты инерции сечения вычислим по следующим зависимостям:

.

Моменты сопротивления сечения W_x и W_y определятся следу ющим образом:

м³;

м³.

Таким образом, наибольшие напряжения в сечениях С и D рав ны:

сечение С

сечение D

.

                                                    Рис. 2

               

Сравнивая эти значения, заключаем  опасным является сече ние D. Подставив значения I_x , I_y , M_x , M_y  в формулу  полу чим:

,  откуда .

Нулевая линия пройдет в тех четвертях поперечного сечения, в которых изгиба ющие моменты будут вызы вать нормальные напряже ния разных знаков. В на шем случае это будут пер вая и третья четверти. По этому, отложив угол  от оси x против хода часовой стрелки, проведем нулевую линию (рис. 2).

3. Вычислить наибольшие растягивающие и сжима ющие нормальные напряжения. Вершины стрелок нормаль ных напряжений, определяемых по формуле  будут лежать на плоскости, пересекающей плоскость поперечного сечения по нуле вой линии. При взгляде на плоскость напряжений вдоль нулевой линии мы увидим ее в виде прямой, ординаты которой показаны в виде эпюры  на рис. 2. Наибольшие нормальные напряжения будут иметь место в точках 2 и 4 и различаться только знаком. Дей ствительно, подставляя в формулу  координаты точек 2 и 4, получаем:

точка 2

;

точка 4

.

Отложив в удобном масштабе полученные величины напряже ний, построим эпюру напряжений  (рис. 2).

4. Определить значение полного прогиба в середине пролета балки и указать его направление. Полный про гиб (перемещение центра тяжести сечения С) вычисляем по фор муле: