Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kepchik

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.02.2016

Размер:

946.98 Кб

Скачать

☆

1 / 111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

ÓÄÊ 51(075.8) ÁÁÊ 22.1ÿ73 Â93

C î ñ ò à â è ò å ë ü

Н. В. Кепчик

Рекомендовано Ученым советом биологического факультета

6 октября 2006 г., протокол ¹ 2

Ð å ö å í ç å í ò û:

кандидат физико-математических наук Р. Т. Вольвачев; кандидат физико-математических наук А. А. Самодуров

Высшая математика : практикум для студентов биол. фак. / сост. В93 Н. В. Кепчик. – Минск : БГУ, 2010. – 99 с.

ISBN 978-985-485-846-3.

В практикуме изложены основные понятия и теоремы, необходимые для решения задач, примеры решения типовых задач, задачи для самостоятельного решения и решения на практических занятиях, а также контрольные задания.

Для студентов биологического факультета БГУ.

ÓÄÊ 51(075.8) ÁÁÊ 22.1ÿ73

ISBN 978-985-485-846-3

ВВЕДЕНИЕ

Хорошо известно, что математические дисциплины закладывают естественнонаучные обоснования специальных физиче- ских, химических, биологических и других проблем, однако в разное время роль математики в различных областях естествознания была неодинаковой. Так, использование математики в биологии началось значительно позже, чем в физике и химии, и достаточно большое число открытий (например, положения Дарвина о естественном отборе и борьбе за существование, основные положения формальной генетики и др.) были сделаны без математики. Но сегодня ситуация существенно изменилась, и оценка значения математики в научном прогрессе, ее места в науке и ее роли при решении конкретных задач, стоящих перед обществом в данный момент времени, связана с неверным представлением о сущности математических знаний, математиче- ской модели и математических методов.

В настоящее время роль математических методов в биологии возрастает, так как любое биологическое утверждение нуждается в сопоставлении с законами физики и химии, а для этого необходимо использовать математический аппарат; к тому же коли- чество новой экспериментальной информации таково, что систематизировать ее без математического аппарата невозможно.

Поэтому для биолога наиболее важен практический аспект математики, т. е. возможность грамотно построить математиче- скую модель изучаемого явления, произвести необходимые вы- числения, обнаружить и исследовать соотношения между данными, полученными в результате обследования большого числа объектов, и использовать эти данные для изучения, прогнозирования и принятия решений.

Задачей математического образования биологов является не только изучение базовых понятий математики, основных математических приемов и методов, но и формирование у студентов способностей к логическому и алгоритмическому мышлению, навыков использовать полученные знания для решения практи- ческих задач, развитие умения анализировать частные явления и находить общие закономерности, создание представления о необходимости самостоятельного получения новой информации и навыка самостоятельной учебно-исследовательской работы.

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Основные понятия и теоремы: алгебраическая форма комплексного числа; мнимая единица; модуль, мнимая и действительная части комплексного числа; аргумент комплексного числа; главный аргумент комплексного числа; тригонометрическая форма комплексного числа; сопряженные комплексные числа и их свойства; действия над комплексными числами: сложение, умножение, деление, возведение в натуральную степень, извлечение корней натуральной степени.

Пример 1. 1) Записать тригонометрическую форму комплексного числа z 2 2i и вычислить z 3, используя формулу Муавра; 2) вычислить

z1 z2, z1 z2 è z1 , ãäå z1 1 2i, z2 2 i; 3) найти значения кубического z2

корня из числа (–8).

Ð å ø å í è å. 1) Òàê êàê z 2 2i , òî x 2 , y 2. Тогда можем най-

òè
			2		, cos	x	1	è sin	y	1	.
r \| z \|	x 2 y 2	22 22
				2

							2			2
						r			r

Отсюда . Следовательно, тригонометрическая форма комплекс-

ного числа z 2 2i имеет вид

			z	r(cos i sin ) 2					i sin

					2 cos			4			4	,
								4			4
и по формуле Муавра
	3	r	3	(cos 3 i sin3 ) (2		3			3	i sin			3
	3		3			3			3				3
z					2 )		cos
z					2 )		cos		4				4
									4				4

	3		3

16 2 cos		i sin		.
	4		4

2)z1 z2 (1 2i ) (2 i ) 3 i;

z1 z2 (1 2i )(2 i ) 2 i 4i 2i 2 4 3i;

1 2i

(1 2i )(2 i )

2 i

(2 i )(2 i ) 5

3) Представим данное число в тригонометрической форме:

8 8 i 0 8(cos i sin ).

2 k

По формуле

i sin

, n 1,

r cos

, k 0,1,

2 k

имеем

i sin

cos

, k 0,1, 2.

Таким образом, 3

имеет следующие значения:

2(cos i sin ) 1 i

3; 1 2(cos i sin ) 2;

2(cos

i sin

) 1 i

Пример 2. Решить уравнение x 3 1 0.

Р е ш е н и е. Используя формулу сокращенного умножения a3 b 3 (a b)(a2 ab b 2 ),

представим уравнение x 3 1 0 â âèäå

			(x 1)(x 2 x 1) 0.
	x 1 0,
Отсюда	2	x 1	0.
x		x 1	0.

Из первого уравнения получаем корень x 1, а из второго – дискриминант D 3 и, следовательно,

x1		1	3	i	, x			1	3	i	.
x1					, x	2					.
	2						2

Таким образом, данное уравнение имеет три корня:

x1		1	3	i	, x			1	3	i	, x	3 1.
x1					, x	2					, x	3 1.
	2						2

1.1. Изобразить на координатной плоскости данные комплексные числа: 1) 2 2i; 5) 5 7i; 9) 3 5i;

2) 2 i;	6) 0 5i;	10) 6	0 i;
3) 3 2i;	7) 6 3i;	11) 2i;
4) i ;	8) 2 3i;	12) 6	7i 5 i.

1.2. Указать на плоскости множества точек, изображающих комплексные числа, модуль r и аргумент которых удовлетворяют условиям:

1) r	5, ;	7) 0 ;		14)	;
	4		4			3
2) r	2;	8) 0 ;		15)	0	;
3) r 2;		9) r 7, ;				3
4) r	2;	10) r	3	16)	0	;
5) 1 r 2;		10) r	7;			2
5) 1 r 2;		11) r	7;	17)	5	r 7;
6) ;		11) r	7;	17)	5	r 7;
6) ;		12) r	6;	18) r		3, ;
	4	13) 5 r 7;		19)	.

1.3. Выполнить следующие действия:
1) (1 2i )(4 3i );	12)	2 3i	;
	12)	3 2i	;
		3 2i

1.4. Найти корни уравнения:
1) x 2 4x 13 0;	6) x 2 6x 16 0;

1.5. Найти действительные числа õ è ó из уравнений:

1) (2x y ) (x 3y )i 3 i;	6) 2x 5yi x 2yi 1 3i;
2)		x yi		1 2i
(1 i )x ( 2 5i )y 4 17i;	7)				;
		x yi		2i x
3)	8)	2x 3yi	4 9i .
(x 5y ) (x 2y )i 17 8i;

4) 2x 5i 7y 2xi 7 5i;		5y xi		15 2i

5) (1 i )x ( 2 i )y 4 8i;

1.6. Представить в тригонометрической форме числа и возвести их во вторую и десятую степени, используя формулу Муавра:

1) 1 i;											5) 1;						9) 2 2i;
2)			3	i;								6) –4;					10) i;
3)	2i;											7) 3i;					11) –1;
4)	–5;											8) –2;					12)			3 i.
1.7. Найти все значения корней:

1) 3		1 i			;						4) 6		1;				7) 4		i			;
																				1 i					;
2) 3 i ;												5) 2i ;					8) 3			1 i


																					3 1
3) 3		2 2i					;				6)		3 4i	;			9) 3		2 2i					.
1.8. Представить в алгебраической форме числа:
						2				2
1)	2 cos							i sin				;			4) 5 cos				i sin								;
1)	2 cos					3		i sin		3		;			4) 5 cos		2		i sin								;
						3				3							2									2
																3							3
																3							3
2)	3 cos								i sin			;			5) 2 cos			i		sin							;
2)	3 cos							4	i sin			;			5) 2 cos	2		i		sin			2				;
								4			4					2							2
3)	4 cos i								sin ;											i sin
3)	4 cos i								sin ;
															6) 2 2 cos			4										;
																		4									4

		i sin
7) 2 cos	6		6	;

8) 25 cos 2 i sin2 .

2. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Основные понятия и теоремы: матрица; элементы матрицы; матрицастолбец; матрица-строка; нулевая, квадратная, диагональная, единичная и треугольная матрицы; действия над матрицами; определители 2, 3 и n-го порядков и их свойства; минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы; ранг матрицы и его свойства; обратная матрица.

	1	2	3		0	1	0

Пример 1. Даны две матрицы: À	0	1	0	; B	0	0	2 .
	1	0	5		0	3
	1	0	5		0	3	1

Найти A B, A B, 2A, AT, AB, det A, det Â.

1 0 2 1			3 0	1 3 3

Ð å ø å í è å. A B	0	0 1 0	0 2	0 1 2	;

			1 0 0 3 5 1 1 3 6
		1 0		2 1 3 0				1 1	3

A B 0 0 1 0 0 2								0 1		2	;
		1 0		0 3 5 1				1 3 4
	2	1 2	2 2 3		2	4	6
	2	1 2	2 2 3		2	4	6			1 0 1

2A	2	0 2	1 2 0		0	2	0	; AT		2 1 0		;

					2 1 2 0 2 5 2 0 10								3 0 5
		1 0 2 0 3 0						1 1 2 0 3 3				1 0 2 2 3 1			0 10 4

AB		0 0 1 0 0 0						0 1 1 0 0 3				0 0 1 2 0 1			0 0	2	;

	1 0 0 0 5 0							1 1 0 0 5 3				1 0 0 2 5 1		0 16		5
det A 1			1	0	2	0	0	3	0	1	1(1 5 0 0) 2(0 5 0 1) 3(0 0 1 1) 2.
det A 1			1	0	2	0	0	3	0	1	1(1 5 0 0) 2(0 5 0 1) 3(0 0 1 1) 2.
			0	5		1	5		1	0

Так как матрица Â имеет столбец, все элементы которого равны нулю, то det B = 0.

	3	1	2

Пример 2. Найти ранг матрицы A	1	2	3 .
2		1	5
		2
7		2	11

Р е ш е н и е. При помощи элементарных преобразований приведем

матрицу À к треугольной или трапециевидной форме:
3	1 2		3	1 2	3	1	2	3	1 2		3	1 2

1 2		3	0	7 7	0	1	1	0	1 1		0	0	1
2	1 5		0	5 11	0	5 11		0	0	6	0	0	6
7	2		0		0			0	0		0	0
7	2	11	0	1 19	0	1 19		0	0	18	0	0	0

Последняя матрица имеет трапециевидную форму и содержит три ненулевых строки. Вычислим ее минор 3-го порядка:

3	1	2
0	1	1 18 0.

0	0	6

Следовательно, rang A = 3.

2.1.Даны матрицы À è Â. Найти A + B, A – B, AB, BA, 3A, A, (BA), det A

èdet B.

	i					0	2
1) A	i	1			B	0	2	;
1) A		,			B	1		;
2		3				1	5
	0	1				2	i		0
	0	1	1			2	i		0

2) A	1 0 1 ,				B	1 0 i				;
1 1 1					1 1 1
	3	0	i			1
	3	0	i			1	1 1

3) A	1	1 0		,	B	2	0 1		;
2		1 1			0		1 1

		3	0	i
4) A		1	1	0
4) A		1	1	0		,
	2		1	1
		1	1
		1	1	1
5) A
5) A		0	0	0	,
		1	2	5
		1	0
		1	0	1
6) A			i
6) A		0	i	2		,
		1	1	1
		1	0	1
		1	0	1		1

7) A		0	0	i		0	,
	3		1	1		1
			1	1
	2		1	1		1
		3	0	0
		3	0	0		1

8) A		1 2 1 i						,
		1	1	2		i
			1	2
	i		1	2		0
		6	2		1		i
		1 5 1
9) A		1 5 1					0		,
	1		2		4		0
			1		1
	1		1		1		1
2.2. Решить уравнения:
x 1			1
1)			0;
2			x
2	1		2
2) 3	5		3	0;

1	6		5 x

	1	1
	1	1	1

B	2	0	1 ;
	0	1
	0	1	1
	i		0		3

B 1 i 0					6i		;
2i			0	1 2i
	1	1		1

B	0	2i		2i	;
1		1		0
	0	2		3		0

B	4	1		0		0 ;
2		1		2		1
		3		0
i		3		0		0

	1	1		2	i

B	4	0		1	0 ;
1 2				1	0
		i		1
i		i		1	1
	6	0		1	0

B	1	1		1	1 .
2		5		2	1
		1		4
1		1		4	1
		2x 2			2x
	3)				0;
			2		x 2
		1		2	3
	4) 1		3 x		3	0.

		1		2	5 x

2.3. Определить ранг матрицы:

1 / 111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.2018513.54 Кб14Kasko_Osnovy_journ.doc
#
29.02.2016781.82 Кб24KAUN_2k_Ist_IIB_DO_istoria_Lektsii.doc
#
29.02.20167.37 Mб45kaz_hist.pdf
#
19.09.201954.05 Кб4kaz_yaz_bilety2.docx
#
09.08.201952.63 Кб3KD_E.docx
#
29.02.2016946.98 Кб77Kepchik.pdf
#
29.02.2016226.87 Кб2Khantington_-Stolknovenie_tsivilizatsy.pdf
#
18.09.2019141.82 Кб21Khimicheskie_reaktory.doc
#
08.09.201952.49 Кб2Khorovaya_i_solnaya_melika.docx
#
22.09.2019217.22 Кб3Khoz_protsess_Konspekt.docx
#
21.08.2019153.09 Кб5KhP-2.doc