Интегральное исчисление

Именно при таком негласном (default) определении была вычислена площадь криволинейной трапеции.

Отсюда следует, что площадь произвольной фигуры можно вычислить как разность двух площадей криволинейных трапеций . У этих трапеций общее основание, боковые стороны. А отличаются они верхней стороной. У большей из трапеций верхняя сторона f2(x) , а у меньшей – f1(x). В

результате площадь произвольной фигуры равна ∫b ( f2(x)- f1(x))dx .

a

Если же фигура задана криволинейным треугольником ОАВ в полярной системе координат Рис 7.1, то поступаем так : в секторе изменения угла ф,

получаем формулу для вычисления площади криволинейного треугольника

2.6.2.Вычисление длин дуг плоских кривых.

Пусть дана дуга плоской кривой y=f(x) от точка А(х1,f(x1)) до точки В(х2,f(x2)). Впишем в эту дугу ломаную и подсчитаем периметр ломаной.

Опр. Если существует предел периметров ломаных, вписанных в дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно увеличивается, а максимальная длина звена ломаной неограниченно уменьшается, то дугу назовем спрямляемой (имеющей длину), а этот предел назовем длиной дуги.

По этому определению длина дуги отвечает всем требованиям для применения ОИ.

V

А

поперечное сечение тела. Если нам удается выразить площадь поперечного сечения S как функцию координаты точки сечения S(xo), то можно продолжить решение задачи. Т.к. Два достаточно близко расположенных сечения приближенно имеют одинаковую площадь, то объем V, заключенный между этими сечениями приближенно равен S(xo) х. Просуммируем такие объемы и вычислим предел полученной суммы, когда

Пример 7.8. Вычислить объем цилиндрического отрезка радиуса R и высотой H. Цилиндрический отрезок – это тело, ограниченной прямым круговым цилиндром, поперечным сечением и сечением, проходящим через диаметр поперечного сечения по некоторым углом к поперечному сечению.

Решение. Направим ось Ох вдоль диаметра поперечного сечения, Оу – через центр поперечного сечения перпендикулярно его диаметру, а Оz - через центр поперечного сечения перпендикулярно сечению Рис 7.4. если провести в точках х и О два параллельных сечения, то из подобия треугольников получим

что площадь поперечного сечения цилиндрического отрезка при выбранной

системе координат выражается формулой S(x) =yz= 2HR (R2 − x2) , т.е. является функцией координаты х. А потому объем цилиндрического отрезка равен

2.6.4.Площадь поверхности вращения.

Опр. Договоримся называть площадью поверхности вращения предел, к которому стремится площадь поверхности, образованной вращением ломаной , вписанной в кривую, вращение которой дает поверхность вращения при условии, что число звеньев ломаной растет неограниченно, а размер звена стремится к нулю.

В такой постановке площадь поверхности обладает свойством аддитивности и можно продолжать рассуждения. Пусть вращается линия y=f(x), непрерывная на [a;b] и осью вращения будет ось Ох.

Разобьем дугу кривой точками на n частей и впишем ломаную. Пусть xi - абсциссы вершин ломаной. Каждое звено ломаной опишет боковую поверхность усеченного конуса, которая равна

После чего получаем приближенное значение площади части поверхности вращения, образованной вращением звена ломаной Si=2π f(ci) 1+( f '(x))2 dx.

После суммирования и перехода к пределу при известных ранее условиях получаем формулу для вычисления площади поверхности вращения линии

y=f(x), заданной на [a;b] около оси Ох S=2π ∫b f(x) 1+( f '(x))2 dx.

a

Для других способов задания линии, вращений которой образует поверхность, формулу можно получить аналогично.

2.6.5.Решение физических задач.

При решении физических задач, помимо проверки вычисляемой величины на аддитивность потребуется опорная физическая формула. И лишь после этого начинается подготовка к применению ОИ.

Например, при вычислении статического момента некоторой массы относительно оси или точки используют факт аддитивности статического момента. Помимо этого берут в основу опорную формулу для вычисления статического момента точки массой m относительно точки или оси M=mr, где r – расстояние от массы до оси или точки. Это означает, что, если объект имеет размеры , соизмеримые расстоянием от его до оси, то нужны дополнительные вычисления.

Пусть дана плоская дуга y=f(x), непрерывная на [a;b] и однородная. Требуется вычислить статический момент этой линии относительно оси Ох. Т.к. размеры дуги (массы) соизмеримы с расстоянием от точек дуги до оси

интеграла. Из этих свойств не будет работать только одно – в котором идет речь о смене знака интеграла при смене направления интегрирования.

диагональ прямоугольного параллелепипеда. Т.к. приращения можно

(x't )2 +( y't )2 +(z't )2 dt. И после подстановки под знак интеграла получаем формулу для его вычисления

остается справедливой, но содержит на одну компоненту меньше – отсутствует z(t).

Если же плоская дуга АВ задана явно y=f(x), то все рассуждения остаются в силе и мы получим несколько иное выражение, которое встречалось уже при вычислении длины дуги определенным интегралом

3.2. Криволинейные интегралы 2-го года

Задача. Вычислите работу переменной силы на криволинейном участке пути АВ.

Решение. Ранее мы уже решали задачи такого типа : в векторной алгебре вычисляли работу постоянной по величине и направлению силы на прямолинейном участке пути; в приложениях определенного интеграла вычисляли работу переменной по величине и постоянной по направлению силы на прямолинейном участке пути. Теперь пришла очередь решать задачу общего вида – сила переменная (и по величине, и по направлению) и путь криволинейный.

Разобьем дугу на достаточно малые участки, чтобы можно было приближенно считать участок разбиения l прямолинейным (что уже неоднократно делали) и чтобы на каждом участке разбиения можно было

→

приближенно считать действующую силу F постоянной по величине и направлению. В этом случае можно приближенно вычислить работу А

мы делали в векторной алгебре. После суммирования всех частичных работ и

Теорема существования. Если P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) непрерыны в каждой точке гладкой и кусочно непрерывной дуги АВ, то КРИ-2 существует.

Справедливы основные свойства , аналогичные свойствам определенного интеграла. Отметим одно важное – при смене направления движения по дуге АВ КРИ-2 меняет знак.

При вычислении КРИ-2 используют уже известные приемы сведения его к определенному интегралу.

Пусть дуга АВ плоская и задана явно y=f(x). Тогда естественно и поле

только с большим числом слагаемых будет получена, если АВ пространственная и задана параметрически.

Если интегрирование ведут по контуру, то договариваются движение по контуру считать выполненным в положительном направлении, если при движении по контуру, точки области, расположенной внутри контура остаются слева от движущегося. Такое направление движения считается согласовнным.

В приложениях важно связь интеграла по контуру с тем, что делается внутри контура (в лесном хозяйстве, охотоведении, топографии, электротехнике, нефтегазоразведке). В качестве примера приведем формулу для вычисления площади S, охватываемой контуром L.

Пусть дана односвязная область D с границей Г. Тогда площадь области можно подсчитать, как известно, определенным интегралом по

формуле S= ∫и f2(x)dx- ∫и f1(x)dx , где у= f2(x) – это та часть контура L,

аа

которая ограничивает область сверху (см.Рис 12.1); а у= f1(x) – это та часть контура L, которая ограничивает область снизу.

∫ P(x,y)dx+ Q(x,y)dy = 0 ! И это вполне естественно. Таким образом,

Г

независимость КРИ-2 от пути интегрирования эквивалентно понятию равенства нулю того же КРИ-2 , но ! уже по замкнутому контуру, проходящему через те же две указанные в самом начале точки.

Теорема(о независимости КРИ-2 от пути интегрирования). Пусть в D, содержащей гладкую кривую АВ,не имеющей точек самопересечения, заданы непрерывные и имеющие непрерывные частные производные

функции P(x,y) и Q(x,y). Тогда для независимости ∫ P(x,y)dx+Q(x,y)dy

AB

необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области выполнялось условие ддQx = ддPy .

Доказательство можно найти в разделе “Теория поля - Формула Грина”.

4.Кратные интегралы.

На основании механизмов, разработанных в разделе “Определенный интеграл”, решены задачи и получены новые типы интегралов , сводящихся к определенным.

4.1.Задачи, приводящие к кратным интегралам.

Задача 1. Вычислите объем цилиндроида. Цилиндроидом называют пространственное тело, ограниченное снизу областью D с границей Г, сбоку цилиндрической поверхностью с образующей, перпендикулярной плоскости области D, и направляющей в виде границы Г и сверху поверхностью z=f(М)>0 , где z=f(М) –определена в каждой точке D.

Задача 2. Вычислить массу неоднородного тела, ограниченного поверхностью S , плотность распределения массы задана величиной

ρ = ρ(M ) .

Решение этих задач выполним по одному алгоритму. Начнем с задачи 1. Т.к. нет рабочей формулы для вычисления объема цилиндроида, то разобьем D на достаточно малые участки площадью οk . Тогда над каждым

таким участком расположится некоторый объем , который можно считать приближенно имеющим постоянную высоту f(Mk). И величину этого объема можно подсчитать Vk ≈ f(Mk) οk . Если теперь просуммировать все

частичные объемы и вычислить предел полученной суммы , когда размеры частей οk уменьшаются, а число их растет неограниченно, то мы вычислим

n

объем цилиндроида V=lim ∑f (M k ) οk .

n→∞ k =1

Аналогичные рассуждения приведут нас к ответу во второй задаче

неоднородно и с таким расчетом, чтобы при достаточно малых частях разбиения плотность материала можно было считать приближенно постоянной.