Интегральное исчисление
.pdf
если k и l четные числа, то используют формулы понижения степени
Sin2x=0,5(1+Cos2x); Cos2x=0,5(1-Cos2x). Затем обрабатывают полученное;
если k четное, а l нечетное (или наоборот), то “отсчепляют” от нечетной степени основание и подводят его под знак дифференциала, а все четные степени выражают через функцию, записанную под знаком дифференциала;
если k+l – четное отрицательное целое, то применяют подстановку tgx=t и получают табличные интегралы.
|
|
|
Пример |
|
7.6. Найдите |
интеграл |
∫ |
|
|
|
1 |
|
dx. Здесь − |
7 |
- |
1 |
=-4 |
и |
|||||||||||||
|
|
|
Cos7 xSinx |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
потому |
|
|
|
|
|
|
|
tgx=t |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
получаем |
|||||||||
∫ |
1 |
|
dx= ∫ |
|
|
1 |
|
|
dx= ∫ |
|
|
1 |
tgx |
dx= |
∫ |
dtgx |
tgx |
= ∫ |
(t 2 +1)dt |
= |
|||||||||||
|
Cos7 xSinx |
|
|
|
|
|
|
Cos8 xtgx |
|
|
|
Cos4 x |
|
|
Cos2 x |
|
|
|
|
t |
|
||||||||||
= ∫ |
3 |
dt+ ∫ t |
− |
1 |
|
2 |
5 |
1 |
|
|
2 |
|
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
t |
|
|
dt= |
t |
|
+2t |
|
+C== |
tg |
|
x +2 tg |
|
x +C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.Определенный интеграл.
Раздел посвящен одному из фундаментальных разделов математики. Рассмотрен основной принцип, на основе которого развивается не только алгоритм получения, вычисления и применения определенного интеграла, Нои основа для получения и работы с интегралами другого класса.
2.1.Определенный интеграл.
2.1.1.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
Задача о площади криволинейной трапеции. Требуется вычислить площадь криволинейной трапеции – плоской фигуры, ограниченной снизу отрезком [a;b] оси Ох; сверху – графиком неотрицательнoй функции f(x), заданной на этом отрезке; сбоку – вертикалями x=a , x=b.
Решение. Разобьем [a;b] на n частей достаточно малой длины точками. В каждой точке разбиения восставим перпендикуляр к отрезку (к оси Ох). На каждом участке разбиения возьмем точку Мк, к=1,2,…, n. Вычислим значение f(Mk) в каждой точке Мк. Если участки разбиения достаточно малы, то площадь каждой полоски приближенно равна Sk =f(Mk) xk . Просуммируем площади и получим приближенное значение площади
n
криволинейной трапеции ∑f (M k ) xk . Если теперь вычислить предел этой
k =1
суммы при nÆ∞ и максимальном xk Æ0, то это предел и даст нам значение площади криволинейной трапеции.
→
Задача о работе. Пусть задана сила F(x), направленная вдоль Ох.
Требуется вычислить работу этой силы на прямолинейном участке пути
(отрезке) [a;b].
Решение. Разобьем [a;b] на n частей достаточно малой длины точками с таким расчетом, чтобы величину силы на каждой части разбиения можно было считать приближенно постоянной. На каждом участке разбиения выберем точку Мк, к=1,2,…, n. Вычислим значение работы постоянной по
величине и направлению силы на каждом участке разбиения Аk =F(Mk) xk
. Просуммируем частичные работы и |
получим приближенное значение |
n |
|
работы силы на всем отрезке ∑F(M k ) |
xk . Если теперь вычислить предел |
k =1 |
|
этой суммы при nÆ∞ и максимальном |
xk Æ0, то это предел и даст нам |
значение работы постоянной по направлению сила на указанном отрезке.
2.1.2.Определенный интеграл и его свойства.
Обобщаем решения задач. Пусть на [a;b] задана f(x). Разобьем отрезок на n частей точками. На каждой части выберем точку Мк. Вычислим сумму
n
∑f (M k ) xk и назовем ее интегральной. Таких сумм можно составить сколько
k =1
угодно (изменяя способ разбиения и выбор токи Мк на каждом участке
разбиения). Вычислим |
предел интегральной |
суммы при nÆ∞ |
и |
|
|
lim |
n |
|
|
максимальном xk Æ0 |
∑f (M k ) xk |
. Если указанный предел |
||
|
n→∞, xk →0 |
k =1 |
|
|
существует независимо от способа разбиения [a;b] на части и выбора Мк на каждом участке разбиения, а только в зависимости от f(x) и длины отрезка [a;b], то такой предел назовем определенным интегралом и обозначим
∫b f (x)dx . В этом определении : - символ определенного интеграла; f(x) –
a
подынтегральная функция; а – нижний предел интегрирования; b – верхний предел интегрирования; х (под знаком d) – аргумент интегрирования.
Теорема существования. Если f(x) ограничена на [a;b] и непрерывна на нем всюду кроме конечного числа точек разрыва 1-го рода, то определенный интеграл существует.
Основные свойства ОИ.
|
b |
m |
m |
b |
|
1. |
∫ |
∑fi (x)dx = ∑ |
∫ fi(x)dx. Док. Следует из свойства предела. |
||
|
a |
i=1 |
i=1 |
a |
|
2. |
∫b |
f(x)dx= ∫с |
f(x)dx+ ∫b |
f(x)dx. . Достаточно в качестве одной из точек |
|
|
a |
a |
|
с |
|
разбиения выбрать точку С.
3. ∫b Сf(x)dx=С∫с f(x)dx. Т.к. константу можно выносить за знак
a |
a |
предела.
4. ∫b Сdx=С(b-a). Трапеция вырождается в прямоугольник.
a
5. ∫b f(x)dx=- ∫a f(x)dx. Т.к. точки разбиения только поменяют порядок.
ab
6.∫a f(x)dx=0. Т.к. длина отрезка равна 0.
a
|
7. |
∫b |
f(x)dx>0, если f(x) ≥0 и ∫b |
f(x)dx<0, если f(x) ≤ 0. Док. Пусть |
|
|
a |
a |
|
|
|
f(x) ≥0 |
|
|
на отрезке [a;b] и m>0 - минимум f(x). Тогда имеем |
||||
n |
|
|
n |
|
∑f (M k ) |
xk ≥m ∑ xk >m(b-a)>0 откуда и следует нужное. Аналогично и для |
|||
k =1 |
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
n |
случая f(x) ≤ 0. Тогда существует М<0 – максимум f(x). Тогда ∑f (M k ) xk ≤ |
||||
|
|
|
|
k =1 |
|
n |
|
|
|
М∑ xk =М(b-a)<0. |
|
|||
|
k =1 |
|
|
|
|
8. Неравенство f(x) ≤ф(x) можно интегрировать на [a;b], причем |
|||
∫b |
f(x)dx< ∫b |
ф(x)dx, если f(x) не равна тождественно ф(х). |
||
a |
|
a |
|
|
Док. На основании С7 имеем ∫b (f(x)-ф(х))dx>0 , т.к. f(x) ≤ф(x). По С1
a
∫b (f(x)-ф(х))dx=f(x)dx- ∫b ф(x)dx>0, откуда и следует требуемое.
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. |
|
∫b |
f(x)dx |
|
≤ ∫b |
|
f (x) |
|
dx . Док. В самом деле - |
|
f (x) |
|
≤f(x) ≤ |
|
f (x) |
|
ю тогда |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по С8 и С2 получаем |
|
∫b |
- |
|
f (x) |
|
dx ≤ ∫b |
f(x) dx ≤ ∫b |
|
f (x) |
|
dx, откуда и следует |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
требуемое. |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10. Теорема о среднем. Если f(x) |
и ф(х) непрерывны на [a;b] и хотя бы |
||||||||||||||||||||||||||
одна из них знакопостоянна, например, ф(х), то на [a;b] найдется хотя бы
одна точка С, для которой будет верным равенство ∫b |
f(x)ф(х)dx=f(C) |
|
|
a |
|
∫b |
ф(х)dx. |
|
a
Док. Пусть м и М – соответственно минимум и максимум для f(x). Тогда верно m ≤ f(x) ≤ M. А также верно mф(х) ≤ f(x) ф(х) ≤ Mф(х). После
интегрирования получаем m ∫b ф(х)dx< ∫b f(x)ф(х)dx< M ∫b ф(х)dx. В любом
a |
a |
a |
случае ∫b f(x)ф(х)dx=r ∫b ф(х)dx, где m<r<M. В силу свойств непрерывной на
a |
a |
[a;b] функции f(x) на этом отрезке всегда найдется такая С, в которой r=f ( C ) , что и требовалось доказать.
Частный случай. При ф(х)=1 везде на [a;b] получаем ∫b f(x)dx =f(C)(b-
a
a).
Этот случай используют для оценки значения ОИ без его вычисления. Формула говорит о том, что площадь криволинейной трапеции равна
площади прямоугольника с тем же основанием. Иначе говоря, криволинейная трапеция квадрируема (имеет площадь).
2.2.Интеграл с переменным верхним пределом.
Пусть f(x) непрерывна на [a;b] и потому интегрируема на [a;x] , где
х≤b. В этом случае ∫х |
f(t)dt |
зависит от х. Т.е. ∫х |
f(t)dt=Ф(х). |
|
|
|||
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
Теорема. Ф(х) – непрерывна на |
[a;b]. |
Док. Вычислим |
Ф(х)= |
|||||
Ф(х+ х)- Ф(х)= |
х+∫х |
f(t)dt, который по теореме о среднем равен f(C) |
х. Где |
|||||
|
х |
|
|
Ф(х)= f(C) |
х. Если хÆ0, то |
Ф(х) Æ0, а |
||
С между х и х+ |
х. Т.е. |
|||||||
значит Ф(х) – непрерывна.
Теорема. Ф(х) – дифференцируема на [a;b]. Док. По найденному
приращению Ф(х) найдем lim |
Ф |
=f(x) – cм.выше. |
||
|
x→0 |
х |
|
|
Т.е. Ф’(х)=( ∫х |
f(t)dt)’x =f(x). Аналогично ( ∫b |
f(t)dt)’x =-f(x). |
||
a |
|
|
x |
|
Следствие. |
Производная |
по |
верхнему |
пределу от интеграла с |
переменным верхним пределом равна значению подынтегральной функции в верхнем пределе.
|
Комментарий. Фактически доказана теорема существования |
||||||
неопределенного интеграла. Именно ∫ f(x)dx= ∫х |
f(t)dt+C. |
|
|
||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
Из этих рассуждений следует формула Ньютона-Лейбница |
∫b |
f(x)dx |
||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
=F(b)-F(a). Док. Имеем Ф(х) = ∫х |
f(t)dt. Пусть |
F(x) – любая |
из этих |
||||
первообразных. Т.е. |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫х |
f(t)dt= F(x)+C. Из этого равенства при х=а получаем F(a)=-C. Или ∫х |
f(t)dt= |
|||||
a |
|
|
|
|
|
a |
|
F(x)-F(a). С другой стороны при х=b из того же равенства получаем |
|
|
|||||
|
∫b |
f(x)dx= F(b)-F(a). |
|
(7.2) |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
2.3. Замена переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям.
Теорема. Если х=ф(t) непрерывна на [ α ; β ] оси t вместе со своей производной x’=ф’(t); при изменении t от α до β значение ф(t) не выходит за пределы [a;b]; ф(α )=а , ф( β ) = b, то для непрерывной на [a;b] функции
f(x) справедливо равенство |
∫b |
f(x)dx= β∫ f(ф(t))ф’(t)dt |
|
a |
α |
(7.3)
называемое формулой замены переменной в определенном интеграле.
Док. В самом деле ∫b f(t)dt= F(b)-F(a) , где F(x) первообразная для f(x).
a
Т.к. при этом F(ф(t)) – есть первообразная для f(ф(t))ф’(t), непрерывной на
[ α ; β ], то По Ньютону-Лейбницу имеем |
β∫ f(ф(t))ф’(t)dt =F(ф( β )) - |
|
|
|
α |
F(ф(α ))= F(b)-F(a) = ∫b |
f(t)dt. |
|
a
Комментарий. Имеются два подхода использования формулы замены. Один из них изложен выше. В другом (более употребимом) случае заменяют не переменную х, на некоторое выражение, а выражение, связывающее х заменяют одной переменной. А далее – как обычно. Не следует забывать также о смене пределов интегрирования в момент замены, чтобы не возвращаться к исходной переменной.
Интегрирование по частям. Пусть u=ф(х) и v=f(x) непрерывны и дифференцируемы на [a;b]. Проинтегрируем равенство (uv)’=u’v+v’u на
этом отрезке и получим ∫b |
(uv)’dx= ∫b |
u’vdx + ∫b |
v’udx. Но |
т.к. uv |
есть |
|||
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
первообразная для (uv)’, то получаем |
∫b |
v’udx = uv |
|
b |
- |
∫b |
u’vdx |
|
|
||||||||
(7.3) |
|
a |
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулу (7.3) называют формулой интегрирования по частям в ОИ.
2.4.Несобственные интегралы.
Пусть f(x) непрерывна на [a; +∞). Тогда она непрерывна и на [a;b] и
потому ∫b f(х)dх= F(b) – некоторая функция от предела b.
a |
|
|
|
|
|
|
Опред. Если при bÆ+∞ существует |
lim∫b |
f (x)dx |
и равен конечному |
|||
|
|
b→+∞ a |
|
|
|
|
числу, то этот предел |
обозначают |
символом |
∞∫ |
f(х)dх, |
называют |
|
|
|
|
|
a |
|
|
несобственным интегралом |
с бесконечным верхним |
пределом |
и считают |
|||
сходящимся. В противном случае символу ∞∫ f(х)dх ничего не приписывают,
a
называют так же и считают расходящимся.
Аналогично дают определение символу ∫b f(х)dх . Если же имеется
|
−∞ |
символ |
+∞∫ f(х)dх, то в нем сначала заменяют бесконечные пределы |
|
−∞ |
конечными параметрами, затем на отрезке между параметрами берут
произвольную точку и вычисляют два предела : lim∫b |
f (x)dx и |
lim∫c |
f (x)dx . |
b→+∞ с |
|
a→−∞ a |
|
Если хотя бы один из этих пределов не существует или равен бесконечности, то исходный символ называют несобственным с бесконечными пределами и расходящимся. Сходящимся он будет только, если оба слагаемые сходятся.
Зачастую работать с определением затруднительно. Тогда используют признаки сходимости.
Теорема. (признак сравнения) Если 0 ≤g(x) ≤f(x) и для любого х из
[a; +∞) интеграл ∞∫ f(х)dх сходится, то сходится и интеграл ∞∫ g(х)dх. Если
a |
a |
же при указанных условиях интеграл ∞∫ g(х)dх расходится, то расходится и
a
интеграл ∞∫ f(х)dх.
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Док. Вытекает из интегрирования неравенства. |
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Теорема. (предельный признак сравнения) Если lim |
|
=k не равному |
||||||||||||||||
ф(x) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
b→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
нулю и |
не равному ∞, то интегралы |
∞∫ g(х)dх |
и |
|
∞∫ |
|
f(х)dх |
ведут себя |
||||||||||
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
одинаково в смысле сходимости. |
(без док.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Комментарий. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В |
качестве ‘лакмусовой’ |
бумажки (мерительного |
|
инструмента) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
∞ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≠∞, p >1, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
dx |
(−.p +1)x p−1 |
|
||||||||||||
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
используют интеграл от степенной функции J= ∫ |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
x |
p |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
x |
|
|
=∞, p ≤1. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Иначе говоря при р больших 1 интеграл сходится, а в других случаях – расходится.
Опр. Если интеграл |
∞∫ |
|
f(х) |
|
dх сходится, то сходится и интеграл |
|
|
||||
|
a |
||||
∞∫ f(х)dх и тогда последний называют абсолютно сходящимся.
a
Опр. Если интеграл |
∞∫ |
|
f(х) |
|
dх расходится, а интеграл |
∞∫ f(х)dх |
|
|
|||||
|
a |
|
|
|
|
a |
сходится, тогда последний называют условно сходящимся.
|
Пример. |
7.7. |
∞∫1−5Sinxdx . |
Выясним его характер. Для чего сравним |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 x2 + x |
|
6 |
|
|
подынтегральную |
функцию |
по модулю с функцией |
. Имеем |
||||||||
2 |
|||||||||||
|
1−5Sinx |
|
|
6 |
|
|
|
|
х |
||
|
|
< |
|
. А потому исходный интеграл сходится абсолютно. |
|||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
x2 + x |
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пусть f(x) непрерывна на [a;b] и имеет разрыв 2-го рода (неограниченна) в точке b. Тогда f(x) интегрируема на [a;b1] для b1<b. В
этом случае b∫1 f(х)dх=Ф(b1) – функция от b1.
|
|
a |
|
|
|
Опр. |
Если существует |
конечный limb∫1 |
f (x)dx , то его |
обозначают |
|
|
|
|
b1 →b с |
|
|
символом |
∫b |
f(х)dх, называют |
несобственным |
интегралом от |
разрывной |
a
функции и считают сходящимся.
В противном случае указанному символу ничего не приписывают и называют расходящимся несобственным интегралом от разрывной функции.
Аналогичная ситуация для непрерывной f(x) на [a;b] за исключением некоторой С [a;b]. В этом случае рассматривают два несобственных интеграла от разрывной функции на двух интервалах [a;С] и [С;b]. Если хотя бы одно слагаемое – интеграл расходящийся, то исходный интеграл считают расходящимся. В противном случае интеграл считают сходящимся.
Из последних определений следует, что до вычисления ∫b f(х)dх
a
следует проверить, будет ли символ несобственного интеграла или это определенный интеграл. И только после этого приниматься за
вычисления(работу). |
|
|||||||
|
Если же установить характер сходимости по определению |
|||||||
затруднительно |
используют признаки сравнения с |
интегралом |
||||||
|
dx |
|
= ∞, p ≥1, |
|
|
|||
1 |
|
|
|
|||||
J= ∫ |
|
|
= |
1 |
, p <1. |
. Иначе говоря, при p<1 интеграл сходится, в противном |
||
x |
p |
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1− p |
|
|
|
|
|
случае – расходится.
2.5.Приближенное вычисление определенного интеграла.
В тех случаях, когда поиск первообразной не реализуемо в квадратурах, используют приближенные методы вычисления определенного интеграла. Рассмотрим некоторые из них. Все рассматриваемые методы основаны на аппроксимации (приближенной замене) подынтегральной функции некоторой более простой для работы функцией.
Метод прямоугольников. В основу метода прямоугольников положена
теорема о среднем ∫b f(х)dх=f( c )(b-a), где точка С принадлежит отрезку
a
[a;b]. Если же отрезок [a;b] разбить на n (желательно одинаковых) частей, то указанную формулу можно применить на каждом участке разбиения. А в качестве точек типа С брать , например, левые концы участков разбиения. В этом случае, криволинейная трапеция (определенный интеграл) будет заменена ступенчатой фигурой. Высота ступенек будет равна значению подынтегральной функции на левых концах отрезков разбиения. Т.е.
функция f(x) будет аппроксимирована кусочно постоянной функцией. Площадь каждой ступеньки будет приближенно равна f(сk)h, где h – длины участков разбиения (шаг интегрирования). Поэтому получаем приближенную
b |
b |
n−1 |
формулу вычисления ∫ |
f(х)dх методом прямоугольников ∫ |
f(х)dх=h ∑f (ck ) . |
a |
a |
k =0 |
Если же в качестве точек сk брать правые концы участков разбиения, то
b |
n |
получаем другую похожую формулу прямоугольников ∫ |
f(х)dх=h ∑f (ck ) . |
a |
k =1 |
Обе формулы обеспечивают вычисление ОИ с погрешностью, которая не
превышает величины |
|
|
M1 |
(b − a)2 |
|
, где М1 =max f’(x) для x из [a;b]. |
|||
|
|
||||||||
|
|||||||||
|
|
|
2n |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
Метод трапеций. |
Если после разбиения отрезка |
[a;b] на части |
|||||||
(желательно одинаковые |
по длине) аппроксимировать f(x) |
ломаной, которая |
|||||||
соединяет точки (xk; f(xk) ) и (xk+1; f(xk+1)), то на каждом участке разбиения криволинейная трапеция будет аппроксимирована обычной трапецией с
основаниями f(xk) и f(xk+1) и высотой h. После суммирования всем частичных трапеций получим приближенную формулу для вычисления ОИ
b |
|
|
|
|
|
n−1 |
∫ f(х)dх=h(0,5(f(xo)+ f(xn))+ ∑f (ck ) ). Погрешность результата не превышает |
||||||
a |
|
|
|
|
|
k =1 |
величины |
|
|
M 2 |
(b − a)3 |
|
, где М2 =max f’’(x) для x из [a;b]. |
|
|
|
||||
|
|
2 |
||||
|
|
12n |
|
|
||
|
|
|
|
|||
Метод парабол (Симпсона). Если после разбиения отрезка [a;b] на части (желательно одинаковые по длине) числом 2n (т.е.четное) аппроксимировать f(x) параболой ax2+bx+c на каждой сдвоенной полосе, то получим формулу Симпсона. Тот факт, что такие параболы существуют, не вызывает сомнения. В самом деле, у каждой параболы на каждом участке неизвестны три коэффициента a,b,c. И при разбиении на четное число частей
имеются в наличии три точки (xk-1; f(xk-1) ) , (xk; f(xk) ) и (xk+1; f(xk+1)). Т.к. эти точки расположены на параболе ax2+bx+c, то мы получаем систему 3-х
уравнений с тремя неизвестными a,b,c на каждой сдвоенной полосе. А именно
ax2 |
+bx |
k −1 |
+c = f (x |
k −1) |
, |
|
|
k −1 |
|
|
|
||
|
axk2 +bxk +c = f (xk ), Легко видеть, что определитель этой системы |
|||||
|
2 |
+bxk +1 |
+c = f (xk +1 ). |
|||
axk +1 |
||||||
для трех чисел подряд xk-1 , xk и xk+1 не равен нулю (т.к. это определитель Ван-дер-Монда) и потому система имеет единственное решение. Это означает, что через указанные три точки проходит единственная парабола указанного типа. Будем считать, что мы ее нашли. Это означает, что можно теперь интегрировать на каждой сдвоенной полосе уже не исходную функцию (которую мы не смогли проинтегрировать в самом начале работы), а найденную нами параболу (что всегда можно сделать). Затем полученные частичные интегралы сложить и получить ответ.
Вычислим определенный интеграл на некоторой сдвоенной полосе, используя вышеприведенные рассуждения.
Пусть мы вычисляем интеграл xk∫+1 f(х)dх, т.е. только на отрезке [xk-1;
xk −1
xk+1]. Пусть выбрана парабола ax2+bx+c. Легко видеть, что площадь сдвоенной полосы не изменится, если эту полосу сдвинуть так, чтобы начало отрезка
[xk-1; xk+1] совпадало с началом координат. Тогда мы получим отрезок [0;2h]
и на нем в трех точках 0, h и 2h заданы значения f(xk-1), f(xk) и f(xk+1). В этом случае система уравнений для определения коэффициентов a,b,c принивает
вид
|
|
|
|
|
|
c = f (xk −1 ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Система имеет единственное решение : с= f(xk-1), |
|||||||||||||||||
|
|
|
ah2 +bh +c = f (xk ), |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
+b2h +c = f (xk +1 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
a4h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
b= |
−3 f (x |
|
) + 4 f (x |
|
) − f (x |
|
) |
, a= |
f (x |
k −1 |
) − 2 f (x |
) + f (x |
k +1 |
) |
. Теперь вычислим |
|||||||
|
|
|
|
|
|
k −1 |
|
|
|
k |
|
|
k +1 |
|
|
|
k |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2h |
|
|
|
|
|
|
|
2h |
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xk +1 |
|
|
|
2h |
|
|
площадь |
|
|
сдвоенной |
полосы |
|
|
Sk= ∫ f(х)dх= ∫(ax2 +bx +c)dx f(х)dх= |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xk −1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
8 |
ah3 |
+ 2bh2 |
+ 2ch = |
h |
( f (xk −1 ) + 4 f (xk ) + f (xk +1 ) ). Отсюда |
видно, что площади |
||||||||||||||||||
3 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
сдвоенных полос при такой аппроксимации выражаются полностью через длину шага интегрирования и значения подынтегральной функции в точках деления отрезка [a;b] на четное число частей. Если теперь просуммировать все площади сдвоенных полос, то получим приближенную формулу парабол (Симпсона)
∫b |
f(х)dх= |
h |
(f(xo)+4f(x1)+2f(x2)+…+2f(xn-2)+4f(xn-1)+f(xn)), |
|
(7.4) |
||||||||||
|
|
||||||||||||||
a |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
погрешность результата которой |
|
M 4 |
|
4 |
|
, где М4 |
=max f |
IV |
(x) для x из |
||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
(b − a)h |
|
|
|
||||||||||
180 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
[a;b]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫1 |
|
|
|
Пример |
7.7. Вычислить по |
формуле |
Симпсона |
е−ч2 dx , |
сохраняя в |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
вычислениях 5 знаков после запятой и разбив отрезок интегрирования на 4 части. Решение. При разбиении отрезка [0;1] на 4 части шаг интегрирования равен h=0,25. Точками разбиения отрезка [0;1] будут xo=0; x1= xo+h=0,25; x2= xo+2h=0,5; x3=xo+3h=0,75; x4=xn=xo+4h=1. Составим таблицу значений подынтегральной функции в точках разбиения отрезка [0;1] b проведем расчет
Номер |
|
xi |
|
f(xi) |
|
2f(xi) |
|
4f(xi) |
|
|
|
|
|||||
|
||||||||
узла i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
1,0000 |
|
|
|
|
1 |
|
0,2500 |
|
0,9394 |
|
3,7556 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0,5000 |
0,7768 |
1,5536 |
3 |
0,7500 |
0,5698 |
2,2792 |
4 |
1,0000 |
0,3679 |
|
Суммы |
|
1,3697 6,0348 1,5536 |
||
Получаем ∫1 |
е−ч2 dx = |
0,25 |
(1,3697+6,0348+1,5536)=0,7469=0,747. |
|
3 |
||||
0 |
|
|
||
2.6.Приложение определенного интеграла.
В приложениях ОИ следует придерживаться некоторых обязательных правил. Первое из них гласит о том, что при построении математической модели задачи обязательно следует учитывать физическую (геометрическую и др.) сущность величин, с которыми работаем. В противном случае не избежать парадоксальных ситуаций, когда площадь оказывается отрицательной и т.п. Второе говорит о том, что результат вычислений всегда следует оценить критически – насколько он соответствует действительности. Сделать это следует любыми доступными методами оценки. И последнее , если в расчете предстоит применить ОИ, то Q следует проверить на подчинение двум требованиям – аддитивности (когда качество целого сохраняется при разбиении его на части. Например, сумма работ – это работа; а сумма частей хрустальной вазы – не есть хрустальная ваза) и
наличия некоторой характеристики, зависимой от одного переменного
(которая для малых изменений переменного меняется мало).
Требование аддитивности позволяет подсчитать Qк, а затем
n
просуммировать полученные части ∑ Qк и получить величину Q.
k =1
Второе требование дает возможность при заданной характеристике f(x) для малых изменений аргумента x получить приближенное значение для Qк=
|
n |
f(xк) xк и тем самым заменить приближенное значение ∑ Qк значением |
|
|
k =1 |
определенного интеграла ∫b |
f(х)dх. |
a
Теперь приступаем к решению типовых задач.
2.6.1.Вычисление площадей плоских фигур.
Пусть D - любая плоская фигура. Назовем всякий многоугольник, содержащий D описанным около ее, а любой многоугольник, содержащийся в ней щ вписанным.
Опр. Если существуют последовательности площадей вписанных и описанных около D многоугольников , причем эти последовательности имеют общий предел при неограниченном увеличении числа их сторон, то D называют квадрируемой (имеющей площадь) , а указанный предел – площадью фигуры D.