metod_tau_kontr_rab

1. Теоретические сведения

1.1 Определение передаточных функций

Рисунок 1.1 – Передаточная функция звена

Передаточная функция звена, изображенного на рисунке 1.1 будет равна отношению изображения Y(p) к изображению

X(p):

W ( p) = Y ( p)

X ( p)

В алгоритмических схемах автоматических систем встречаются три типа соединений динамических звеньев:

-последовательное; -параллельное;

-встречно-параллельное (соединение с обратной связью). Группу динамических звеньев, составляющих то или иное соединение, можно представить одним эквивалентным динамическим звеном, обладающим такими же статическими и динамическими характеристиками, что и замещаемое им соединение. Это позволяет упрощать алгоритмические схемы и выполнять их преобразования.

Последовательным называется такое соединение двух или нескольких звеньев, при котором выходная величина предыдущего звена является входной величиной для последующего (рисунок 1.1).

Рисунок 1.2 - Последовательное соединение звеньев

Из определения передаточной функции звена можно найти эквивалентную передаточную функцию:

W ( p) = YX ((pp)) ,

но:

Y1 ( p) = X ( p)×W1 ( p) Y2 ( p) = Y1 ( p)×W2 ( p)

...

Y ( p) = Yk −1 ( p)×Wk ( p)

Для отрицательной обратной связи:

X ( p) = G ( p) -Yос ( p)

Так как:

Yос ( p) = Y ( p) ×Wос ( p) ,

то

X ( p) = G ( p) -Y ( p) ×Wос ( p)

Выразим X(p) через Y(p):

или

Y ( p) = W ( p)×G ( p)

Следовательно, звено с передаточной функцией Wпр(p), охваченное отрицательной обратной связью через звено с передаточной функцией Wос(p), в смысле прохождения сигнала эквивалентно одному звену, передаточная функция которого равна передаточной функции звена, охватываемого обратной связью, деленной на единицу плюс произведение передаточных функций звеньев, входящих в соединение (рисунок 1.4,

б).

При помощи аналогичных рассуждении нетрудно показать, что соотношение остается справедливым и для случая положительной обратной связи, при этом

1.2 Передаточные функции САР

При исследовании и расчете систем автоматического управления исходят из математического описания происходящих в них физических процессов. Обычно это описание бывает представлено в виде системы дифференциальных уравнений, выражающих связи между переменными величинами и их производными. Такой подход, когда уравнения описывают поведение исследуемой системы в целом, является наиболее

общим в математическом плане и применимым во всех случаях.

В месте с тем для большого класса систем автоматического управления (линейных систем) широко применяется и другой способ, связанный с использованием операторного метода. При этом способе исследуемая система разделяется на части — звенья направленного действия, обладающие свойством передачи сигнала только в одном направлении: от входа к выходу. Совокупность этих звеньев совместно с линиями связи между ними, характеризующими их взаимодействие, образует структурную схему системы управления. При таком начертании структурная схема САР представляет собой графическое изображение системы дифференциальных уравнений, описывающих работу САР. Графическое изображение уравнений звеньев предпочтительнее обычной математической записи этих уравнений. При этом для разделения систем управления на звенья направленного действия нельзя дать какого-то единого рецепта, а приходится каждый раз руководствоваться в значительной мере соображениями общего порядка и интуицией, приобретаемыми в процессе накопления опыта. Разбивать САР на звенья можно различным образом. Желательно разбивать САР на типовые звенья направленного действия, уравнения которых известны. Часто в качестве динамических звеньев выбирают просто элементы САР.

После того как получены передаточные функции входящих в нее звеньев и составлена структурная схема, необходимо определить передаточные функции всей системы. Для этого структурная схема любой САР может быть приведена к виду, показанному на рисунке 1.5.

Рисунок 1.5 - Структурная схема одноконтурной CAP

На этом рисунке для упрощения показано лишь одно возмущающее воздействие F(p), приложенное к объекту регулирования. В общем случае число возмущающих воздействий может быть любым.

Для расчетов обычно необходимы передаточные функции:

У рассматриваемой системы

Передаточная функция Φx(p), как и Φ(p) характеризует

воспроизведение регулируемой величиной задающего воздействия (отработку задания). Воспроизведение тем лучше, чем

ближе значение Φx(p) к идеальному: Φx(p)=0.

Передаточная функция замкнутой CAP относительно возмущения

есть отношение изображения Y(p) регулируемой величины к изображению F(p) возмущения. При этом предполагают, что других внешних воздействий нет.

Для рассматриваемой системы

Передаточная функция Φf(p) показывает влияние возму-

щения f(t) на регулируемую величину y(t). Возмущение стремится отклонить ее от заданного значения и уменьшает точность воспроизведения задающего воздействия. Это вредное влияние возмущения тем меньше, чем ближе значение Φf(p) к идеальному: Φf(p)=0.

Если на систему воздействует несколько возмущений f1,f2,...fn, то определяются передаточные функции Φ1f(p), Φ2f(p)...Φnf(p) относительно каждого из них.

Передаточная функция замкнутой CAP для ошибки от возмущающего воздействия

Фxf ( p) = X ( p)

F ( p)

есть отношение изображения X(p) ошибки x(t)=g(t)—yос(t), к изображению возмущающего воздействия при отсутствии других внешних воздействий.

У рассматриваемой системы

Передаточная функция Φxf(p) характеризует влияние возмущения на величину ошибки. В идеале: Φxf(p)=0.

1.3 Устойчивость САР

Устойчивость является одним из главных требований, предъявляемых к автоматическим системам.

Иллюстрация понятия устойчивости приведена на рисунке 1.6. Состояние равновесия шара в точке А0 на рисунке 1.6, а) устойчиво, так как если какие-либо внешние силы выведут шар из этого состояния (например, в точку А1 или А2), то он возвратится к точке А0. Состояние равновесия в точке А0 на рисунке 1.6, б) неустойчиво.

Рисунок 1.6 – Понятие устойчивости

В этом примере, как и в теории устойчивости, полагается, что внешние силы или возмущения прекращают свое действие к некоторому моменту времени, который можно принять за начальный момент t = 0.

Автоматические системы отличаются тем, что в них, осуществляется специально организованное управление объектом. Благодаря ему система с неустойчивым объектом мо-

дана А. И. Ляпуновым и изложена им в работе «Общая задача об устойчивости движения», опубликованной в 1892 г. В ней было определено понятие устойчивости и разработаны методы устойчивости нелинейных систем.

Математический признак устойчивости. САУ называется устойчивой, если она, будучи выведена из состояния равновесия и в дальнейшем не подвергаясь никаким внешним воздействиям, с течением времени стремится вернуться в прежнее состояние равновесия.

САУ, как любая динамическая система, характеризуется переходным процессом, возникающим в ней при нарушении ее равновесия каким – либо воздействием (могут быть сигналы управления, настройки, помехи и т.д.).

Переходный процесс y(t) зависит от свойств системы, так и от вида возмущения

Характер свободного движения системы определяет ее устойчивость или неустойчивость.

Первая теорема А.М. Ляпунова:

1.Для обеспечения устойчивости САУ, описываемой линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, необходимо и достаточно, чтобы вещественные корни характеристического уравнения, соответствующего исходному дифференциальному уравнению, были отрицательными,

акомплексные корни имели отрицательную вещественную часть.

2.Если вещественная часть корней меньше нуля, но среди корней имеются нулевые или чисто мнимые корни, то система стремится к некоторому установившемуся процессу (консервативная система).

3.Если хотя бы один вещественный корень положительный или положительна вещественная часть хотя бы одного комплексного корня, то система неустойчива.

Поэтому вид кривой yC (t)определяется видом корней характеристического уравнения.

Re

Рисунок 1.7 – Распределение корней устойчивой системы

Критерии оценки устойчивости линейных САУ

Прямой метод анализа устойчивости систем, основанный на вычислении корней характеристического уравнения очень сложен, особенно для уравнений высоких степеней. Поэтому в инженерной практике используют методы, которые позволяют определять устойчивость системы без вычисления корней.

Эти методы называются критериями устойчивости. С помощью критериев устойчивости можно не только установить, является ли система устойчивой или нет, но и выяснить, как влияют на устойчивость те или иные параметры и структурные изменения в системе.

Различают две группы критериев устойчивости: алгебраические (Рауса и Гурвица), основанные на анализе коэффициентов характеристического уравнения и частотные (Михайлова и Найквиста), основанные на анализе частотных характеристик. Частотные критерии позволяют оценивать устойчивость системы, даже если в наличии имеются экспериментальные частотные характеристики, а уравнения динамики неизвестны.