metod_tau_kontr_rab
.pdf
|
|
n |
|
|
F1(pk) |
epkt . |
|
|
|
|||||
y(t)= å |
|
|
|
|
||||||||||
|
' |
|
|
|
|
|||||||||
2. Если среди корней |
k = 1 F2(pk) |
F2(р) есть равный |
||||||||||||
знаменателя |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1(p) |
и |
нулю, то положив F2(р)=рF(р) можем записать Y(p)=pF(p) |
||||||||||||||
при р1=0, оригинал y(t) запишется в виде |
|
|
|
|||||||||||
|
F1(0) |
|
|
|
n |
F1(pk) |
e |
pkt |
|
|
||||
y(t)= |
F(0) |
+ |
å |
|
' |
|
, |
|
||||||
где |
|
k = 2 pkF(pk) |
|
|
|
|||||||||
' |
|
|
édF(p)ù |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
F(pk)= |
ê |
|
|
|
|
ú p = pk |
, |
|
|
|
||||
|
dp |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
ë |
|
û |
|
|
|
|
|
|||
а р2, р3,..., pk — корни знаменателя, среди которых нет кратных и нулевых корней.
Замечание
Пусть коэффициенты многочлена F2(p) вещественны. Тогда его мнимые корни будут попарно сопряженными: если есть корень рk, то есть и корень рк*. Пусть многочлен F1(р) также с вещественными коэффициентами. В этом случае можно утверждать, что попарно сопряженными будут и такие
величины: F1(рk) и F1(рк*); F2'(рk) |
и F2'(рk*); |
epkt и ep*kt . |
|||||||||||||||||||||||
Отсюда ясно, что |
|
|
|
|
F1(pk*) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
F1(pk) |
e |
pkt |
|
|
e |
p*kt |
|
ì F1(pk) |
e |
pkt |
ü |
|||||||||||||
|
|
+ |
|
|
=2Re |
ý . |
|||||||||||||||||||
' |
(pk) |
|
|
' |
|
|
|
* |
|
|
í |
' |
|
|
|
|
|||||||||
|
F2 |
|
|
|
|
F2 |
(pk ) |
|
|
|
|
îF2(pk) |
|
|
|
þ |
|||||||||
и, следовательно, оригинал y(t) можно записать так: |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
m |
F1(pk) |
e |
pkt |
|
|
n |
|
|
F1(pk) |
e |
pkt |
|
||||||||||
|
y(t)= å |
|
' |
|
|
|
|
|
|
+2Re å |
|
' |
|
|
|
, |
|||||||||
|
|
|
k = 1 F2(pk) |
|
|
|
|
|
|
k = m + |
1 F2(pk) |
|
|
|
|||||||||||
причем в первом слагаемом правой части суммирование распространяется на все вещественные корни знаменателя F2(р), а во втором - на все его мнимые корни с положительной мнимой частью.
В заключение заметим, что неправильная рациональная
F1(p)
дробь F2(p) не может служить оригиналом, так как в этом
F1(p)¹
случае limp→∞F2(p) 0, что означает отсутствие оригинала
для такого изображения.
Пример
Найти оригинал y(t) изображения
p2+1 Y(p)=p4-3p3+4p2-12p.
Решение.
F1(p)=р2+1; F2(p)=p4-3p3+4р2-12р=р(р-3)(р2+4);
F2'(р)=(р-3)(р2+4)+p(p2+4)+2р2(р-3).
Корни знаменателя: р1=0; р2=3; р3=j2; p4=-j2. F1(0)=1; F1(3)=10; F1(j2)=-3; F1(-j2)=-3. F2'(0)=-12; F2'(3)=39; F2'(j2)=24-j16; F2'(-j2)=24+j16.
Пользуясь случаем 1 второй теоремы разложения, полу-
чим
y(t)=- |
1 |
+10e3t+ |
-3 |
ej2t+ |
-3 |
|
e-j2t. |
||||||||
|
|
24-j16 |
24+j16 |
||||||||||||
12 39 |
|
|
|
|
|
||||||||||
После преобразований: |
|
|
2 |
||||||||||||
1 |
|
10 |
3t |
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||
y(t)=- |
|
+39e |
|
- |
|
|
|
|
cos(2t-arctg3). |
||||||
12 |
|
4 |
|
|
|
||||||||||
|
|
13 |
|||||||||||||
Применение теоремы разложения позволяет избежать трудоемкой процедуры определения постоянных интегрирования, необходимой при использовании классических методов решения дифференциальных уравнений, но не избавляет от нахождения корней уравнения F2(p)=0.
Из многочисленных способов определения приближенных значений корней характеристического уравнения наиболее эффективными являются метод деления многочленов и итерационный метод, применение которых показано на примерах, рассмотренных далее.