metod_tau_kontr_rab

Критерий Гурвица

Этот критерий позволяет сказать, где на комплексной плоскости расположены корни характеристического уравнения.

Пусть имеем характеристическое уравнение (характеристическое уравнение – знаменатель Φ(p)):

C0 × pn + C1 × pn−1 + ... + Cn−1 × p + Cn = 0

Сначала строится главный определитель Гурвица по следующему правилу: по главной диагонали определителя слева направо выписываются все коэффициенты характеристического уравнения от С1 до Сn в порядке возрастания индекса.

Столбцы вверх от главной диагонали дополняются коэффициентами характеристического уравнения с последовательно возрастающими индексами, а столбцы вниз с последовательно убывающими индексами.

На место коэффициентов с индексами больше n (где n – порядок характеристического уравнения) и меньше нуля проставляются нули.

Далее выделяются в главном определителе Гурвица главные диагональные миноры и получаются определители Гурвица низшего порядка. Номер определителя зависит от номера коэффициента по диагонали, до которого составляют данный определитель.

В итоге проверяется n определителей, которые являются главными диагональными минорами матрицы Гурвица.

Определение критерия: чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и его диагональные миноры были положительными.

Т.е. 1 > 0, 2 > 0, 3 > 0, и т.д.

Критерий Михайлова

А.В. Михайлов предложил частотный критерий устойчивости, применение которого во многих случаях оказалось предпочтительнее. Этот критерий основан на расположении годографа (кривой) вектора, определяемого характеристическим уравнением системы в плоскости комплексного переменного.

Это вектор можно найти, если в характеристическом уравнении заменить оператор Лапласа p на комплексную частоту jω.

Пусть система автоматического управления имеет следующее характеристическое уравнение:

ω придавать последовательно значения от 0 до ∞, то получится семейство векторов. Кривая, являющаяся геометрическим местом точек концов вектора, при изменении значений ω от 0 до ∞ называется годографом Михайлова. По расположению годографа на комплексной плоскости можно определить, устойчива система или нет.

Условия устойчивости по Михайлову: САУ будет устойчи-

вой, если годограф функции f ( j ×ω) при изменении ω от 0 до

∞ обходит последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) n квадрантов комплексной плоскости, где n – степень характеристического уравнения данной системы и уходит в бесконечность.

1.4 Показатели качества переходного процесса

Качество переходных процессов численно характеризует-

ся следующими показателями качества.

Быстродействие или время регулирования tрег. Быстро-

действие системы может определяться по длительности переходного процесса tрег. Время регулирования tрег определяется как время, протекающее от момента приложения на вход единичного скачка до момента, после которого имеет место неравенство

ôy(t)-y(¥)ô£D,

где D — заданная малая постоянная величина, представляющая собой обычно допустимую ошибку;

ôy(t)-y(¥)ô - текущее отклонение регулируемой величины.

В большинстве случаев выбирают D=5% (так называемая 5%-ная трубка). Для процессов, подобных изображенным на рисунке 1.8 берут 5% от нового установившегося значения. Допустимое значение времени переходного процесса определяется на основании опыта эксплуатации систем регулирования.

Рисунок 1.8 – Переходные характеристики САР.

Перерегулирование σ%. Склонность системы к колебани-

ям может быть охарактеризована максимальным значением регулируемой величины ymax в переходном процессе или так на-

зываемым перерегулированием s%.

Перерегулированием s% называется отношение разности между максимальным и установившимся отклонениями регулируемой величины к установившемуся отклонению. Перерегулирование выражается в процентах:

s%=ymax-y(¥)100%, y(¥)

где y(¥)¹0 представляет собой установившееся отклонение регулируемой величины после завершения переходного процесса. В случае переходных процессов, вызванных изменением задающего воздействия (рисунок 1.8), максимальное отклонение определяется относительно нового установившегося значения y(¥).

Допустимое значение перерегулирования для той или иной системы автоматического регулирования может быть установлено на основании опыта эксплуатации подобных систем. В большинстве случаев считается достаточным, если

величина перерегулирования не превышает s%=10%¸30%. Однако в некоторых случаях требуется, чтобы переходный процесс протекал вообще без перерегулирования, т. е. был мо-

Рисунок 2 – Расчетная структурная схема.

2. Для упрощения произведем структурные преобразования, чтобы привести расчетную структурную схему к виду, приведенному на рисунке 3.

Wa(p) Wb(p)

(-)

Wc(p)

Рисунок 3 – Расчетная структурная схема.

Так как звенья с передаточными функциями W3(p) и W4(p) соединены параллельно, то, пользуясь правилами преобразования, их эквивалентная передаточная функция будет равна:

= 0.9 × p + 30 0.02 × p + 1

Так как звено с передаточной функцией W2(p) охвачено единичной отрицательной обратной связью, то для упрощения необходимо воспользоваться правилом для звеньев охваченных обратной связью:

Таким образом, после двух преобразований исходная структурная схема преобразована к виду, приведенному на рисунке 4.

0.2

Рисунок 4 – Преобразованная структурная схема.

Так как звенья с передаточными функциями WЭ1(p) и WЭ2(p) соединены последовательно, то, пользуясь правилами преобразования, их эквивалентная передаточная функция будет равна:

= 00056. ×p2+042. ×p+7 00072. ×p3+0544. ×p2+1434. ×p+173

3. Оценить устойчивость системы.

3.1 Критерий Гурвица.

Для того чтобы все корни характеристического полинома n-ой степени имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы при an > 0 все n определителей Гурвица были больше нуля [2].

Характеристический полином имеет следующий вид:

D( p) = 0.0072× p3 +0.544× p2 +14.34× p +173

Определители Гурвица: Определитель Гурвица 3-го порядка:

И C1 = 0.544 > 0

Все определители больше нуля, следовательно система устойчива.

3.2 Критерий Михайлова.

Для устойчивости системы порядка n необходимо, чтобы полное приращение ар-

гумента D(jω) при изменении частоты от 0 до ∞ составляла n π2 т.е. необходимо,

чтобы годограф Михайлова, начинаясь на положительной вещественной полуоси последовательно проходил n-квадрантов в положительном направлении.

Для построения годографа в характеристическое уравнение подставим вместо p комплексную частоту jω и разобьем выражение на действительную и комплексную

часть.

D( jω) =00072. ×( jω)3 +0544. ×( jω)2 +1434. ×( jω)+173=-00072. × j×ω3 -0544. ×ω2 +1434. × j×ω+173= =(173-0544. ×ω2)+ j×(1434. ×ω-00072. ×ω3)

Далее, выражение разбивается на две части – на действительную и комплексную части:

U(ω) =173-0544. ×ω2

V(ω) =1434. ×ω-00072. ×ω3

По полученным выражениям вычисляется годограф Михайлова, данные сведены в таблицу 1.

Таблица 1 – Расчетные данные (годограф Михайлова)

Годограф Михайлова приведен на рисунке 5.

Рисунок 5 – Годограф Михайлова.

По виду годографа делаем вывод: система устойчива, т.к. годограф начинается на положительной части вещественной оси и последовательно проходит 3 квадранта.

4. Определить суммарную статическую ошибку. Коэффициент усиления системы по задающему воздействию:

Коэффициент усиления замкнутой CAP для ошибки воспроизведения задания:

Kx =Фx (0) =1735 =0028.

Коэффициент усиления замкнутой CAP для ошибки от возмущающего воздействия:

Kxf =Фxf (0)=1737 =004.

Тогда:

DX = Kxf ×1(t) + Kx ×1(t) =0.028+ 0.04 =0.068

5. Определить корни характеристического уравнения.

Используя приложение 1, необходимо определить корни характеристического уравнения:

D( p) = 0.0072× p3 +0.544× p2 +14.34× p +173

Для этого характеристическое уравнение нормируется:

p3 + 75.55× p2 +1991.6× p + 24027.8 = 0

В первом приближении

p* = - D0 = - 24027.8 = -12.06 1 D1 1991.6

Уточняем корень делением уравнения на выражение (p-p1*). p3 + 75,55 p2 + 1991,6 p + 24027,8 p + 12,06

63,49 p2 + 1991,6 p

63,49 p2 + 765,8 p

1225,8 p + 24027,8

1225,8 p + 14783,1

9244,7 (остаток)

Во втором приближении

p1** = - DD0* = - 240271225.8.8 = -19.6

1

Уточняем корень делением уравнения на выражение (p-p1**). p3 + 75,55 p2 + 1991,6 p + 24027,8 p + 19,6

895 p + 24027,8

895 p + 17542

6485,8 (остаток)