Исходные данные для расчета точки минимума общих затрат (начальная стоимость автомобиля – 40000 у. Е.)

Год	Пробег, нарастающим итогом, км	Годовые затраты на ремонт, у. е.	Рыночная стоимость машины к концу периода, у. е
1	2	3	4
1	20000	300	34000
2	40000	800	29600
3	60000	1900	25900
4	80000	3000	22800
5	100000	4300	20500
6	120000	5900	18400

Количество выполненной работы будем измерять пробегом автомобиля. Расчет точки замены рекомендуется выполнить по форме, представленной в табл. 2.

Дляопределения f1(x) необходимо:

1. Определить затраты на ремонт нарастающим итогом к концу каждого года эксплуатации. По результатам расчетов заполнить гр. 4 табл. 2.

2. Определить затраты на ремонт в расчете на 1 км пробега автомобиля. Для этого затраты на ремонт к концу n-го периода, исчисленные нарастающим итогом (т. е. данные гр. 4 табл. 2), необходимо разделить на суммарный пробег автомобиля к концу этого же периода. Полученные результаты заносятся в гр.5, данные которой в совокупности образуют табличную запись функции f1(x).

Для определения f2(x) необходимо:

1. Определить величину потребленного капитала к концу каждого периода эксплуатации. Эта величина рассчитывается как разница между первоначальной стоимостью автомобиля (40 000) и его стоимостью на рынке транспортных средств, бывших в употреблении, к концу соответствующего периода эксплуатации (данные гр. 6). Найденные значения потребленного капитала вносятся в гр. 7 итоговой таблицы.

2. Определить величину потребленного капитала в расчете на 1 км пробега автомобиля. С этой целью значения гр. 7 необходимо разделить на соответствующие величины пробега (данные гр.2). Результаты образуют множество значений функции f2(x), заносятся в графу 8

Для определения F(x) необходимо определить общие затраты в расчете на 1 км пробега автомобиля. Для этого следует построчно сложить данные гр. 5 и 8, а результаты вписать в соответствующие строки гр. 9.

Минимальное значение F(x) указывает на точку замены автомобиля.

После определения функций f1(x), f2(x), F(x) в табличной форме определить перечисленные зависимости в графической форме.

В завершение данной темы можно рассчитывать потери, связанные с заменой транспортного средства в отличающийся от оптимального срок.

Для применения этого метода на предприятии служба логистики должна обеспечить точный учет расходов на ремонт каждой единицы, используемой в логистических процессах техники в привязке к количеству работы, выполненной данной единицей. В нашем примере количество работы измерялось пробегом транспортного средства. Для погрузочно-разгрузочной техники, обеспечивающей выполнение большинства логистических операций, объём произведенной работы измеряют количеством отработанного времени, для чего на современных погрузчиках, штабелерах и т.п. устанавливают часовые механизмы, фиксирующие отработанное время.

Для определения зависимости f2(x) необходимо проводить маркетинговые исследования, включающие анализ состояния и прогноз развития рынка подержанной техники.

Оптимальная политика замены оборудования

Известно, что оборудова­ние со временем изнашивается, стареет физически и морально. В процес­се эксплуатации, как правило, падает его производительность и растут эксплуатационные расходы на текущий ремонт. Со временем возникает необходимость замены оборудования, так как его дальнейшая эксплуата­ция обходится дороже, чем ремонт. Отсюда задача о замене может быть сформулирована так.В процессе работы оборудование дает ежегодно прибыль, требует эксплуатационных затрат и имеет остаточную стои­мость. Эти характеристики зависят от возраста оборудования. В любом году оборудование можно сохранить, продать по остаточной цене и при­обрести новое. В случае сохранения оборудования возрастают эксплуата­ционные расходы и снижается производительность. При замене нужны значительные дополнительные капитальные вложения. Задача состоит в определении оптимальной стратегии замен в плановом периоде, с тем чтобы суммарная прибыль за этот период была максимальной.

Для количественной формулировки задачи введем следующие обо­значения: r(t) — стоимость продукции, производимой за год на единице оборудования возраста t лет; u(t) — расходы, связанные с эксплуатацией этого оборудования; s(t) — остаточная стоимость оборудования возраста t лет; р — покупная цена оборудования; Т — продолжительность плано­вого периода; t = 0,1, 2,... , Т — номер текущего года.

Решение.Чтобы решить задачу, применим принцип оптимально­сти Р. Беллмана. Рассмотрим интервалы (годы) планового периода в по­следовательности от конца к началу. Введем функцию условно-опти­мальных значений функции цели Fk(t). Эта функция показывает мак­симальную прибыль, получаемую от оборудования возраста t лет за по­следние к лет планового периода. Здесь возраст оборудования рассмат­ривается в направлении естественного хода времени. Например, t = 0 соответствует использованию совершенно нового оборудования. Временные же шаги процесса нумеруются в обратном порядке. Напри­мер, при к = 1 рассматривается последний год планового периода, при к = 2 — последние два года и т. д., при к = Т — последние Т лет, т. е. весь плановый период. Направления изменения t и к показаны на рисунке.

В этой задаче систему составляет оборудование. Ее состояние ха­рактеризуется возрастом. Вектор управления - это решение в момент t = = 0,1, 2,... , Т о сохранении или замене оборудования. Для нахождения оптимальной политики замен следует проанализировать, согласно прин­ципу оптимальности, процесс от конца к началу. Для этого сделаем пред­положение о состоянии оборудования на начало последнего года (k= 1). Пусть оборудование имеет возраст t лет. В начале Т-го года имеются две возможности: 1) сохранить оборудование на Т-й год, тогда прибыль за последний год составит r(t) — u(t); 2) продать оборудование по остаточ­ной стоимости и купить новое, тогда прибыль за последний год будет равна s(t) — р + г(0) —u(0), где г(0) — стоимость продукции, выпущенной на новом оборудовании за первый год его ввода;u(0) — эксплуатацион­ные расходы в этом году. Здесь целесообразно разворачивать процесс от конца к началу. Для последнего года (к = 1) оптималь­ной политикой с точки зрения всего процесса будет политика, обеспе­чивающая максимальную прибыль только за последний год. Учитывая значение прибыли при различном образе действия (замена — сохране­ние), приходим к выводу, что решение о замене оборудования возраста t лет следует принять в случае, когда прибыль от нового оборудования на последнем периоде больше, чем от старого, т.е. при условии

то старое оборудование целесообразно сохранить.

Итак, для последнего, года оптимальная политика и максимальная прибыль F₁{t) находятся из условия

Пусть к = 2, т. е. рассмотрим прибыль за два последних года. Де­лаем предположение о возможном состоянии t оборудования на начало предпоследнего года. Если в начале этого года принять решение о сохранении оборудования, то к концу года будет получена прибыль r(t) - u(t). На начало последнего года оборудование перейдет в состояние t + 1, и при оптимальной политике в последнем году оно принесет прибыль, равную F₁(t + 1). Таким образом, общая прибыль за два года составит r(t) - u(t) + F₁(t + 1). Если же в начале предпоследнего года будет при­нято решение о замене оборудования, то прибыль за предпоследний год составит s(t)-p+r(0)-u(0). Поскольку приобретено новое оборудование, на начало последнего года оно будет в состоянииt= 1. Следовательно, общая прибыль за последние два года при оптимальной политике в по­следнем году составит

Условно-оптимальной в последние два года будет политика, достав­ляющая максимальную прибыль:

Аналогично находим выражения для условно-оптимальной прибыли за три последних года, четыре и т. д. Общее функциональное уравнение примет вид

Таким образом, разворачивая весь процесс от конца к началу, получаем, что максимальная прибыль за плановый период Т составит F_T(t₀). Так как начальное состояние to известно, из выражения дляF_T(t₀) находим оптимальное решение в начале первого года, потом вытекающее оптимальное решение для второго года и т.д. Обратимся к чи­словому примеру.

Разработать оптимальную политику замены оборудования при усло­виях:

1) стоимость r(t) продукции, производимой с использованием обо­рудования за год, и расходы u(t), связанные с эксплуатацией оборудова­ния, заданы таблицей;

2) ликвидационная стоимость машины не зависит от ее возраста и равна 2;

3) цена нового оборудования со временем не меняется и равна 15;

4) продолжительность планового периода 12 лет.

Итак, s(t) = 2, р = 15, Т = 12.

Запишем функциональные уравнения для F₁(t) и F_к(t) при числовых значениях нашего примера:

Пользуясь выражениями (8.9), (8.10), будем последовательно вычис­лять значения максимальной прибыли F_к(t) и записывать их в специаль­ную таблицу (табл. 8.4). Первую строку получим, придавая параметру t в равенстве (8.9) значения 0,1,... ,12 и используя исходные данные табл. 8.3. Например, при t = 0

Заметим, что если прибыль от нового оборудования равна прибыли от старого, то старое лучше сохранить еще на год:

Из табл. 8.3 видно, что r(t) – u(t) с ростом t убывает. Поэтому при t > 9 оптимальной будет политика замены оборудования. Чтобы раз­личать, в результате какой политики получается условно-оптимальное значение прибыли, будем эти значения (до t = 9 включительно опти­мальной является политика сохранения) разграничивать жирной лини­ей. Для заполнения второй строки табл. 8.4 используем формулу (8.10). Для к = 2 получаем

Придадим параметру t значения 0,1,2,... ,12, значения r(t) и u(t) возьмем из табл. 8.3, а значения F₁(t + 1) — из первой строки табл. 8.4. Для третьей строки расчетную формулу получим из равенства (8.10) при к = 3:

и т. д. Заполнив табл. 8.4, данные ее используем для решения постав­ленной задачи. Эта таблица содержит много ценной информации и позволяет решать все семейство задач, в которое мы погружали исходную задачу.

Пусть, например, в начале планового периода имеем оборудование возраста 6 лет. Разработаем "политику замен" на двенадцатилетний пе­риод, доставляющую максимальную прибыль. Информация для этого имеется в табл. 8.4. Максимальная прибыль, которую можно получить за 12 лет при условии, что вначале имелось оборудование возраста 6 лет, находится в табл. 8.4 на пересечении столбца t= 6 и строки F12(t); она составляет 180 единиц.

Значение максимальной прибыли F12(6) = 180 записано справа от ломаной линии, т.е. в области "политики замены". Это значит, что для достижения в течение 12 лет максимальной прибыли в начале первого года оборудование надо заменить. В течение первого года новое обору­дование постареет на год, т.е., заменив оборудование и проработав на нем 1 год, мы за 11 лет до конца планового периода будем иметь обо­рудование возраста 1 год. Из табл. 8.4 берем F11(l) = 173. Это значе­ние располагается в области "политики сохранения", т. е. во втором году планового периода надо сохранить оборудование возраста 1 год, и, про­работав на нем год, за 10 лет до конца планового периода будем иметь оборудование возраста 2 года.

Выясняем, что значение F10(2) = 153 помещено в области сохра­нения. Работаем на оборудовании еще год. Теперь до конца планового периода осталось 9 лет, а возраст оборудования составляет 3 года. Нахо­дим F9(3) = 136. Это область сохранения. Работаем на оборудовании еще год. Его возраст становится равным 4 годам. До конца планового перио­да остается 8 лет. Определяем F8(4) = 120. Это область замен. Заменяем оборудование на новое. Проработаем на нем в течение четвертого года. Оно постареет на год. До конца планового периода останется 7 лет. На­ходимF7(l) = 113. Это область сохранения. Продолжив подобные рассу­ждения, установим, чтоF6(2) = 93, F5(3) = 76 расположены в области сохранения, F4(4)=60 — в области замен,F3(l) = 53,F2(2) = 33, F1(3) = 16 — в области сохранения. Разработанную политику изобразим следующей цепочкой:

Таким образом, вместо поиска оптимальной "политики замен" на плановый период в 12 лет мы погрузили исходную задачу в семейство подобных, когда период меняется от 1 до 12. Решение ведется по прин­ципу оптимальности для любого состояния системы, независимо от ее предыстории. Оптимальная "политика замен" является оптимальной на оставшееся число лет. Табл. 8.4 содержит информацию для решения и других задач. Из нее можно найти оптимальную стратегию замены оборудования с лю­бым начальным состоянием от 0 до 12 лет и на любой плановый период, не превосходящий 12 лет. Например, найдем "политику замен" на пла­новый период в 10 лет, если вначале имелось оборудование пятилетнего возраста:

Задачу о замене оборудования мы упростили. На практике же дета­лями не пренебрегают. Легко учесть, например, случай, когда остаточная стоимость оборудования s(t) зависит от времени. Может быть принято решение о замене оборудования не новым, а уже проработавшим некото­рое время. Не составляет также труда учесть возможность капитального ремонта старого оборудования. При этом в понятие "состояние" системы необходимо включить время последнего ремонта оборудования. Функция Fk(ti,t2) выражает прибыль за последние к лет планового периода при условии, что вначале имелось оборудование возраста t1, прошедшее ка­питальный ремонт после t2 лет службы. Характеристики г, s и и также будут функциями двух переменных t1 и t2.

Задача оптимального распределения ресурсов и перспективного планирования

Задачи на оптимальное распределение ресурсов по различным категориям мероприятий возникают в производственной практике особенно часто. Это могут быть задачи о распределении средств на приобретение оборудования, закупку сырья и найм рабочей силы; задачи о распределении товаров по торговым и складским помещениям; задачи о распределении средств между различными отраслями промышленности и т. п.

Рассмотрим пример широко распространенной задачи, в которой решается вопрос о том, как спланировать работу группы предприятий, чтобы экономический эффект от выделенных этим предприятиям дополнительных финансовых или материальных ресурсов был максимальным.

Пример: Производственное объединение выделяет четырем входящим в него предприятиям кредит в сумме 100 млн ден. ед. для расширения производства и увеличения выпуска продукции. По каждому предприятию известен возможный прирост выпуска продукции (в денежном выражении) в зависимости от выделенной ему суммы . Для упрощения вычислений выделяемые суммы кратны 20 млн ден. ед. (табл. 1). При этом предполагаем, что прирост выпуска продукции на i-м предприятии не зависит от суммы средств, вложенных в другие предприятия, а общий прирост выпуска в производственном объединении равен сумме приростов, полученных на каждом предприятии объединения.

Таблица 1

Выделяемые средства , млн. ден. ед.	Предприятие
	№ 1	№ 2	№ 3	№ 4
	Прирост выпуска продукции на предприятиях ,млн. ден. ед.
20	10	12	11	16
40	31	26	36	37
60	42	36	45	46
80	62	54	60	63
100	76	78	77	80

Требуется так распределить кредит между предприятиями, чтобы общий прирост выпуска продукции на производственном объединении был максимальным.

Решение. В рассматриваемой задаче физической системой S является производственное объединение, а в качестве шага процесса принятия решения следует понимать назначение той или иной суммы средств конкретному предприятию: на первом шаге — первому предприятию, на втором — второму и т. д. В данном случае процесс разбивается на четыре шага.

Состояние производственного объединения (состояние системы S) будет характеризоваться в каждый данный момент конкретным вариантом распределения кредита между предприятиями. Состояние производственного объединения (состояние системы S) перед выбором размера суммы, ассигнуемой i-му предприятию (перед i-м шагом), определяется величиной остатка кредита после выделения средств другим i-1 предприятиям (на предшествующих i-1 шагах). Поскольку возможны различные варианты распределения средств (от 0 до 100 млн. ден. ед.), то и состояния производственного объединения перед i-м шагом могут быть различными, и каждое из них будет характеризоваться соответствующим значением оставшейся суммы. Совокупность этих значений и составит множество . Этим же символом обозначим и множество состояний системы передi-м шагом.

Принятое на i-м шаге решение (управление) о сумме средств, выделяемых i-му предприятию, будет зависеть от величины остатка кредита к моменту выделения средств i-му предприятию (к началу i-ro шага), а потому может принимать различные значения, совокупность которых и составляет множество . Этим же символом будем обозначать и множество управлений на i-м шаге. В соответствии с условием задачи элементами множества будут числа 0, 20, 40, 60, 80 и 100.

Состояние производственного объединения после выделения средств i-му предприятию (состояние системы S в конце i-ro шага) определяется величиной нераспределенной суммы средств, которая может быть различной в зависимости от выделенной i-му предприятию суммы (от выбранного управления из множества ), а потому и состояние объединения (состояние системы S) будет характеризоваться одним из элементов множества состояний в конце i-го шага, т. е. множества . В условиях данной задачи элементами множества x_i будут числа 0, 20, 40, 60, 80, 100.

Целевая функция означает прирост выпуска продукции на i-м предприятии при условии, что величина остатка кредита перед выделением ему выбранной из множества (, где с – имеющаяся сумма на данный момент) суммы определялась элементом множества . Выражение означает максимальный суммарный прирост, полученный на всех предприятиях, начиная с i-го, при условии, что перед выделением этому предприятию некоторой допустимой суммы, равной элементу множества , остаток кредита характеризовался некоторым элементом множества .

Процедуру условной оптимизации начинаем с первого предприятия: пусть все средства выделяются первому предприятию. Тогда прирост составит:

В результате получаем следующую таблицу:

Таблица 2

x1=с	f1(c)
20	10
40	31
60	42
80	62
100	76

Предположим теперь, что средства вкладываются в два предприятия. Тогда

)

Вычисления занесем в таблицу:

Таблица 3

с х	0	20	40	60	80	100	х2	f2(c)
20	0+10	12+0	-	-	-	-	20	12
40	0+31	12+10	26+0	-	-	-	0	31
60	0+42	12+31	26+10	36+0	-	-	20	43
80	0+62	12+42	26+31	36+10	54+0	-	0	62
100	0+76	12+62	26+42	36+31	54+10	78+0	100	78

Предположим, что средства вкладываются в три предприятия. Тогда

)

Вычисления занесем в таблицу:

Таблица 4

с х	0	20	40	60	80	100	х3	f3(c)
20	0+12	11+0	-	-	-	-	0	12
40	0+31	11+12	36+0	-	-	-	40	36
60	0+43	11+31	36+12	45+0	-	-	40	48
80	0+62	11+43	36+31	45+12	60+0	-	40	67
100	0+78	11+62	36+43	45+31	60+12	77+0	40	79

Наконец, предположим, что средства вкладываются в четыре предприятия. Тогда

Вычисления занесем в таблицу:

Таблица 5

с х	0	20	40	60	80	100	х4	f4(c)
20	0+12	16+0	-	-	-	-	20	16
40	0+36	16+12	37+0	-	-	-	40	37
60	0+48	16+36	37+12	46+0	-	-	20	52
80	0+67	16+48	37+36	46+12	63+0	-	40	73
100	0+79	16+67	37+48	46+36	63+12	80+0	40	85

Все вычисления занесем в сводную таблицу:

Таблица 6

с	x1	f1(c)	х2	f2(c)	х3	f3(c)	х4	f4(c)
0	0	0	0	0	0	0	0	0
20	20	10	20	12	0	12	20	16
40	40	31	0	31	4	36	40	37
60	60	42	20	43	40	48	20	52
80	80	62	0	62	40	67	40	73
100	100	76	100	78	40	79	40	85

Из таблицы 6 видно, что при кредите в 100 млн. ден. ед. максимальный прирост выпуска продукции на всех четырех предприятиях составляет 85 млн ден. ед., если четвертому предприятию будет выделено 40 млн. ден. ед., остаток кредита составит при этом 100-40=60 млн. ден. ед.

Если в наличии имеется 60 млн. ден. ед., то максимальный прирост продукции будет, если 40 млн. ден. ед. вложить в третье предприятие, остается 60-40=20 млн. ден. ед.

Найденное оптимальное распределение кредита можно записать в виде вектора (0; 20; 40; 40). Именно такое распределение обеспечивает производственному объединению максимальный прирост выпуска продукции в 85 млн ден. ед.

Заметим в заключение, что, решив поставленную задачу о нахождении оптимального распределения 100 млн ден. ед. между четырьмя предприятиями, мы попутно получили возможность найти оптимальные распределения кредита в 20, 40, 60 и 80 млн ден. ед. между теми же предприятиями.

1Волков И.К., Загоруйко Е.А. Исследование операций: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им Н.Э. Баумана, 2000. -436 с.