- •Матрицы
- •Размер матрицы
- •Пример. Выпишите все элементы матрицы.
- •Запись матрицы в общем виде
- •Прямоугольная матрица
- •Квадратная матрица
- •Матрица-строка
- •Матрица-столбец
- •Единичная матрица
- •Нулевая матрица
- •Равенство матриц
- •Действия над матрицами
- •Транспонирование
- •Сложение матриц
- •Пример. Найти сумму матриц.
- •Пример. Найти сумму матриц.
- •Умножение матрицы на число
- •Свойства
- •Умножение матриц
- •Свойства
- •Определители
- •Определители матриц первого и второго порядка
- •Пример. Вычислить определитель
- •Определитель матрицы третьего порядка
- •Пример. Найти определитель
- •Минор элемента аij определителя
- •Алгебраическое дополнение элемента аij определителя
- •Определитель произвольного порядка
- •Пример. Найти определитель
- •Пример. Вычислить определитель
- •Свойства определителей
- •Свойства определителей
- •Замечание:
- •Пример
- •Свойства определителей
- •Пример
- •Свойства определителей
- •Пример
- •Свойства определителей
- •Пример
- •Свойства определителей
- •Пример
- •Свойства определителей
- •Пример
- •Свойства определителей
- •Пример
- •Обратная матрица
- •Обратная матрица
- •Элементарные преобразования матрицы
- •Эквивалентные матрицы
- •Ранг матрицы
- •Минор k-го порядка
- •Пример. В данной матрице выписать миноры всех возможных порядков
- •Пример. Определить ранг матрицы
- •Свойства ранга матрицы
- •Пример. Определить ранг матрицы
- •Примеры ступенчатых матриц
- •Пример. Определить ранг матрицы
- •Замечания:
- •Линейная зависимость и независимость
- •Линейная комбинация векторов
- •Основная теорема о ранге матрицы
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •Матричная запись систем линейных алгебраических уравнений
- •Эквивалентность системы уравнений матричному уравнению
- •Пример. Записать с помощью матричного равенства систему уравнений
- •Пример. Решить систему уравнений:
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы
- •Расширенная матрица
- •Однородные системы ЛАУ
Пример. Определить ранг матрицы |
|
1 |
0 |
3 |
7 |
|
|
1 |
0 |
2 |
7 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
0 |
5 |
|
|
|
|
21 |
Решение
1 |
0 |
3 |
= 0 |
1 |
0 |
7 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
7 |
|
|
|
0 |
3 |
7 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1 |
0 |
2 |
1 |
0 |
7 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
7 |
|
= 0 |
|
0 |
2 |
7 |
|
= 0 |
||||||
3 |
0 |
5 |
|
3 |
0 |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
21 |
|
|
|
0 |
5 |
21 |
|
|
||
|
1 |
3 |
|
= 2 −3 = −1 |
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
−базисный минор |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
7 |
|
= 7 −базисный минор |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
r = 2 |
|
|
|
|
2 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
7 |
|
|
|
= 0 −не является базисным минором |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства ранга матрицы
•При транспонировании матрицы ее ранг не меняется
•Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится
•Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы
Пример. Определить ранг матрицы
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
||||
|
1 |
2 |
0 |
−1 |
0 |
3 |
|
|
|
|
||
|
0 |
0 |
0 |
0 0 |
0 |
|
1 2 |
|||||
|
|
|||||||||||
rang |
3 |
6 |
0 |
2 |
0 |
1 |
|
|
3 |
6 |
||
= rang |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 10 |
||
|
5 |
10 |
0 |
−1 0 5 |
||||||||
|
||||||||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
0 |
−1 3 |
|
|
|
1 −1 3 |
|||||
|
3 |
0 |
2 |
1 |
|
|
|
|
3 2 |
1 |
|
|
rang |
|
= rang |
|
|||||||||
|
5 |
0 −1 5 |
|
|
|
|
5 −1 5 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
0 |
−1 |
0 |
3 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
||||||
|
3 |
6 |
0 |
2 |
0 |
1 |
|
|
|
10 |
0 |
−1 |
0 |
|
|
5 |
5 |
||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
−1 3
2 1 = −1 5
|
1 |
−1 |
3 |
|
=1 |
|
2 1 |
|
−(−1) |
|
3 |
1 |
|
+3 |
|
3 |
2 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
5 |
−1 |
5 |
|
|
|
−1 5 |
|
|
|
5 |
5 |
|
|
|
5 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11+10 −39 = −18
rang =3
Матрица называется ступенчатой при условии, что для всех ее строк верно, что если в i-ой строке первый отличный от нуля элемент стоит на k-ом месте, то во всех последующих строках матрицы все элементы на первых k местах равны нулю.
В начале i-й строки любой ступенчатой матрицы обязательно больше нулей, чем в ее предыдущей (i-1) строке.