Средние величины.
Средние величины характеризуют значение признака, вокруг которого концентрируются результаты наблюдений или, как говорят, центральную тенденцию распределения. В математической статистике используются аналитические средние, к которым относятся:взвешенная арифметическая средняя, простая арифметическая средняя, степенная средняя, гармоническая средняя, геометрическая средняя, а также структурные или порядковые средние: медиана и мода.Выбор вида среднего для характеристики признака зависит от особенностей явления, которое изучается, и от целей, для которой изучают среднюю. При выборе средней часто используютпринцип определяющего свойства, которое ввел в 1929 году А.Я. Боярский. Средняя может быть выбрана в роли обобщающей характеристики только в случае, когда она описывает однородные совокупности.
Пусть распределение признака
задано
с помощью дискретного вариационного
ряд вида
-
X
...
m
...
Определение. Средней арифметической взвешенной вариационного ряда называется сумма произведений всех возможных вариантов признака на их частоты, деленная на сумму всех частот
(1.1)
Если варианты признака появляются в совокупности только один раз, то получаем простую арифметическую среднюю.
Определение.Частное от деления суммы всех возможных вариантов признака на объем статистической совокупности называется простой арифметической средней и определяется по формуле
.
Определение. Степенными среднимипризнака называются величины, которые определяются по формуле:
.
Все аналитические средние можно
получить из степенной средней при
различных значениях параметра
.
При
,
получаем среднюю арифметическую
взвешенную
.
При
получаем среднюю квадратичную
При
получаем среднюю гармоническую
.
При
получаем среднюю геометрическую
Структурные или порядковые средние не зависят от вариантов признака, а зависят от их частот, т.е. от структуры распределения.
Определение. Медианой
вариационного ряда называют варианту,
которая делит вариационный ряд на две
равные части по количеству вариант.
Для дискретного вариационного ряда с
нечетным числом вариантов
медиана равна срединному варианту
,
а для ряда с четным числом вариантов
медиана равна полусумме двух срединных
вариантов
.
Для интервального вариационного ряда медиана определяется по формуле
,
где
- начало медианного интервала, т.е.
интервала в который входит медиана, и
который определяется условиями:
,
- длина интервала, или шаг;
-
объем ряда;
-
сумма частот интервалов, предшествующих
медианному;
-
частота медианного интервала.
Свойство медианы состоит в том, что сумма абсолютных величин отклонений вариантов дискретного вариационного ряда от медианы меньше, чем от любой другой величины (в том числе и от средней арифметической):
Медиана является мерой центральной тенденции и на нее не влияет изменение крайних членов вариационного ряда, у которого крайние члены резко отличаются (очень большие, или очень малые от средних членов)
Определение. Модой
вариационного ряда называют вариант,
которому соответствует наибольшая
частота появления.
Для дискретного вариационного ряда мода определяется непосредственно как значение признака с наибольшей частотой.
Для интервального вариационного ряда, с равными интервалами значений признака мода определяется по формуле:
,(1.5)
где
- нижняя граница модального интервала;
- длина, или шаг, частичного интервала;
-
частота модального интервала;
- частота домодального интервала;
- частота послемодального интервала;
Для интервальных вариационных рядов с равными интервалами значений модальный интервал определяется по наибольшей частоте, а с неравными по наибольшей плотности.
Для практических целей моду можно приближенно вычислить как среднюю арифметическую взвешенную нижней и верхней границ модального интервала:
Особенность моды, как меры центральной тенденции, заключается в том, что она не изменяется в зависимости от изменения крайних членов, т.е. является более стойкой к вариации признака.