1.2. Интервальные вариационные ряды и их графическое изображение.

Значительно сложнее (однако чаще встречающейся на практике) является задача исследования непрерывных признаков, значения которых заполняют некоторый промежуток, причем, строго говоря, каждое значение этого признака встречается один раз.

Примерами непрерывных признаков являются длина детали, расстояние от центра мишени до места попадания, урожайность какой-либо зерновой культуры, величина удоя коров на молочной ферме за некоторый промежуток времени и т.п.

Для того чтобы изучить закон распределения непрерывного признака составляют группирированный статистический ряд и соответствующую ему гистограмму.

Определение. Группировкой вариационного ряда называется разбивка вариант признака на отдельные интервалы.

Для построения группирированного статистического ряда весь интервал наблюдаемых значений разбивается начастичных интервалов.Число интервалов следует брать не очень большим, чтобы после группировки ряд не был громоздким, и не очень малым, чтобы не потерять особенности распределения признака. Рекомендуемое число интерва­лов определяется по формуле Стерджеса

1 + 3,322.

Величина интервала (интервальная раз­ность, ширина интервала) равна отношению размаха вариации к рекомендуемому числу интерва­лов

.

Числа, показывающие, сколько раз встречаются варианты из данного интервала, называются частотами соответствующих вариантов,(обозначаются ), а отношение их к общему числу наблюдений — частостями или относительными частотами, т.е. .

Интервальный вариационный ряд можно задать с помощью таблиц 4 и 5.

Таблица 4.

			...
			...

Таблица 5.

			...
			...

Разности называютсяинтервальными вариационными разностями.

Интервальный вариационный ряд является наиболее простым, если интервальные разности равны между собой. Однако довольно часто встречаются случаи, когда на тех участках оси абсцисс, где наблюденные значе­ния признакарасполагаются гуще, удобнее брать разряды более мелкими, а там, где реже, — более крупными (или объединять два или более равных по длине разрядов в один).

Определение. Частное , называетсяэмпирической плотно-стью распределения на интервале .

Интервальные вариационные ряды графически обычно изображают с помощью гистограмм.

Для построения гистограммы интервального вариационного ряда в прямоугольной системе координат на оси абсцисс откладывают интервалы значений признака и на каждом из них, как на осно­вании, строят прямоугольник с высотой , равной эмпирической плотности распределения признака на этом интервале.

Определение. Гистограмма – это построенная в прямоугольной системе координат ступенчатая фигура, составленная из прямоугольников, основаниями которых являются отрезки , а высотами – соответствующие эмпирические плотности распределения на рассматриваемом интервале.

Гистограмму можно рассматривать как график эмпирической (выборочной) плотности распределения .

Замечание 1. Группировка вариационного ряда может применяться как в случае непрерывного, так и в случае дискретного признака.

Замечание 2. При построении гистограмм в реальных исследованиях сле­дует понимать, что формула Стерджеса для числа интервалов раз­биения дает лишь рекомендацию, а не строгое правило. Пробле­ма выбора этого числа заключается в следующем. При слишком малых гистограмма получается слишком грубой, «смазанной» плохо отражающей свойства распределения. При слишком боль­ших гистограмма становится «колючей» и, в конце концов, рас­падается на отдельные «иглы» (узкие столбцы) вперемешку с пустыми интервалами. Оптимальное значение в общем случае неизвестно - оно зависит как от типа распределения, так и от конкретной выборки.

В настоящее время гистограммы обычно строят не вручную, а на компьютере. Исследователь легко может варьировать пара­метры гистограммы (нижнюю и верхнюю границы интервала, число частичных) и, в конечном счете, выбрать тот вариант, при котором, по его мнению, график выглядит лучше всего.

Для геометрического изображения интервальных вариационных рядов применяют также кумулятивную линию (кумуляту) и огиву.

Накопленная частота (относительная частота) для каждого интервала находится последовательным суммированием частот (частостей) всех предшествующих интервалов, включая данный интервал.

Для интервального ряда кумулята начинается с точки , абсцисса которой равна началу первого интервала, а ордината равна нулю. Другие точки кумулятивной ломанной линииимеют абсциссы, равные концам интервалов, а ординаты, равные накопленным частотам (частостям).

Кумуляту иногда называют полигоном накопленных частот или частостей.