Тема 1. Распределения статистических совокупностей.

План темы

1. Вариационные ряды и их графическое изображение.

1.1. Дискретные вариационные ряды и их графическое изображение.

1.2. Интервальные вариационные ряды и их графическое изображение.

1. Вариационные ряды и их графическое изображение.

Рассмотрим решение задачи 1, состоящее в описании статистической совокупности. Пусть изучается некоторая статистическая совокупность элементов объединенных определенным признаком.

Например, множество токарных станков на данном предприятии при изучении какого-либо технического показателя этих станков образует статистическую совокупность; множество рабочих данного цеха при изучении производительности труда этих рабочих будет статистической совокупностью; численность населения данного государства при изучении его возрастного состава или какого-либо другого признака также является ста­тистической совокупностью. В первом примере признаком служит некоторый технический показатель, присущий каждому станку данного множества станков; во втором примере — количество выпускаемой продукции; в третьем — возраст людей.

Признаки бывают качественнымииколичественными.

Определение. Признак называется качественным, если он приобретает два альтернативных значения.

Например, стандартная или нестандартная деталь; положительная или неудовлетворительная оценка на экзамене.

Определение. Признак называется количественным, если он приобретает произвольные числовые значения.

Количественные признаки обозначают прописными буквами , а их наблюдаемые числовые значения называютвариантами признакаи обозначают соответствующими малыми буквами с индексами,,.

Если количественный признак изменяется дискретно, то его статистическое распределение задается дискретным вариационным рядом.

Если количественный признак изменяется непрерывно, то его статистическое распределение задается интервальным вариационным рядом.

Для наглядного представления статистического распределения пользуются графическим изображением вариационного ряда. Наиболее часто используемыми графическими представлениями вариационных рядов являются полигон, гистограмма, кумулята, огива.

1.1. Дискретные вариационные ряды и их графическое изображение.

Предположим, что для изучения некоторого признака статистической совокупности производится взаимно независимых наблюдений (испытаний) при одинаковых условиях. В результате получено множество числовых значений. Это множество значений интересующего нас признака называетсяпервичной статистической совокупностью. Т.к. результаты наблюдений обычно представлены множеством чисел, расположенных в беспорядке, то по ним тяжело установитьхарактер распределения признака (особенно при большом числе наблюдений ). Для того чтобы выявить закономерности рассматриваемой статистической совокупности прежде всего производят ее ранжирование.

Определение. Ранжированием статистической совокупностиназывается расположение вариант признака в порядке возрастания или убывания.

Выполним ранжирование первичной статистической совокупности, расположив значения вариант признака в неубывающем порядке, получим

,, ...,(...)

Если некоторые варианты вариационного ряда встречаются несколько раз, то в этом случае значение варианты записывается один раз с указанием числа, показывающим, сколько раз эта варианта появилась.

Пусть в некоторой статистической совокупности признак приобретает различные

значения: ,,...,, которые ранжированы в порядке возрастания, и при этом значе-

ние встречаетсяраз, значениераз и т. д; значение раз.

Определение.Число, показывающее, сколько раз встречается варианта , называется

частотой (обозначается ), а отношение частоты к общему числу наблюдений называется частостью или относительной частотой, (обозначается ). Частоты и частости называются весами.

Определение. Ранжированный перечень всех возможных вариантов признака и соответствующих им частот, или относительных частот, называетсядискретным вариационным рядом или дискретным статистическим распределением (ДСР).

ДСР можно задать таблицами 1 и 2

Таблица 1.

			...
			...

Таблица 2.

			...
			...

Крайними членами вариационного ряда называют наименьшее и наибольшее значения,их соответственно обозначаюти.

Разность между наибольшим и наименьшим значениями признака называется размахом вариации

.

Для наглядного представления дискретного вариационного ряда строят полигон распределения частот или относительных частот. Для этого в прямоугольной системе координат строят точкиили . Полученные точки последовательно соединяют отрезками прямых, в результате образуется ломанная линия.

Определение. Полигоном распределения частот (относительных частот) называется

ломанная линия, соединяющая последовательно точки .

Отметим, что единицы масштаба на осях координат обычно берутся различными.

Замечание. Нетрудно заметить, что дискретный статистический ряд полностью аналогичен ряду распределения дискретной случайной величины, если относительные частотызаменить вероятностями.

Для геометрического изображения дискретных вариационных рядов применяют также кумулятивную линию (кумуляту) и огиву, которые стороятся по накопленным частота (относительным частотам).

Накопленная частота (обозначается ) показывает, сколько наблюдалосьвариантов со значением признака, меньшим значения .

Отношение на­копленной частоты к общему числу наблюдений называется накопленной относительной частотой или частостью (обозначается).

Накопленные частоты (частости) для каждого значения вариантов дискретного ряда нахо­дятся последовательным суммированием частот (частостей) всех предшествующих значений включая данное значение.

Определение. Кумулятивная линия (кумулята) или линия накопленных частот, (накопленных относительных частот) - этоломаная, которая последовательно соединяет соседние точки ,отрезками прямых.

Определение. Огива – это ломанная линия, представляющая собой графическое изображение вариационного ряда, составленное по накопленным частотам (относительным частотам), при условии, что значения вариантов признака , откладываются на оси ординат, а накопленные частоты (относительные частоты) по оси абсцисс.

Пример.Распределение 50 рабочих механического цеха по тарифному разряду имеет вид.

Таблица 3.

Тарифный разряд	1	2	3	4	5	6
Количество рабочих	2	3	6	8	22	9	50

Для заданного вариационного ряда построить

а) полигон распределения частот и относительных частот;

б) кумуляту и огиву относительных частот.