3.2.2. Прогнозування на множинних моделях

Множинна лінійна регресія

містить оцінки коефіцієнтів регресії, які, як ми вже знаємо, є випадковими величинами, тому мають дисперсію і середньоквадратичні відхилення (помилки). Отже оцінка є також випадковою величиною з дисперсією. Тому і у випадках множинної регресії є потреба визначати точковий прогноз залежної змінної та інтервали довіри для нього, тобто інтервальний прогноз.

Точковий прогноз визначається залежно від прогнозних значень за економетричною моделлю.

Допустимо, що в нашому наскрізному прикладі ми маємо зробити прогноз рентабельності витрат, якщо відомі прогнози енергоозброєності праці (Е=7 кВт/чол.) й коефіцієнта постійності ПВП (К=65%). Тоді за моделлю (5.3) точковий прогноз рентабельності дорівнюватиме

Довірча границя для прогнозу у за рівнянням множинної регресії визначається за формулою (у матричному записі).

, (3.25)

де - оцінка дисперсії випадкової величини;- матриця-рядок прогнозних значень незалежних змінних []; - обернена матриця числових коефіцієнтів правої частини системи нормальних рівнянь;- матриця-стовпець прогнозних значень незалежних змінних

Розглянемо застосування формули (3.25) для визначення прогнозу рентабельності за моделлю (3.3). Нагадаємо, що =0,411,=7,=65, обернена матрицяза (3.7) така:

.

Отже за формулою (3.25) довірча границя прогнозу дорівнює

*.

Спочатку помножимо на, отримаємо

.

Подальші наші дії такі

Отже середньоквадратичне відхилення (помилка) прогнозу рентабельності складає

коп./грн.

Таким чином, ми визначили інтервальний прогноз рентабельності в межах

11,53-0,18 ≤Рп≤ 11,53+0,18 ,

або

11,35 ≤Рп≤ 11,71

Як бачимо, розрахунок інтервального прогнозу досить трудомістке завдання. У практичній роботі для таких розрахунків є немала низка ліцензованих комп‘ютерних програмних комплексів для економетричного моделювання, що включають використання матричної алгебри.

На практичних заняттях в лабораторіях інформаційних технологій є можливість опанувати ППП STATGRAPHICS, МЕЗОЗАВР, тощо.

3.3. Комплекс контрольних завдань

ЗА ЗМ – 3. ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ ЕКОНОМЕТРИЧНИХ МОДЕЛЕЙ

Навчальні елементи, що підлягають контролю і оцінюванню:

вимоги до оцінювання параметрів; основні припущення щодо застосування МНК; МНК: способи Гауса, детермінантів, оберненої матриці; оцінювання параметрів за β – коефіцієнтами; гетероскедистичність : ранговий тест Спірмана; автокореляція: тест Дарбіна _ Уотсона; узагальнений метод найменших квадратів (метод Ейткена); значущість і інтервали довіри для параметрів рівняння регресії; точкове і інтервальне прогнозування ендогенної змінної.

3.3.1. Тестові завдання

Т3.01 Параметри рівняння регресії є незміщеними , коли:

а); б) ; в) min;

Т3.02 Параметри рівняння регресії є обґрунтованими, коли:

а); б) ; в) min;

Т3.03 Параметри рівняння регресії є ефективними, коли:

а); б) ; в) min;

Т3.04Умовами застосування МНК для оцінювання a_i є наступні припущення:

а) можливість лінеаризації рівняння регресії;

б) гомоскедистичність дисперсії залишків e_j;

в) наявність автокореляції залишків e_j;

г) відсутність мультиколінеарності екзогенних змінних.

Т3.05. Умовами застосування МНК для оцінювання a_i є наступні припущення:

а); б)D_ε = const ; в) гетероскедастичність залишків e_j;

г) розподіл залишків e_j за нормальним законом.

Т3.06. Основним принципом МНК є:

а); б) min; в) min;

Т3.07. Розв’язок системи нормальних рівнянь за МНК для оцінювання α_i може бути виконаний:

а)способом послідовного вилучення невідомих (способом Гаусса);

б)способом детермінантів (визначників) за матрицею А;

в)за допомогою оберненої матриці А^-1.

Т3.08. Параметри a_i можуть бути оцінені за допомогою β - коефіцієнтів за формулою:

а); б); в);

Т3.09 Дисперсія фактичних значеньy розраховується за відхиленнями:

а); б) ; в) ;

Т3.10. Дисперсія оцінок розраховується за відхиленнями:

а); б) y - ; в) - ;

Т3.11. Дисперсія залишків e розраховується за відхиленнями:

а) ; б) y - ; в) - ;

Т3.12. Дисперсійний ANOVA – аналіз полягає у розкладанні:

а);

б) ;

в) .

Т3.13. Коефіцієнт множинної кореляції за ANOVA – аналізом може бути визначений за формулою:

а); б) ;

в) .г) .

Т3.14. Значущість (адекватність) рівняння регресії перевіряється за F- статистикою Фішера:

а)залежно від співвідношення ;

б)виходячи з;

в) за величиною помилок оцінок а_і.

Т3.15. Значущість (невипадковість) коефіцієнтів регресії а_і перевіряється за t- статистикою Ст´юдента:

а)за відношенням ;

б)за відношенням ;

в) виходячи із і елементів головної діагоналі оберненої матриці А^-1

Т3.16 Інтервали довіри для коефіцієнтів регресії а_і визначаються залежно від:

а) a_i; б) σ_ai; в) a_i та σ_ai.

Т3.17 Наявність або відсутність гетероскедастичністі залишків е_j перевіряється за допомогою:

а)графічного тесту;

б)тестування за ранговою кореляцією Спірмана за t- статистикою Ст´юдента;

в)теоретичного аналізу.

Т3.18 DW-статистика Дарбіна- Уотсона:

а)приймає значення від 0 до1;

б)приймає значення від 0 до4;

в)при середньому значенні DW означає повну відсутність автокореляції;

г)при DW→ min означає наявність додатної автокореляції, а при DW→ мах- від’ємної.

Т3.19. Прогноз залежної змінної за рівнянням регресії може бути:

а)точковим; б)точним; в)інтервальним.

Т3.20. У простій (парній) регресії помилка прогнозу залежної змінної:

а)мінімальна для =;

б)зменшується по мірі віддалення від ;

в) може встановлюватися заздалегідь для будь-яких значень .

Т3.21. У множинній регресії помилка прогнозу залежної змінної:

а)мінімальна для =;

б) збільшується по мірі віддалення від ; у будь - яку сторону;

в) може встановлюватися заздалегідь для будь – якої комбінації прогнозних значень екзогенних змінних; г) повинна визначатися в кожному окремому випадку прогнозування.

Т3.22. Наявність або відсутність автокореляції залишків перевіряється за допомогою:

а) графічного тесту;

б) теста Дарбіна – Уотсона за DW - статистикою;

в) теоретичного аналізу.