Управление качеством, стандартизация и сертификация

Методические указания

к выполнению контрольных работ

для студентов заочного отделения

Северодвинск

2014

ЗАДАЧА № 1. Вероятностно-статистическая оценка результатов измерения размеров

Вероятностно-статистический метод оценки точности. Этот ме­тод основан на изготовлении опытной партии заготовок с замерами интересующего размера измерительным инструментом (микро­метром или другим в зависимости от требуемой точности измере­ний). Результаты замеров математически обрабатывают, после чего строят кривую распределения исследуемого размера. Для этого в полученном ряде размеров выявляют предельные значения. Разность между наибольшим и наименьшим действительными раз­мерами заготовок в данной партии_рназывают размахом рас­пределения, или полем рассеяния размеров:

_р=l_max–l_min. (1)

Полученное значение _рразбивают на равные интервалы и определяют частость повторения отклонений размеров в каждом интервале:

 = m/n, (2)

где m— число заготовок, действительный размер которых находится в пределах данного интервала;

n— общее число деталей в пар­тии.

Далее строят график (полигон) распределения размеров (рис. 1).

а б

Рис. 1

По оси абсцисс откладывают фактические размеры заготовок (или интер­валы размеров), а по оси ординат — частость их повторения W. Например, на графике, приведенном на рис. 1, а, общее число деталей в исследуемой партии составляет 100 шт. Поле рассеяния размеров _р = 0,16 мм. Для построения полигона размеров при­нято восемь _р размерных групп с интервалом в 0,02 мм. В первой размерной группе оказалось 5 деталей, т. е. частость W₁ = 0,05, во второй группе — 13, т. е. частость W₂ = 0,13, и т. д. Получен­ные точки соединяют прямыми.

Экспериментально установлено, что при обработке большого числа заготовок на предварительно настроенных металлорежущих станках способом автоматического получения размеров 79 квалитетов при относительно невысокой интенсивности износа инструмента точность обработки подчиняется (в большей или меньшей степени) закону нормального распределения, который изображается математической кривой Гаусса (рис. 1,б), уравнение которой

; (3)

где а— среднее квадратичное отклонение аргумента; а также – центр груп­пирования значений аргумента и его средним ариф­метическим;

е— основа­ние натуральных логарифмов.

Среднее квадратичное отклонение определяют по результатам измерений партии заготовок по формуле

; (4)

где n— число произведенных измерений;

x_i — значение текущего измерения;

x_ср — среднее арифметическое данных измерений:

. (5)

Число измерений nследует брать 50 или более. При меньшемnпогрешность определенияпревышает10%.

Кривая нормального распределения симметрична. Ордината вершины кривой y_maxбудет прих=а; она определяется из выра­жения

.

Кривая имеет точки перегиба на расстояниях x. Их ординаты равны

.

Величина ахарактеризует форму кривой распределения и является мерой точ­ности данного метода обработки; при увеличе­нииавершина кривой снижается, но ветви кривой растягиваются, т.е. поле рассеяния размеров растет. При уменьшенииорди­ната кривой возрастает, а поле рассеяния сужается.

На рис. 2, асхематически показаны кривые распреде­ления диаметральных размеров при изготовлении пар­тии заготовок последова­тельно после предваритель­ной обработки (кривая), чистовой обработки (кри­вая₁), отделочной обработки (кри­вая₂), причем при пра­вильном построении этапов процессов необходимо вы­полнение условия>₁>₂.

а)б) в)

Рис. 2

Если изготавливаются две партии одноименных заготовок, то появляется систематическая постоянная погрешность, связанная с погрешностью настройки оборудования на размер или с различными отклонениями применяемого инструмента. В этом случае кривые распределения погрешностей при изготовлении первой и вто­рой партий будут смещены одна относительно другой на размер постоянной погрешности _П(рис. 2,б).

Изучение кривых распределения погрешностей позволяет выя­вить соотношение между числом годных и бракованных деталей. Предположим, что на изготовление заготовок установлен допуск . На оси абсцисс (рис. 2,в) этот допуск определяется величинамих₁их₂от границ центра группирования. Заштрихованный участок соответствует числу заготовок, находящихся в пределах поля до­пуска. Отношение площади этого участка к общей площади, огра­ниченной кривой, определяет вероятность получения годных заго­товок, так как площадь, ограниченная кривой нормального рас­пределения, соответствует общему числу заготовок в партии.

Площади F₁иF₂рассчитывают по формулам:

, (6)

. (7)

Если принять x/=z, то эти интегралы можно представить в виде стандартной функцииФ(z):

; (8)

. (9)

Вся площадь, ограниченная кривой, равна 1. Значения вели­чин F₁ и F₂ меньше единицы. Значения функции Ф(z) через деся­тую долю аргумента приведены в табл. 1.

Таблица 1

z	Ф (z)	z	Ф (z)	z	Ф (z)	z	Ф (z)	z	Ф (z)
0,1	0,0797	0,8	0,5763	1,5	0,8664	2,2	0,9722	2,9	0,9963
0,2	0,1585	0,9	0,6319	1,6	0,8904	2,3	0,9786	3	0,9973
0,3	0,2358	1	0,6827	1,7	0,9109	2,4	0,9836	3,1	0,99806
0,4	0,3108	1,1	0,7287	1,8	0,9281	2,5	0,9876	3,2	0,99862
0,5	0,3829	1,2	0,7699	1,9	0,9426	2,6	0,9907	3,3	0,99903
0,6	0,4515	1,3	0,8064	2	0,9545	2,7	0,9931	3,4	0,99933
0,7	0,5161	1,4	0,8385	2,1	0,9643	2,8	0,9949	3,5	0,99953

Из табл. 1 видно, что в интервале z= ± 3, т.е. прих= ± 3, площадь, ограниченная этим участком кривой, составляет 0,9973 всей площади. Это означает, что 99,73 % всех обработанных заго­товок, находящихся в интервале 6, будут годными, и процент, брака не превысит 0,27 %.

Таким образом, определив для исследуемого процесса значе­ние , можно установить точность данного метода обработки по ве­личине 6(правило «шести сигм»). Если принять для расчета, например, величину 5, то процент брака воз­растет до 1,24, так как согласно табл. 1Ф(z) будет равно 0,9876. Возрастание вероятности брака почти в 4,5 раза недопустимо.

Правило «шести сигм» является достаточно точным для прак­тических расчетов.

Пример 1. Установить вероятность брака деталей, если среднее квадратич­ное отклонение для исследуемого процессаа= 0,015 мм, допуск на обработку= 0,075 мм, а границы поля допуска (рис. 2,в) расположены от центра группи­рования на расстоянияхх₁= 0,045 мм их₂= 0,03 мм.

Решение. Определим значенияz₁иz₂:

z₁=х₁/а= 0,045/0,015 = 3;

z₂=x₂/а= 0,03/0,015 = 2.

По табл. 1 определим F₁иF₂:

F₁= 0,5Ф(z₁) = 0,50,9973 = 0,4986;

F₂= 0,5Ф(z₂) = 0,580,9545 = 0,4772.

Вероятность брака (в процентах)

р= [1 – (F₁+F₂)]100 = [l– (0,4986 + 0,4772)]100 = 2,42.

Пример 2. Определить, как изменится вероятность брака деталей по усло­виям предыдущей задачи, если путем наладки технологической системы совместить центр группирования кривой распределения с серединой поля допуска.

Решение. Из условия

z₁=z₂=/а= 0,075/0,015 = 2,5.

Найдем по табл. 1 F₁иF₂:

F₁=F₂= 0,5Ф(z) = 0,4938.

Вероятность брака (в процентах):

р= [1 – (F_l+F₂)]100 = [l– (0,4938 + 0,4938)]100 = 1,24.

Следовательно, по сравнению с предыдущим примером вероятность брака уменьшится на 1,18%.