- •3. Визначники n-го порядку та їхні властивості
- •4. Обчислення визначників
- •Вправи для самостійного розв’язування
- •§ 7. Застосування визначників
- •Визначник добутку матриць
- •Означення рангу матриці через мінори. Теорема про ранг матриці. Умова виродженості квадратної матриці
- •Правило обчислення рангу матриці
- •Існування оберненої матриці. Обчислення її за допомогою алгебраїчних доповнень
- •Правило Крамера для системи n лінійних рівнянь з n невідомими
- •Вправи для самостійного розв’язування
- •Література
Правило обчислення рангу матриці
При обчисленні рангу матриці слід переходити від мінорів менших порядків до мінорів більших порядків. Якщо вже знайдено мінор r-го порядку , відмінний від нуля, то далі потрібно обчислювати лише ті мінори (r+1)-го порядку, які обводять мінор ; якщо всі вони дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнюєr.
Приклади. 1.Обчислити ранг матриці
Розв’язання. Мінор другого порядку, що стоїть у лівому верхньому куту матриці А, дорівнює нулю. Однак у матриці є мінори другого порядку, відмінні від нуля. Таким, зокрема, є мінор
Мінор третього порядку
що обводить мінор , відмінний від нуля, =9. Обидва мінори четвертого порядку, що обводять мінор , дорівнюють нулю:
Отже, ранг матриці А дорівнює 3.
2. Дана система векторів ,,,просторуR4. Знайти максимальну лінійно незалежну підсистему цієї системи.
Розв’язання. Складемо матрицю А, рядками якої є вектори заданої системи
Обчислимо ранг цієї матриці. Мінор третього порядку
що стоїть у лівому верхньому куту, відмінний від нуля, =2.
Визначник матриці (мінор 4-го порядку) дорівнює нулю, оскільки в ньому є два однакові стовпці.
Отже, ранг матриці А дорівнює 3. Звідси випливає, що вектори , , утворюють одну з максимальних лінійно незалежних підсистем даної системи векторів.
Існування оберненої матриці. Обчислення її за допомогою алгебраїчних доповнень
Використаємо теорію визначників для з’ясування питання про існування оберненої матриці.
Нехай
– довільно вибрана матриця n-го порядку.
Матриця
отримана з матриці А заміною кожного її елемента відповідним алгебраїчним доповненням, і потім ця матриця транспонована. Обчислимо добутки і
Дістанемо
==
Якщо матриця А невироджена (detA≠0), то і матриця також невироджена. Справді, з рівностей (8) отримуємо
Оскільки detA≠0, то =(detA)n-1.
Теорема 4. Для того, щоб існувала матриця, обернена до матриці А, необхідно й достатньо, щоб матриця А була невиродженою.
► Необхідність. Припустимо, що для матриці А існує обернена матриця А-1. Тоді АА-1=Е. Звідси , тобто. ТомуdetA≠0, і, отже, матриця А – невироджена.
Достатність. Нехай матриця А – не вироджена. Тоді з рівності (8) отримуємо
Обернена матриця для матриці А буде мати вигляд
◄
Доведемо, що для будь-якої невиродженої матриці А існує тільки одна обернена матриця А-1. Справді, якщо матриця С така, що АС=СА=Е, то
САА-1=(СА) А-1=Е А-1= А-1,
СА А-1=С(А А-1)=СЕ=С,
і отже, С= А-1. Таким чином, для кожної невиродженої матриці А=() існує, і притому тільки одна, обернена матриця
(9)
Співвідношення (9) називають формулою оберненої матриці.
Отже, для обчислення матриці А-1, оберненої до А, потрібно замінити кожний елемент матриці А відповідним алгебраїчним доповненням , поділеним наdetA, і транспонувати отриману матрицю.
Якщо матриця А невироджена, то обернена до неї матриця А-1 також невироджена. Справді, з рівності АА-1=Е випливає, що
=
Тому матриця А-1 також невироджена. Оберненою до матриці А-1 є матриця А.
Приклад. Знайти матрицю, обернену до матриці
Розв’язання. Визначник цієї матриці detA=-1, тому обернена матриця А-1 існує. Знаходимо алгебраїчні доповнення :A11=-1, A12=-1, A13=1, A21=4, A22=5, A23=-6, A31 =3, A32 =3,A33= –4. Отже,