Лекція 26 Резонанс у електричних колах

1 Коливальний контур.

2 Резонанс напруг.

3 Резонанс струмів.

4 Компенсація реактивної потужності у електричних мережах за допомогою конденсаторів.

Дом. завдання [1] стор. 294-310. зад. 17.2; 17.4; 17.7 повторити [1] стор. 214-250.

У радіотехніці послідовне з'єднання l,rіcназивають послідовним коливальним контуром, а їхнє паралельне з'єднання - паралельним коливальним контуром.

Припустимо, що ідеальний конденсатор ємністю С попередньо заряджений до напруги Ц після чого його приєднують до ідеальної котушки індуктивності.

Енергія електричного поляWс =CU²/2, запасена конденсатором С,перетворюється у енергію магнітного поля, оскільки струм, який протікає по котушці, утворює магнітне поле, а відповідно е.р.с. самоіндукціїe_L=-(Ldi/dt).

Якщо використовувати ідеальний

конденсатор та ідеальну котушку, ніяких втрат у колі не відбувається.

Після того як конденсатор розрядиться і вся енергія перетвориться у енергію поля котушки, процес не припиниться: струм у котушці за інерцією знову буде заряджати конденсатор, потім конденсатор розряджається через котушку і т. д.

Енергетичний процес у такому контурі має періодичний характер з періодом Т. Коливання у контурі викликані не зовнішнім джерелом, тому вони є власними або вільними коливаннями.

Таким чином у коливальному контурі здійснюється перехід енергії електричного поля у енергію магнітного, тобто виникає процес періодичного перетворення енергії. Напруга і сила струму періодично змінюються, до того ж коли напруга максимальна, сила струму дорівнює нулю і навпаки. У ідеальному коливальному контурі коливання не затухають.

Якщо вважати, що струм у коливальному контурі змінюється за синусоїдальним законом

і = Іmsіnωt, рівняння для напруги на конденсаторі має виглядUc=Umsin(ω₀t-90⁰),

де ω₀- кутова частота власних коливань контура. Її можливо визначити з максимальних значень енергії:

CUm/2=LIm²(*)

Підставивши

Um=ImX_L=Im* ω₀L4y(*), отримаємо

C*Im²ω₀² L₂=LIm²

-132-

C*ω₀²*L=1→ω₀=;f₀=

Період власних коливань контура:

T₀=1/f₀=2π

тобто коливальний контур має свою власну частоту коливань, яка залежить тільки від параметрів контура Lта С.

З рівності енергій (*) можливо отримати вираз для опору контура:

; .

Відношення амплітуди напроти до амплітуди струму має назву хвильового (характеристичного) опору: z_B=,[z_B] = Ом.

При наявності у коливальному контурі активного опору, частина електромагнітної енергії перетворюється у теплову і виявляється на резистивному елементі. При цьому запасна енергія зменшується, зменшуються максимальне значення струму і напруги, процес має затухаючий характер. Тривалість і характер цього процесу залежить від співвідношення активного і хвильового опорів. Якщо R≥2 - аперіодичний процес (напруга на конденсаторі поступово падає до нуля, а струм спочатку збільшується, а потім також зменшується до нуля, не змінюючи знака.

2Явище у колі змінного струму при послідовному з'єднанні резистивного, індуктивного і ємнісного елементів у випадку, колиU_L=Uc, визначає резонанс напруг.

При U_L=I*X_L;Uc=I*Xc;I*X_L=I*Xc;X_L=Xc, тобто резонанс напруг виникає при рівності реактивних опорів.U=.

Оскільки U_L=Uc, тоU=Ua,z=r,S=Р; Соsφ = 1; φ = 0

-133-

таким чином електричне коло у стані резонансу. Є тільки активне навантаження.

Частота власних коливань контура:

ω₀L=; ω₀= ; f=; To=2π

Щоб у колі виник резонанс напруг необхідно забезпечити певне співвідношення між величинами

ω₀, L,С, тобто необхідно регулювати параметри індуктивного і ємнісного елементів або змінювати частоту струму.

При резонансі частота струму (напруги) живлення дорівнює частоті власних коливань контура.

Резонансом напруг називається збіг частоти вимушених коливань, які передаються ззовні фізичній системі, з частотою коливань даної системи.

Співвідношення між параметрами кола та їх залежність від частоти струму

r= Const; X_L=2πfL; Xc=1/2πfC.

При резонансіX_L=Xc; Х = Х_L- Хc=0

z_B=XL0=ω₀L=Xc0=

z=r

У радіотехніці, техніці зв’язок, техніці СВЧ основною характеристикою для приладів є відношення хвильового опору до активного, його називають добротність контура

У електротехніці добротністю контура вважають відношення реактивного опору та активного, що є тангенсом кута зсуву фаз: Q=z_B/r

Добротність котушки залежить від її індуктивності і частоти струму. Згідно з законом Ома струм у послідовному контурі: І =

При резонансі (Х_L=Хc)Imax

при f=0; Хс → ∞;I=0

при f= ∞;XL→ ∞;I=0.

Криві залежності струму і напруги від частоти називають резонансними.

Умомент резонансу струм має максимальне значення. Напруга на резистивному елементі:

Ua= І •r

Ip=Imax→Ua= Uдж

при f=0; I=0;Ua=0

при f=∞; I=0;Ua=0

Напруга на індуктивному елементі:

U_L=ІХL=І2πfL;f=0→U_L=0;f=∞→Xc=0

Ua=0;Uc= 0→U_L=Uдж.

Напруга на ємнісному елементі: Uc=I*Xc=I*(1/2πfC)

-134-

при f=о→Xc=∞;I=0;Ua=0;UL=0 →Uc=Uдж

при f= ∞ →Xc=0;I= 0;Uc= 0.

Зсув фаз: tgφ=

при f=о→Xc=0;Xc=∞→

при f=f₀→Xc=XL;tgφ=0;φ=0°;

при f=∞→Xc=∞;Xc=0;tgφ=0;φ=0°

Добротність кола

Струм у колі: I=, при резонансіUa=U, тобто ,

звідси U_L=, оскільки =Q→Uc=U_L=U*Q(*)

I= *Q (**)

Якщо добротність більше одиниці (Q>1), напруга на індуктивному і ємнісному

елементах більша прикладеної напруги. Чим більша добротність, тим більший струм у колі.

3.Явище рівності реактивних струмів у ланцюгах при паралельному з'єднанні індуктивної котушки і конденсатора називають резонансом струмів

I_L=Ub_L; Ic=Ubc

Ub_L=Ubc; bL=bc

резонанс струмів настає при рівності реактивних провідностей ланцюгів.

Розглянемо особливості електричного кола при резонансі струмів

I=оскільки I_L=Ic→ ∑Ip=0

I=∑Ia.

Повна провідність кола b_L=bc→ V = ∑g.

Повна потужність кола: S=,оскількиQ_L=Qc

∑Q=0→S=∑P.

Зсув фаз між напругою і струмом: φ= 0; Cosφ = 1.

Електричне коло у стані резонансу для джерела кола чисто активним

навантаженням.

Для визначення частоти власних коливань користуються приблизною формулою, . яка витікає з умови ідеального контура(у обох ланцюгів відсутні активні опори)

-135-

b_L=bc; 1/X_L=1/Xc; 1/ω₀L=ω₀C

ω₀=; f₀ =

Розглядаємо як змінюється струм у колі при зміні частоти джерела:

I=U*y=U

При резонансі b_L=bc струм мінімальний і дорівнює сумарному активному струму. До та після резонансу струм збільшується.

4 Основними споживачами електричної енергії на промислових підприємствах є індуктивні споживачі, такі, як асинхронні двигуни та трансформатори. Для роботи таких приймачів потрібно створення змінного магнітного поля. Струм кола може складатися з активних та реактивних складових. Активна складова струму йде на виконання активної роботи, реактивна (індуктивна) складова струму - на утворення магнітного поля. Реактивну складову називають намагнічуючим струмом.

У колі змінного струму розглядають три види потужності: активну, реактивну, та повну.

Активна потужність (енергія) витрачається на виконання активної роботи, реактивну потужність (енергія) йде на створення магнітного поля.

Відомо, що Cosφ=Р/S,тобтоCosφ -величина, яка вказує, яка частина

Повної потужності кола 8 витрачається на виконання роботи. Оскільки cosφ

встановлює зв'язок між потужностями Р та S, його називають коефіцієнтом потужності. По величиніCosφможливо судити про використання енергії мережі та якість

експлуатації електричного обладнання змінного струму на промислових підприємствах. Коефіцієнт потужності є техніко-економічним показником роботи даного підприємства. Низький коефіцієнт потужності в основному є результат неповного навантаження обладнання або невірного вибору електрообладнання, що веде до збільшення втрат енергії.

За правилами обладнання електроприладів (ПОЕ), середній коефіцієнт потужності електроприладів, які приєднуються до електричної мережі, повинен бути не нижчим ніж 0,92 - 0,95.

Одним з основних шляхів збільшення cosφє використання конденсаторів, які

приєднують паралельно приймачу, завдяки чому компенсується реактивна енергія приймача. При цьому втрати активної потужності у конденсаторі незначні.

-136-

Потужність конденсаторного приладу

Qпр=Q1-Q2=P1(tgφ1-tgφ1) ,

де Q1 =P1tgφ1 ;Q2 =P1tgφ2.

Потужність приладу може бути визначена через параметри конденсаторів.

Нехтуючи активними витратами конденсаторів, можна записати Ic=U/Xc; Хc=1/2πfC,

отримаємо:

Qc=Uc²* 2πfC, звідки С=Qc/U² *2πf

-137-

Лекція 27

Нелінійні електричні кола змінного струму.

1. Електричне коло з нелінійним активним елементом.

2. Електричне коло з нелінійним індуктивним елементом.

3. Схеми заміщення дроселя та трансформатора

4. Поняття про ферорезонанс.

Домашнє завдання [1] сторінки 404-430 задачі 24.2; 24.6.

1. Активними нелінійними елементами вважають такі, параметри яких залежать від схеми підключення та вхідних напруг.

До активних нелінійних елементів відносять трьох і більше електродні лампи, транзистори, тірістори, германієві та кремнієві випрямляючі діоди та інші.

Нелінійні елементи у колі змінного струму володіють такими властивостями:

1. При переході від однієї ділянки ВАХ до другої їхні статичні опори змінюються.

2. Статичні опори не рівні, не збігаються за величиною у окремих точках і на окремих ділянках ВАХ.

3. Не лінійний елемент може мати несиметричну ВАХ, опір елемента залежить від знака прикладеної напруги.

Властивості активних нелінійних елементів використовуються при випрямленні змінного струму, множенні та діленні частот, для стабілізації напруги, підсилення та перетворення сигналів.

2. Нелінійними індуктивними елементами вважають індуктивні котушки, які мають замкнене осердя з феромагнітного матеріала ( дроселя ).

Індуктивний опір дроселя не постійний і залежить від величини змінного струму:

X_L=ωL; L=μ_a*(N²S/l); μ_a=μ₀(1+J/H)

Внаслідок зміни струму у колі змінюється напруженість магнітного поля Н, що веде до зміни намагніченості осердя, тобто зміни абсолютної магнітної проникності μ_a.Таким чином зі зміною струму буде змінюватись індуктивність дроселя і його індуктивний опір.

Характеристика Ф (І) (вебер-амперна характеристика) необхідна для наступних розрахунків намагнічуючого струму котушки, для її побудови використовують криву намагнічування В (Н).

Розглянемо ідеалізований дросель (не має активного опору, відсутні втрати потоку розсіювання і явище гістерезису). Якщо підвести до затискачів котушки синусоїдну напругу, це викличе в осерді синусоїдний магнітний потік. Побудуємо графік і (t) графічним методом при умові, що намагнічування та розмагнічування котушки відбувається по одній і тій же кривій ( немає гістерезису ).

Початковими є функції Ф=Ф_msinωt та В(Н). Знаючи матеріал осердя, площу поперечного перерізу та довжину середньої лінії виконаємо перерахунок кривої намагнічування у криву Ф(і)

-138-

Якщо при роботі котушки осердя її не насичується, то при синусоїдній напрузі магнітний потік і струм котушки синусоїдні, і розрахунок кола не відрізняється від розрахунку кола при постійній індуктивності котушки.

Якщо при роботі кола максимальне значення магнітного потока у осерді досягає значень, які розташовані за перегином кривої намагнічення, то залежність магнітного потока від струму нелінійна

Якщо ввести побудову кривої і (t) з урахуванням гістерезису, то вона буде не тільки не синусоїдна, але і несиметрична

Вольт-амперна характеристика дроселя

Діюче значення е.р.с. в котушці:

Е=4.44 fNФ_m

При синусоїдній напрузі на затискачах котушки індукована е.р.с. також синусоїдна. Якщо знехтувати втратами напруги в обмотці, то U=Е,тобтоU=4.44fNФ_m

Якщо відомий поперечний переріз осердя: Ф_m=В_m*S;U=4.44fNB_m*S, звідки

Bm=U/4,44fNS(*)

тобто магнітна індукція пропорційна прикладеній напрузі і кожному діючому значенню напруги на затискачах дроселя відповідає певне максимальне значення індукції в осерді.

Якщо провести повний цикл перемагнічуванні осердя при різних заданих напругах, можливо побудувати основну криву намагнічування.

Крива намагнічування є основною характеристикою феромагнітного матеріали, в той час як для будь-якого елемента електричного кола основою є ВАХ

Якщо електричне коло є дроселем, то при відомих параметрах осердя можливо показати, що В (Н) пропорційна U(І).

На першому малюнку зображена крива намагнічування, на другому — крива повернута на 90° і є ВАХ котушки зі сталевим осердям (відповідає ВАХ нелінійного елемента кола).

ВАХ можливо розбити на три ділянки: оа, ав, в∞. На ділянці оа при невеликих напругах осердя ненасичене і залежність І (U) близько до лінійної, на ділянці ав відбувається перегин залежності І (U); на ділянці е∞ при значних напругах осердя насичене, і залежність І (U) стає нелінійною.

Втрати потужності у дроселі.

При проходженні змінного струму в котушці утворюється змінний магнітний потік, який концентрується в сталевому осерді, що веде до його постійного перемагнічування. Процес циклічного перемагнічування феромагнітного осердя протікає при відповідних втратах енергії, яка перетворюється у теплову.

У феромагнітному осерді виникають вихрові струми, які також приводять до нагріву. Таким чином втрати потужності у сталевому осерді складаються з втрат потужності від гістерезису та вихрових струмів: рс=р_r+р_в

- 139-

Векторна діаграма напруг, е.р.с. та струмів дроселя.

Ідеалізована котушка.

Якщо знехтувати скривленнями синусоїдної кривої струму (осердя ненасичене), втратами потужності в осерді (втрати в сталі) і в самій котушці (активний і реактивний опір), то векторні діаграми будуть мати вигляд:

Вектор струму спрямований у той бік, що і вектор створеного ним магнітного потока, оскільки втрати потужності в осерді відсутні. Вектор індукованої е.р.с. відстає від вектора струму на 90°.

Вектор прикладеної до кола напруги дорівнює за величиною, але спрямований протилежно вектору індукованої е.р.с.

Котушка з втратами потужності в осерді.

Струм такої котушки складається як би з двох складових, одна з яких Іμутворює магнітний потік (реактивна складова струму), а друга долає втрати у осерді (активна складова). Вектор Іμзбігається за напрямом з вектором потока, вектор Іа випереджає вектор потока на 90Р. Внаслідок цього вектор повного струму котушки випереджає вектор магнітного потока на кут δ, який має назву кута втрат

Вектор повного струму відстає від вектора напруги на кут U₀:

I=Ia+Iμ; I=

Іа=I sinδ; Іμ=Ісоsδ.

Котушка з втратами потужності в осерді, активним опором і магнітним потоком розсіяння.

-140-

Наявність магнітного потока розсіяння викликає реактивну складову втрат напруги в котушці, що аналогічно індуктивному опору обмотки (індуктивному спаду напруги в обмотці). Наявність активного опору обмотки обумовлює активний спад напруги в котушці. Таким чином вектор напруги котушки з урахуванням усіх втрат U= - ε +Uа+Up

По горизонталі - вектор магнітного потока Фm. Гід кутом δ у бік випередження - вектор струму котушки І. Під кутом 90°. У бік відставання - е.р.с. самоіндукції ε . Щоб отримати розташування вектора результуючої напруги, необхідно побудувати вектор -ε, від ганця якого відкладають векторUа активного спаду напруги в котушці, спрямований як і вектор результуючого струму, і вектор реактивного спаду напругиUр, який випереджає вектор результуючого струму на 90°.

При векторному складанні трьох напруг отримують вектор результуючої напруги, яка підводиться до котушки.

3. При розрахунках котушки з феромагнітним осердям замінюють еквівалентними електричними схемами, у яких кожному виду напруги або втрат потужності відповідає певний елемент кола (активний або реактивний), який може бути підключений послідовно або паралельно - схемами заміщення.Вони повинні відповідати по напрузі, струму і потужності тому пристрою, еквівалентом якого вони є.

У схемі заміщення rвідповідає активному опру обмотки, а х- індуктивному, обумовленому потоком розсіяння.

Провідності До та Во характеризують активний та реактивний струми, обумовлені втратами в осерді. При цьому До=Iа/U’; в₀=Іμ /U’, деU’=ε - напруга на паралельній ділянці,

відповідна е.р.с. самоіндукції в котушці.

Паралельну ділянку можливо замінити послідовною, де

r₀=р_c/I²; х₀=

-141-

Трансформаторскладається з двох або декількох котушок, насаджених на загальний магнітопровід. Обмотка трансформатора, яка приєднується до джерела живлення, -первинна, обмотка, до якої приєднують навантаження, - вторинна

Трансформатор призначається для передавання енергії з одного кола в друге за допомогою електро магнітної індукції.

Магнітний потік в осерді, який пронизує обидві обмотки, індукує у цих обмотках е.р.с.

ε₁= 4,44f* N₁* Ф_m; ε2⁼4,44f*N₂*Фm. Відношення е.р.с. обмоток трансформатора називаютькоефіцієнтом трансформації

ε₁/ε₁=N₁/N₂=K

Згідно з ІІ законом Кірхгофа: U₁=-ε₁+I₁z₁;U₂=ε₂-I₂z₂

Схема заміщення

Трансформатори працюють у трьох режимах: холостого ходу, навантаження і короткого замикання.

Режим холостого ходу: вторинна обмотка трансформатора не має навантаження. У первинному колі утворюється намагнічуюча сила холостого ходу F₁х=I₁х*N₁, яка здатна утворити у осерді максимальний магнітний потік, індукуючий таку е.р.с. ε₁, яка разом з повним спадом напруги в обмотці забезпечує напругу, рівну за величиною, але протилежну за напрямом прикладеній напрузі

І1х N1 →Фm→-ε₁+I₁z₁

Таким чином, струм холостого ходу трансформатора характеризується кількістю випав первинної обмотки, магнітними властивостями матеріала осердя, частотою струму живлення, параметрами активного та індуктивного опорів і прикладеною напругою.

Режим навантаження:до вторинної обмотки підключене навантаження - приймач електричної енергії. У обох обмотках створюються намагнічуючі сили:

F₁=I₁*N₁; F₂=I₂*N₂;

в сумі рівні намагнічуючій силі F₁х в режимі холостого ходу, тобтоF₁+F₂=F₁xабо

I₁*N₁+I₂*N₂=I₁x*N₁.

Виходячи з вище сказаного будуємо векторну діаграму трансформатора.

-142-

Автотрансформатор.

Пристрій, який складається з двох котушок, з'єднаних між собою електрично і

зв’язаних загальним сталевим осердям (або одна котушка поділена на дві частини).

Як і у звичайному трансформаторі в обмотках котушок індукції е.р.с.

ε₁= 4,44f* N₁* Ф_m; ε₂= 4,44f* N₂* Ф_m. Коефіцієнт трансформації

К=ε₁/ ε₂=N₁/N₂

Струм у вторинній обмотці зсунутий по фазі відносно струму первинної обмотки на кут, близький до 180°, тобто по вторинній обмотці протікає струм, який дорівнює різниці

струмів І₁-І₂.

В режимі навантаження потужність, яка підводиться до автотрансформатора, перелається до вторинної обмотки як через магнітне поле, так і через електричний зв'язок. Автотрансформатори використовують для регулювання напруги у межах К=1,5-3.