Примеры решения задач

Пример 1. Определить количество вещества и числоN молекул углекислого газа массой m = 200 г.

Решение. Число N молекул, содержащихся в газе массой m, равно произведению постоянной Авогадро на количество вещества :

N=N_A,

Количество вещества ν=m/μ , гдe, μ — молярная масса. Определяем молярную массу С0₂.

μ= 12+ 16* 2 = 44- 10^-3 кг/моль;

;

N = 4, 5*6,02* 10²³ = 27,09 • 10²³ молекул.

Пример 2. Найти массу сернистого газа (SО₂), занимающего объем 25 л при температуре 27 °С и давлении 101 кПа.

Решение. Из уравнения Клапейрона — Менделеева масса газа находится:

m=pVμ/RT.

Молярную массу сернистого газа определяем по данным таблицы Менделеева:

μ = 32+ 16* 2 = 64 *10^~3 кг/моль. Вычисляем массу:

= 0,065 кг.

Пример 3. В баллоне содержится m₁ = 40 г кислорода и m₂ = 240 г аргона. Давление смеси 2 МПа, температура 100 К. Определить объем баллона.

Решение. По закону Дальтона давление газовой смеси равно сум­ме парциальных давлений газов, входящих в смесь.

Парциальные давления кислорода Р_} и аргона Р₂ находятся из уравнения Клапейрона — Менделеева:

, .

Давление смеси газов:

p=p₁+p₂=(m₁/μ₁+m₂/μ₂)(RT/V).

Отсюда объем баллона:

V=(m₁/μ₁+m₂/μ₂)(RT/p)

Молярные массы определяем по данным таблицы Менделеева:

μ₁= 32* 10^-3 кг/моль;

μ₂=40*10^~3 кг/моль.

Вычислим объем:

Пример 4. В баллоне объемомV=10 л находится гелий под давлением p₁ = 1 МПа и при температуре T₁=300 К. После того, как из баллона выпущено m=10 г гелия, температура в баллоне понизилась до Т₂=290 К. Определить давление р₂ гелия, оставшегося в баллоне.

Решение. Применим уравнение Клапейрона — Менделеева к конечному состоянию газа:

p₂V=(m₂/μ)RT

где m₂ — масса гелия в баллоне в конечном состоянии; μ— молярная масса гелия; R — универсальная газовая постоянная. Из этого уравнения выразим искомое давление:

p₂=m₂RT₂/μV.

Масса гелия m₂ определится:

m₂=m₁-m,

где m₁ — масса гелия в начальном состоянии; m — масса гелия, взятого из баллона.

Масса гелия m₁ находится из уравнения Клапейрона — Менделеева, записанного для начального состояния:

m₁=μp₁V/RT_1.

Окончательно искомое давление выразится:

Проверим размерность искомой величины. Для этого подставим в правую часть единицы измерения величин. Первое слагаемое дает единицу давления. Для второго слагаемого:

С учетом значения μ = 4*10^~3 кг/моль вычислим давление p₂

0,364 МПа.

Пример 5. Определить среднюю кинетическую энергию вращательного .движения одной молекулы углекислого газа при температуре 400 К и кинетическую энергию вращательного движения всех молекул углекислого газа, находящихся в 20 г.

Решение. На каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя, энергия <ε> = 1/2 kТ, где k — постоянная Больцмана; Т — температура газа. Так как для трехатомной молекулы углекислого газа три степени свободы приходятся на поступательное движение и три степени свободы на вращательное движение, поэтому средняя энергия вращательного движения одной молекулы

Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа

E=‹ε_вращ›N.

Число молекул газа N = νN_A, где N_A, — постоянная Авогадро; ν— количество вещества.

С учетом того, что ν=m/μ , получаем N = N_A (,m/μ) . Полная кинетическая энергия вращения всех молекул, таким образом определяется:

Е =N_A(m/μ)‹ε_вращ›.

Учитывая, что для углекислого газа μ = 44*10^~3 кг/моль, произведем вычисления:

‹ε_вращ›= 3/2kT =3/2*1,38*10^-23*400 = 8,28*10^-21 Дж;

Пример 6. Чему равны удельные теплоемкости с_V и с_p некоторого двухатомного газа, если плотность этого газа при нормальных условиях равна 1,43 кг/м³?

Решение. Удельные теплоемкости выражаются

Из уравнения Клапейрона — Менделеева выражаем μ:

и

так как плотность газа ρ=m/V.

Подставляя молярную массу в формулы для теплоемкости, имеем:

и .

Произведем вычисления, учитывая, что для двухатомного газа число степеней свободы

i= 5, а при нормальных условиях давление p= 1,01 *10⁵ Па и Т = 273 К.

Пример 7. В цилиндре под поршнем находится водород массой m = 0,02 кг при температуре

T=300 К. Водород сначала расширился адиабатно, увеличив объем в 5 раз, а затем изотермически сжался, уменьшив объем в 5 раз. Найти температуру в конце адиабатного расширения и работу, совершенную газом в этих процессах.

Решение. В адиабатном процессе температура- и объем газа связаны соотношением:

TV^γ-1=const, то есть T₂/T₁=(V₁/V₂)^γ-1,

где γ — отношение теплоемкостей газов (γ = с_p/с_V). Конечная температура T₂, отсюда определится:

T₂=T₁(V₁/V₂)^γ-1

Работа при адиабатном расширении определится:

где С_V- молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Работа при изотермическом процессе определится:

Проведем вычисления, учитывая, что для водорода, как двухатомного газа, i = 5,γ= 1,4,

μ= 2*10^~3 кг/моль;

T₂=157K

Здесь знак «минус» означает, что при сжатии работа совершается над газом внешними силами.

Пример 8. Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура теплоотдатчика T₁ = 600 К. Определить термический КПД цикла и температуру Т₂ теплоприемника, если за счет каждого килоджоуля теплоты, получаемой от теплоотдатчика, совершается работа А = 250 Дж.

Решение. Термический КПД тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученной от теплоотдатчика, затрачивается на совершение механической работы, и определяется:

η=A/Q₁

где Q₁— количество теплоты, получаемое от теплоотдатчика; А — механическая работа, совершаемая рабочим телом тепловой машины.

С другой стороны, КПД цикла Карно определяется температурами теплоотдатчика и теплоприемника:

η=(T₁-T₂)/T₁

Отсюда температура теплоприемника:

T₂=T₁(1-η).

Произведем вычисления:

η = 250/1000 = 0,25;

T₂=600(1— 0,25) =450 К.

Пример 9. Найти добавочное давление, внутри мыльного пузыря диаметром d=10 см. Какую работу нужно совершить, чтобы выдуть этот пузырь?

Решение. Пленка мыльного пузыря имеет внешнюю и внутреннюю сферические поверхности и обе оказывают давление на воздух, заключенный внутри пузыря. Диаметры обеих .поверхностей можно считать одинаковыми, так как толщина пленки мала. Добавочное давление, поэтому определится:

p=2(2α/r),

где α — коэффициент поверхностного натяжения; r — радиус пузыря; г = d/2.

Окончательно: р = 8α/d.

Работа, затрачиваемая на увеличение поверхности пленки на величину ∆S, запишется:

A=α∆S=α(S-S₀),

гдеS — общая площадь двух сферических поверхностей пленки мыльного пузыря; S₀ — общая площадь двух поверхностей плоской пленки, имевшейся до выдувания пузыря, которой в задаче можно пренебречь. Поэтому

A=αS=α2πd²

Произведем вычисления:

;

А=2*3,14*(0,1)²*40*10^-3=2,5 мДж

Пример 10. Найти изменение энтропии при превращении 10 г льда при —20 °С в пар при 100 °С.

Решение. Изменение энтропии определяется формулой:

где S₁ и S₂ — значения энтропии в первом и во втором состоянии соответственно.

В данном случае общее изменение энтропии складывается из изменений ее в отдельных процессах.

1) Нагревание массы m льда от температуры Т₁ до температуры T₂. При этом

dQ = mc₁dT

где с₁ - удельная теплоемкость льда.

Таким образом,

∆S₁=mc₁ln(T₂/T₁).

2) Плавление массы m льда при температуре Т₂. Здесь

,

где λ — удельная теплота плавления.

Определяем

∆S₂=λm/T₂.

3) Нагревание массы m воды от T₂ до T₃:

∆S₃=mc₂ln(T₃/T₂);

где с₂— удельная теплоемкость воды.

4) Испарение массы m воды при температуре Т₃:

∆S₄=r m/T₃

где r — удельная теплота парообразования. Общее изменение энтропии:

∆S=∆S₁+∆S₂+∆S₃+∆S₄=m[c₁ln(T₂/T₁)+λ/T₂+c₂ln(T₃/T₂)+r/T₃].

Произведем вычисления, имея в виду, что c₁=2,1*10³ Дж/кг*К, T₁ = 253 К,T₂ = 273 К, T₃ = 373 К, λ=3,35*10⁵ Дж/кг, c₂= 4,19*10³ Дж/(кг*К), r =2,26*10⁶ Дж/кг.

∆S = 88 Дж/К.

Пример 11. Найти изменение энтропии при переходе 8 г кислорода от объема в 10 л при температуре 80 °С к объему в 40 л при температуре 300 °С.

Решение. Имеем изменение энтропии

,

где

Учитывая уравнение Клапейрона — Менделеева имеем:

После вычислений получаем

S₂ –S₁= 5,4 Дж/К.