Высш_матемКРзаочн(2013-14)
.pdfЕсли z1 r1eiφ1 , z2 r2eiφ2 , z reiφ , причем z1, z2, z 0, то:
|
|
|
|
|
|
|
z z r r ei(φ1 φ2 ); |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
|
r1 |
|
ei(φ1 φ2 ) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
r |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
zn rneinφ , |
n N. |
|
|
|
|
||||||
Задача 2. Если z r(cosφ isin φ), |
z 0, |
n N, |
n 1, то |
|||||||||||||||
n |
|
|
|
n |
|
cos |
φ 2kπ i sin φ 2kπ |
, |
k |
|
|
|||||||
z |
|
r |
0, n 1. |
|||||||||||||||
|
|
|
k |
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Корень n-й степени из комплексного числа z имеет n различных значений.
Задача 3. Система трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными x1, x2 , x3 имеет вид
a11x1 a12 x2 a13x3 b1,a21x1 a22 x2 a23x3 b2 ,a31x1 a32 x2 a33x3 b3.
где aij – коэффициенты системы; bi |
– свободные члены. |
|||
Матрица |
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
A a |
a |
a |
|
|
|
21 |
22 |
23 |
|
a |
a |
a |
|
|
|
31 |
32 |
33 |
|
называется матрицей системы.
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
X x |
|
– матрица-столбец неизвестных; |
B b |
|
– матрица-столбец |
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
свободных членов. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определитель |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
называется определителем системы.
Матрица
a |
a |
a |
11 |
12 |
13 |
[ A | B] a21 |
a22 |
a23 |
a |
a |
a |
31 |
32 |
33 |
b1 b2 b3
11
называется расширенной матрицей системы.
Элементарными преобразованиями строк матрицы называются:
1)перестановка строк;
2)умножение строки на одно и то же число λ (λ 0);
) прибавление к строке матрицы другой ее строки, умноженной на некоторое число.
Если определитель системы 0, то система имеет единственное решение. М е то д К р а м е р а . Необходимо:
1) вычислить определитель Δ;
2) в определителе заменить поочередно i-й столбец столбцом свободных членов и вычислить соответствующие определители i (i 1, 2, 3):
1 |
b1 |
a12 |
a13 |
|
2 |
|
a11 |
b1 |
|
a13 |
|
3 |
a11 |
a12 |
b1 |
|
||
b2 |
a22 |
a23 |
, |
a21 |
b2 |
|
a23 |
, |
a21 |
a22 |
b2 |
; |
||||||
|
b3 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
a31 |
b3 |
|
a33 |
|
|
|
a31 |
a32 |
b3 |
|
3) вычислить значения x1, x2 , x3 по формулам Крамера: |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x |
1 |
, |
|
x |
2 |
, |
x |
3 |
; |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) записать решение (x1; x2; x3).
М е то д о б р а тн о й м а тр и ц ы . Необходимо: 1) записать систему в матричном виде:
AX B,
где A – матрица системы;
X – матрица-столбец неизвестных;
B – матрица-столбец свободных членов;
2) решить матричное уравнение
X A 1B,
где A 1 – обратная матрица;
3) записать решение (x1; x2; x3). М е то д Г а ус с а . Необходимо:
1)записать расширенную матрицу системы;
2)с помощью элементарных преобразований строк расширенной матрицы свести матрицу системы к треугольной или трапециевидной (с нулевыми элементами под главной диагональю);
3)для преобразованной таким образом расширенной матрицы записать соответствующую систему уравнений;
4)решить полученную систему, начиная с последнего уравнения;
5)записать решение (x1; x2; x3).
12
Задача 4. Базисом в пространстве называются три упорядоченных некомпланарных вектора.
Векторы называются компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости. Для компланарности ненулевых векторов a, b, c необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю, т. е. (a, b, c) 0.
|
|
(x1; y1; z1), |
|
|
(x2; y2; z2 ), |
|
c (x3; y3; z3), то смешанное произведе- |
|||||||||
Если |
|
b |
|
|||||||||||||
a |
||||||||||||||||
ние в координатной форме: |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
x1 |
y1 |
z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
( |
|
, b |
, |
|
|
x2 |
y2 |
z2 |
. |
||
|
|
|
|
|
a |
c |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
y3 |
z3 |
|
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a, b, c с общим началом называется правой, если кратчайший поворот от вектора a к вектору b наблюдается из конца вектора c и происходит против хода часовой стрелки. В
противном случае тройка векторов называется левой. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Тройка векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
является |
|
правой |
тогда |
и только тогда, когда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, b, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
c |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( |
|
, b |
, c) 0, и левой, когда ( |
|
, b, c) 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2; y2; z2 ), |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Задача 5. Пусть |
|
|
(x1; y1; z1), b |
|
c (x3; y3; z3). Тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1x2 y1 y2 z1z2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a, b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(a, b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
x2 |
y2 |
z2 |
x2 |
y2 |
z2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Площадь S треугольника, построенного на векторах |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, b : |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
1 |
|
[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, b ] |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
[ |
|
, b ] |
– длина вектора и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
] |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ |
|
|
|
, b |
|
y1 |
z1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Объем V пирамиды, построенной на векторах a, b, c :
V 16 (a, b, c) ,
где (a, b, c) – модуль числа и
|
|
|
|
|
|
) |
x1 |
y1 |
z1 |
|
( |
|
, b |
, |
|
x2 |
y2 |
z2 |
. |
||
a |
c |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
y3 |
z3 |
|
13
Уравнение прямой, проходящей через точки M1(x1; y1; z1)
x x1 |
|
y y1 |
|
z z1 |
. |
|||
|
|
|
||||||
x |
x |
|
y |
y |
|
z |
z |
|
2 |
1 |
|
2 |
1 |
|
2 |
1 |
|
и M2 (x2; y2; z2 ):
Уравнение плоскости,
M2 (x2; y2; z2 ) и M3(x3; y3; z3) :
x x1 x2 x1 x3 x1
проходящей |
через точки M1(x1; y1; z1), |
|||
y y1 |
z z1 |
|
||
|
||||
y2 |
y1 |
z2 |
z1 |
0. |
y3 |
y1 |
z3 |
z1 |
|
Задача 6. На плоскости уравнение
(x x0 )2 ( y y0 )2 1 a2 b2
задает эллипс с полуосями a, b и центром в точке C(x0; y0 ); в пространстве –
эллиптический цилиндр.
На плоскости уравнение
(x x0 )2 ( y y0 )2 1 a2 b2
задает гиперболу с полуосями a, b и центром в точке C(x0; y0 ); в пространстве – гиперболический цилиндр.
На плоскости уравнения |
|
|
|
|
( y y )2 |
2 p(x x ) |
или |
(x x )2 |
2 p( y y ) |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
задают параболы с осью симметрии, параллельной одной из координатных осей, и вершиной в точке C(x0; y0 ); в пространстве – параболические цилиндры.
Задача 7. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.
Если последовательности (xn ) и ( yn ) сходятся, то:
|
|
lim cxn c lim xn , |
|
c const; |
|||||||
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|||
|
|
lim(xn yn ) lim xn lim yn ; |
|||||||||
|
|
n |
|
|
n |
n |
|
||||
|
|
lim xn yn lim xn lim yn; |
|
|
|||||||
|
|
n |
|
n |
n |
|
|
||||
|
|
|
xn |
|
lim x |
|
|
|
|
||
|
|
lim |
|
n |
n |
, |
|
lim y |
0. |
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
n y |
|
lim y |
|
n |
n |
|
|||
|
|
|
n |
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражения вида |
0 |
, , , |
0 , 1 , 00 , |
0 называются неопределен- |
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ностями.
14
При раскрытии неопределенности вида 1 используют формулу
|
|
lim |
1 1 n |
e, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где e 2,71828... – иррациональное число. |
|
|
|
||||
Задача 8. Пр а ви ла д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я . Если u u(x), |
v v(x) – |
||||||
дифференцируемые функции, то: |
|
|
|
|
|
||
|
(cu) cu , |
c const; |
|
|
|||
|
(u v) u v; |
|
|
|
|||
|
(uv) u v uv ; |
|
|
|
|||
|
|
u v uv , |
|
|
|
||
|
u |
v 0. |
|
|
|||
|
v |
|
v2 |
|
|
|
|
Если y f g(x) |
– сложная функция, где y f (u), |
u g(x) – дифферен- |
цируемые функции, то
dydx dudf dgdx .
Т а б ли ц а п р о и зво д н ы х .
(c) 0, |
|
|
c const; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(xα ) αxα 1 |
|
|
(α const), в частности, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
( x) |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
(ax ) ax ln a |
|
|
|
(a const, a 0), в частности, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
(ex ) ex ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(loga x) |
1 |
|
|
|
|
(a |
const, a 0, a 1), в частности, |
|||||||||||||||||||||||
x ln a |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(ln x) 1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(sin x) cos x; |
|
|
|
(cos x) sin x; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
(tg x) |
|
|
|
|
; |
|
|
|
(ctg x) |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||||||||
cos2 x |
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||
(arcsin x) |
|
|
|
; |
(arccos x) |
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 x2 |
1 x2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||
(arctg x) |
|
|
; |
|
(arcctg x) |
|
, |
|
|
|||||||||||||||||||||
1 x2 |
|
|
1 x2 |
|
|
15
Задача 9. Если существуют lim f (x) |
и lim g(x), то: |
||||||
|
|
|
x x0 |
|
|
x x0 |
|
lim cf (x) c lim f (x), |
c const; |
||||||
x x0 |
|
|
x x0 |
|
|
|
|
lim ( f (x) g(x)) lim |
f (x) lim g(x); |
||||||
x x0 |
|
|
x x0 |
x x0 |
|||
lim f (x)g(x) lim |
f (x) lim g(x); |
||||||
x x0 |
|
|
x x0 |
|
|
x x0 |
|
|
f (x) |
|
lim f (x) |
|
|
||
lim |
|
x x0 |
|
, |
lim g(x) 0. |
||
g(x) |
lim g(x) |
||||||
x x0 |
|
|
x x0 |
||||
|
|
|
x x0 |
|
|
|
При раскрытии неопределенности вида 0 часто используют формулы:
0
lim sin x 1 (первый замечательный предел);
x 0 x
lim ln(1 x) 1;
x 0 x
lim |
(1 x)α 1 |
α, |
α 0. |
|
|
x |
|||
x 0 |
|
|
|
|
Функция f (x) |
называется |
бесконечно малой при x x0 , если |
lim f (x) 0.
x x0
Если |
lim α(x) 1, где α(x) и β(x) – бесконечно малые при |
x x , то |
|
x x0 β(x) |
0 |
|
|
α(x) и β(x) называются эквивалентными; пишут: α(x) ~ β(x), x x0.
Если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то он не изменится при замене каждой из бесконечно малых эквивалентной ей бесконечно малой.
Если α(x) 0 при x x0 , то верны следующие эквивалентности:
sin α(x) ~ α(x); |
tg α(x) ~ α(x); |
arcsin α(x) ~ α(x); |
arctg α(x) ~ α(x); |
ln(1 α(x)) α(x); |
eα(x) 1~ α(x). |
П р а ви ло Ло п и та ля . Если |
f (x) и g(x) – непрерывные функции, |
||||||||||
имеющие производные в проколотой окрестности точки |
x0 , причем |
g(x) 0, |
|||||||||
g (x) 0 |
в |
указанной |
окрестности, |
|
lim f (x) lim g(x) 0 |
(или |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
x x0 |
|
|
lim f (x) lim g(x) ) и существует |
lim |
f (x) |
, то |
|
|
||||||
g (x) |
|
|
|||||||||
x x0 |
x x0 |
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
lim |
f (x) |
lim |
f (x) |
. |
|
|
||
|
|
|
g(x) |
|
|
|
|||||
|
|
|
x x0 |
x x0 |
g (x) |
|
|
16
Задача 10. При вычислении частной производной функции трех пере-
менных u f (x, y, z) считают y, z постоянными и пользуются правилами дифференцирования и таблицей производных для функции одной переменной x.
При вычислении частной производной считают, что y – переменная
величина, x, z – постоянные, дифференцируют как функцию переменной y; при
вычислении частной производной u считают, что z – переменная величина,
z
x, y – постоянные, дифференцируют как функцию переменной z.
Если вектор l имеет направляющие косинусы cosα, cosβ, cos γ, то производную функции u f (x, y, z) в точке M0 (x0; y0; z0 ) по направлению вектора
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l находят по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
u(M0 ) |
u(M0 ) cos α |
u(M0 ) cosβ |
u(M0 ) cos γ. |
|||||
|
l |
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
|
Градиентом функции u f (x, y, z) в точке M0 |
называется вектор |
|||||||
|
|
|
|
|
u(M0 ) , |
u(M0 ) , |
u(M0 ) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
grad u |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
x |
y |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 11. Частными производными второго порядка функции z f (x, y) называются частные производные от ее частных производных пер-
вого порядка:
2 z |
|
z |
, |
2 z |
|
|
z |
, |
2 z |
|
|
z |
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
x |
x y |
|
y x |
y |
x |
|||||||||
x2 |
|
|
x y |
|
|
|
2 z |
|
|
|
z |
y2 |
|
|
. |
|
|
||||
|
y |
y |
Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и высших порядков от функции трех и более переменных.
Смешанной частной производной называется частная производная второго порядка и выше, взятая по различным переменным.
Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка не зависят от порядка дифференцирования.
Задача 12. Пр а ви ла и н т е г р и р о ва н и я .
c f (x)dx c f (x)dx, c const;
f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx;
17
dF(x) F(x) C.
Та б ли ц а и н те г р а л о в .
0dx C;
xαdx |
xα 1 |
|
C |
(α 1); |
dx ln |
|
x |
|
C; |
|
|
|
|
||||||||
α 1 |
||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
axdx lnaxa C (a const, a 0), в частности,
exdx ex C;
sin xdx cos x C; |
|
|
|
|
cos xdx sin x C; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx |
tg x C; |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg x C; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin |
x |
|
C, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 arctg |
x |
C, |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|a| |
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
a2 x2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||
a2 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arccos |
|
|
|
C; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcctg |
|
|
C; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|a| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
dx |
|
|
1 |
|
x a |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
ln |
|
C; |
|
ln |
x |
|
x |
2 |
a |
2 |
C. |
|||||||||||||||||||||||||
x2 a2 |
|
2a |
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 a2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод непосредственного интегрирования основан на использовании только основных свойств неопределенного интеграла и таблицы интегралов.
Метод замены переменной (или метод подстановки) используют в двух случаях:
а) f u(x) u (x)dx |
|
u(x) t, |
|
f (t)dt F(t) C |
F u(x) C, |
||||
|
|
||||||||
|
u (x)dx dt |
|
|||||||
где F(t) – первообразная для |
|
f (t); |
|
||||||
б) f (x)dx |
|
x u(t), |
|
f u(t) u (t)dt |
|
||||
|
|
|
|||||||
|
dx u (t)dt |
|
|
||||||
|
|
g(t) |
dt G(t) C G u 1(x) C, |
|
|||||
где G(t) – первообразная для |
|
f u(t) u (t). |
|
При использовании метода поднесения под знак дифференциала замену переменной не применяют. Интеграл вычисляют по формуле
18
f u(x) u (x)dx f u(x) d u(x) F u(x) C,
где F u(x) – первообразная для f u(x) .
Интегрированием по частям называется вычисление интеграла по формуле
udv uv vdu,
где u u(x), v v(x) – дифференцируемые функции.
Для нахождения интегралов |
|
|
P(x)eαxdx, |
P(x)sin axdx, |
P(x)cos axdx, |
где P(x) – многочлен,
за u принимают многочлен P(x), а за d v – выражения соответственно eαxdx, sin axdx, cos axdx.
Издатель и полиграфическое исполнение: учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» ЛИ №02330/0494371 от 16.03.2009. ЛП №02330/0494175 от 03.04.2009. 220013, Минск, П. Бровки, 6
19