МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ

Казахстан

МЕЖДУНАРОДНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Рысбайулы Б.

О П О Р Н Ы Й К О Н С П Е К Т Л Е К Ц И Й

По дисциплине Численные методы

.

(Для студентов специальности "математическое и компьютерное моделирование" )

АЛМАТЫ 2014

1. Приближенное вычисление определенного интеграла

В настоящем пункте рассматриваются способы приближенного вычисления определенных интегралов

Введем на [а, в] равномерную сетку с шагом h, т.е. множества точек

и представим интеграл в виде суммы интегралов по частным отрезкам:

Для построения формулы численного интегрирования на всем отрезке [а, в] достаточно построить квадратичную формулу для на частном отрезке [х_i-1, х_i].

1.1. Формула прямоугольников

Заменим интеграл S_i выражением Геометрический такая замена означает, что площадь криволинейной трапеции АВСД заменяется площадью прямоугольника АВС₁Д₁ (см. рис. 1).

Рис. 1

Тогда получим формулу

(26)

которая называется формулой прямоугольников на частичном отрезке [х_i-1, х_i].

Погрешность метода (26) определяется величиной

которую легко оценить с помощью формулы Тейлора. Действительно, запишем ψ_i в виде

и воспользуемся разложением

Обозначая оценим ψ_i следующим образом:

Таким образом, для погрешности формулы прямоугольников на частичном отрезке справедлива формула

т.е. формула имеет погрешность О(h³) при h→0.

Суммируя равенства (26) по I от 1 до N, получим составную формулу прямоугольников

Погрешность этой формулы

Отсюда, обозначая получим

т.е. погрешность формулы прямоугольников на всем отрезке есть величина О(h²). В этом случае говорят, что квадратурная формула имеет второй порядок точности.

Определение. Приближенное равенство

.

Называется квадратурной формулой.

1.2. Формула трапеции

На частичном отрезке (х_i-1, x_i) площадь криволинейной трапеции АВСД заменяется площадью прямоугольной трапеции АВСД (рис. 2).

Рис. 2

Тогда

Для оценки погрешности

Представим его в виде

Отсюда получим

Составная формула трапеции имеет вид

Погрешность этой формулы оценивается следующим образом:

Таким образом, формула трапеции имеет вид, так же как и формула прямоугольников, второй порядок точности, но ее погрешность оценивается величиной в два раза большей.

Применение формулы трапеции или прямоугольников требует оценки второй производной на отрезке [а, в]. Если такая оценка затруднительна (или вообще невозможно, например, в случае функции определяемых опытным путем), то в предположений малого изменения (или монотонности) второй производнойможно во всех полученных оценках заменить множителя М₂h² наибольшей величиной

Отсюда видно, что формула прямоугольников и трапеции дает достаточную точность только при достаточно малых разностях второго порядка ∆²У_k (а именно, когда произведения не превосходят допустимой погрешности расчета).

Для уточнения величины интеграла можно использовать, то обстоятельство, что с уменьшением шага h в два раза погрешность формулы трапеций уменьшается примерно в четыре раза. Отсюда следует, что совпадающие знаки в значениях интеграла, вычисленных с шагом h и можно считать верным. Действительно, если погрешность значения интеграла, вычисленного с шагом обозначить через ε, то погрешность значения интеграла, вычисленного с шагом h, будет приближенно равна 4ε, и значить, разность указанных значений интеграла будет не менее чем 3ε. Поэтому из совпадения m десятичных знаков у рассматриваемых значений интеграла можно заключить, что погрешность , а это означает, что в значений интеграла вычисленном с шагом, всеm десятичных знаков верны (здесь предполагается, что погрешность исходных данных пренебрежимо мало).