Розділ 1. Теоретичні відомості за темою дослідження
1.1. Метод функціональної підстановки
Часто при розв'язуванні рівнянь чи нерівностей або спрощенні виразів виявляється зручним зробити заміну (підстановку) та перейти до нової змінної, відносно якої рівняння чи вираз буде мати більш простий вигляд. В багатьох задачах правильно підібрана заміна може суттєво спростити розв’язання.
Розв'язання рівняння за
допомогою заміни змінної здійснюється
наступним чином. Припустимо, маємо
рівняння виду
,
де
деяка функція. Зробивши
заміну
,
отримаємо нове
рівняння, вже відносно змінної
:
.
Заміну, по можливості,
потрібно підбирати таким чином, щоб
отримане рівняння відносно
досить легко розвв’язувалось.
Припустимо, нам це вдалося, і:
,
,…,
корені рівняння
.
Тепер, повертаючись до змінної
,
розв’язуємо
рівняння
,
,
…,
.Розв’язок
початкового рівняння складається з
розв’язків
всіх цих рівнянь. Відмітимо, що якщо
рівняння
не має розв’язків,
то і початкове рівняння також не має
їх.
Універсального алгоритму, який дозволяє розв’язувати будь-які рівняння за допомогою заміни змінної, або спрощувати вирази за допомогою підстановки, не існує. Інколи дуже важко побачити необхідну заміну, яка приведе задачу до простого та зручного для розв’язання вигляду. Часто для цього потрібно виконати деякі перетворення (наприклад, групування доданків); в деяких задачах необхідно робити заміну не один раз. Не дивлячись на це, існують декілька замін які використовують досить часто.
1.2. Застосування методу функціональної підстановки для спрощення виразів
Розглянемо особливості методу функціональної підстановки для спрощення виразів.
1. Скоротіть дріб [7, c. 368]:
.
Якщо 
то
2. Спростіть вираз:
3.Обчисліть
значення виразу:
A
при
.
Обчислимо значення 
при 
Отже, 
при 
4. Спростіть вираз:
При 
Оскільки 
,
то маємо:
5. Спростіть вираз:
при 
(Під час перетворення виразу
врахували, що 
)
При 
маємо:
При 
маємо:
6. Спростіть вираз
7. Обчисліть вираз:
1.3. Застосування методу функціональної підстановки для розв’язування рівнянь
Рівняння виду 
де 
змінна, 
параметри, причому 
,
називають біквадратним рівнянням.
Розглянемо приклади біквадратних рівнянь та метод їх розв’язання:
Алгоритм розв'язання біквадратного рівняння.
1. Виконати заміну змінної
Маємо квадратне рівняння 
2. Розв'язати квадратне рівняння через дискримінант або за допомогою теореми, оберненої до теореми Вієта.
3. Розв'язати сукупність рівнянь:
4. Записати відповідь.
Наприклад, розв'яжемо
рівняння
.
Виконаємо заміну
.
Тоді рівняння зводиться до такого
квадратного рівняння
2. За теоремою, оберненою до
теореми Вієта, маємо: 
3. Розв'яжемо сукупність рівнянь:
4. Відповідь: 2; –2; 1; –1.
Спосіб розв'язання біквадратних рівнянь називають методом заміни змінної. Метод заміни змінної можна використовувати не тільки під час розв'язування біквадратних рівнянь, а також в багатьох інших як очевидних так і більш складніших випадках.
Розділ 2. Приклади розв’язування задач методом функціональної підстановки
Розглянемо приклади розв’язування нестандартних задач за допомогою методу функціональної підстановки [5, c. 287].