МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторной работы на тему «Численное интегрирование» по курсу
«Вычислительная техника и программирование»
(для студентов строительных специальностей)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ
Кафедра прикладной математики и инженерной графики Секция прикладной математики и информационных технологий
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к выполнению лабораторной работы на тему «Численное интегрирование» по курсу «Вычислительная техника и программирование»
(для студентов строительных специальностей дневной формы обучения)
УТВЕРЖДЕНО на заседании секции
прикладной математики и информационных технологий кафедры
«Прикладная математика и инженерная графика» Протокол № 42 от 23.02.2004 г.
Макеевка 2004 г.
УДК 519.682:681.3.06 (071)
Методические указания к выполнению лабораторной работы на тему «Численное интегрирование» по курсу «Вычислительная техника и программирование» (для студентов строительных специальностей дневной формы обучения)/ Сост. Грицук Ю.В., Митраков В.А., Довгань Е.Ф.– Макеевка, ДонГАСА, 2004. – 19 с.
Методические указания содержат задания и краткие теоретические сведения по выполнению лабораторной работы на тему «Численное интегрирование» в рамках курса «Вычислительная техника и программирование». Приведены образцы выполнения работ.
Составители: |
Ю.В. Грицук, к.т.н., доцент |
|
В.А. Митраков, к.ф-м.н., доцент |
|
Е.Ф. Довгань, ассистент |
Рецензент: И.Я. Денищенко, д.т.н., профессор
Ответственный за выпуск |
В.А. Моисеенко, к.ф-м.н., доцент |
СОДЕРЖАНИЕ |
|
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПО ПРОВЕДЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ |
.... 4 |
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ............................................................ |
5 |
1. Метод трапеций.................................................................................................... |
5 |
Постановка задачи.................................................................................................................... |
5 |
Формула трапеций..................................................................................................................... |
6 |
Погрешность формулы трапеций............................................................................................ |
7 |
Общая формула трапеций........................................................................................................ |
8 |
2. Метод Симпсона................................................................................................ |
10 |
Формула Симпсона.................................................................................................................. |
10 |
Остаточный член формулы Симпсона.................................................................................. |
10 |
Общая (обобщенная) формула Симпсона.............................................................................. |
12 |
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ.......................................................................... |
15 |
ЛИТЕРАТУРА........................................................................................................... |
19 |
3
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПО ПРОВЕДЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ
Выполнение лабораторных занятий студентов с использованием активных методов обучения является важной частью учебного процесса. Цель этих занятий – закрепить и углубить знания студентов по курсу; привить им навыки проведения анализа исходных данных, а также научить решать прикладные задачи, связанные со специальностью.
Включенные в методические указания задания охватывают, с одной стороны, основные вопросы курса, а с другой стороны, соответствуют тем вопросам, которые наиболее часто встречаются в практической работе инженеров, проектировщиков, строителей. Для каждого задания приведены исходные данные и методические указания.
Объём отдельного занятия рассчитан на два часа самостоятельной работы и два часа аудиторных занятий под руководством преподавателя.
Практические занятия требуют предварительной подготовки, для чего заранее каждому студенту сообщается тема занятия и номер варианта. Он должен самостоятельно проработать соответствующие темы курса лекций, переписать исходные данные по варианту и ознакомиться с методическими указаниями.
4
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
1. Метод трапеций
Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a ,b] и известна ее первообразная F (x), то определенный интеграл от этой функции может быть вычис-
лен по формуле Ньютона-Лейбница:
∫b f (x)dx = F (b)− F (a), |
(1.1) |
a
где F ′(x)= f (x). Однако, во многих случаях, возникают большие трудности,
связанные с нахождением первообразной, или эта задача не может быть решена элементарными способами. Поэтому во многих случаях бывает затруднительно или невозможно применить формулу (1.1). Кроме того, подынтегральная функ-
ция f (x) часто бывает задана таблично. Поэтому численные методы вычисле-
ния интегралов имеют важное значение.
Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении определенного интеграла на основании ряда значений подынтегральной функции.
Численное вычисление однократного интеграла называют механической квадратурой, а двойного – механической кубатурой. Соответствующие формулы называют квадратурными и кубатурными формулами.
Постановка задачи
Пусть требуется найти определенный интеграл |
|
||
|
F = ∫b |
f (x)ρ(x)dx , ρ(x )> 0 |
(1.2) |
|
a |
|
|
где функция f (x) |
непрерывна на отрезке [a ,b], а весовая функция ρ(x ) не- |
||
прерывна на интервале (a ,b). Выразить интеграл через элементарные функции удается редко, а компактный и удобный для доведения до числа ответ получается еще реже. Поэтому обычно заменяют f (x ) на такую аппроксимирующую функцию ϕ(x,a)≈ f (x), чтобы интеграл от нее вычислялся в элементарных функциях.
Чаще всего f (x ) заменяют некоторым обобщенным интерполяционным
многочленом. Поскольку такая аппроксимация линейна относительно параметров, то функция при этом заменяется некоторым линейным выражением, коэффициентами которого служат значения функции в узлах:
n |
|
f (x)= ∑ f (xi ) ϕi (x)+ r (x) |
(1.3) |
i=0
где r (x ) – остаточный член аппроксимации. Подставляя (1.3) в (1.2), получим формулу численного интегрирования (квадратурную формулу):
5
n |
|
F = ∑ci f (xi )+ R , |
|
i=0 |
(1.4) |
|
|
ci = ∫b ϕi (x) ρ(x)dx , |
R = ∫b r (x) ρ(x)dx |
a |
a |
где величины xi – называют узлами, ci |
– весами, а R – погрешностью или |
остаточным членом формулы. Интеграл приближенно заменяется суммой, похожей на интегральную сумму, причем узлы и коэффициенты этой суммы не зависят от функции f (x). Интерполяционный многочлен (1.3) может быть не
только лагранжева, но и эрмитова типа; в последнем случае в сумму (1.4) войдут производные функции в узлах.
Лучше всего изучена замена функции f (x) алгебраическим многочленом, которую и рассмотрим ниже.
Формула трапеций
Геометрическая интерпретация определенного интеграла F = ∫b f (x)dx со-
a
стоит в том, что он численно равен площади криволинейной трапеции ограниченной частью оси абсцисс, двумя прямыми x = a , x = b и подынтегральной кривой y = f (x) (рис. 1.1).
R
y = f (x)
a |
b |
Рис. 1.1 Геометрические построения для метода трапеций
Заменяя приближенно функцию f (x) линией, получим трапецию, площадь которой равна F 1 = 21 (b − a) (f (a)+ f (b)), или
F = ∫b |
f (x)dx ≈ |
1 |
(b − a) ( f (a)+ f (b)). |
(1.5) |
|
2 |
|||||
a |
|
|
|
||
|
|
|
6 |
|
Формула (5) это формула трапеций для приближенного вычисления определенного интеграла. Ошибка квадратурной формулы – это площадь равная R . Найдем ее погрешность.
Погрешность формулы трапеций
Для этого разложим f (x) по формуле Тейлора, выбирая середину отрезка
за центр разложения и предполагая наличие у функции требуемых по ходу рассуждений непрерывных производных:
f (x)= f (x )+ (x − x ) f ′(x )+ 21 (x − x )2 f ′′(x )+ ...,
где |
x = |
1 |
(a + b) |
(1.6) |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
Погрешность есть разность точного и приближенного значений интеграла. Подставляя в (14.5) разложение (14.6) получим главный член погрешности:
R = ∫b |
f (x)dx − b − a |
( f (a)+ f (b))≈ − |
1 |
(b − a)3 f ′′(x ), |
(1.7) |
|
12 |
||||||
a |
2 |
|
|
|
где члены, отброшенные при замене точного равенства приближенным, содержат старшие производные и более высокие степени длины отрезка интегриро-
вания. Заметим, что содержащие f (x ) и f ′(x )члены разложения (1.6) унич-
тожились и не дали вклада в погрешность; это было нетрудно предвидеть, ибо формула трапеций по самому выводу точна для многочлена первой степени.
Это же можно получить иным способом:
Предполагаем, что функция y = f (x) |
принадлежит |
|
y C(2)[a,b] и дваж- |
|||||||||||||||||||||||||
ды дифференцируема. Будем рассматривать |
R = R(h) |
как функцию шага |
||||||||||||||||||||||||||
h = x1 − x0 = b − a . Тогда можно положить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
R(h)= |
x0 +h |
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
∫ |
|
ydx − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.8) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
y |
(x0 )+ y (x0 + h) |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дифференцируем эту формулу два раза по h . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
′ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
h |
′ |
(x0 |
+ h)= |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
R (h)= y (x0 + h)− |
2 |
y(x0 )+ y (x0 + h) |
2 |
y |
(1.9) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x0 |
+ h) |
|
|
|
||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
′ |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
y (x0 + h)− |
y (x0 ) |
2 |
y |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
R′′(h)= |
1 |
y′(x0 + h)− |
|
1 |
|
y′ |
(x0 + h)− |
h |
|
y′′(x0 |
+ h)= − h |
|
y′′(x0 + h) |
(1.10) |
||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
причем R(0)= 0 ; |
|
|
′ |
(0)= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Отсюда, интегрируя R′′(h) по h и используя теорему о среднем, получаем, |
||||||||||||||||||||||||||||
последовательно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
R′(h)= R′(0)+ ∫h R′′(t )dt = |
|
0 − |
1 |
∫h t y′′(x0 + t )dt = − |
|
1 |
y′′(ξ1 )∫h tdt = − h2 |
y′′(ξ1 ), (1.11) |
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
|
|||||
7
где ξ1 (x0 , x0 + h), отсюда:
R(h)= R(0)+ ∫h R′(t
0
где ξ (x0 , x0 + h),
)dt = 0 − 1 ∫h t y′′(x0 + t )dt
4 0
т.е:
R(h)= − 12h3 y′′(ξ )
= − |
1 |
y′′(ξ )∫h t 2dt = − h3 |
y′′(ξ ), (1.12) |
||
4 |
|||||
|
0 |
12 |
|
||
|
|
|
|
(1.13) |
|
Знак разности указывает на то, что если вторая производная на отрезке положительна, то формула (1.5) аппроксимируется с избытком, в противном случае – с недостатком.
Общая формула трапеций
Вообще, длина отрезка b − a не мала, поэтому остаточный член (1.7) может быть велик. Для повышения точности на отрезке [a ,b] вводят достаточно густую сетку a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b (разбивают отрезок на n частей). Ин-
теграл разбивают на сумму интегралов по шагам сетки и к каждому шагу при-
меняют формулу (14.5). Получают общую (обобщенную) формулу трапеций:
|
|
b |
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
∫ f (x)dx ≈ |
∑(xi − xi−1 ) ( fi−1 + fi ), |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
a |
|
|
2 i=1 |
|
|
|
|
|
(1.14) |
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
R ≈ − |
|
|
∑(xi − xi−1 )3 f ′′(xi ) |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
12 |
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
На равномерной сетке она упрощается: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
b |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
∫ f (x)dx ≈ h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f0 |
+ f1 + f2 |
+ ...+ fn−1 + |
|
|
fn |
, |
|||||
|
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.15) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
R ≈ − |
∑h3 f ′′(xi )≈ − |
|
|
|
h2 ∫ f ′′ |
(x)dx , h = xi |
− xi−1 = const |
||||||||||||
12 |
12 |
|
|||||||||||||||||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|||||
Пример расчета представлен на рис. 1.2
Формула (1.13) не всегда удобна при вычислениях, поэтому в большинстве случаев применяют оценку погрешности по методу Рунге:
R = |
Ih − I2h |
(1.16) |
|
3 |
|||
|
|
Где Ih и I2 h - значения интеграла вычисленные на сетке с одинарным и двойным шагом разбиения соответственно.
8
9
Рис. 1.2 Пример расчета по методу трапе-
ций в Microsoft Excel