Спецкурс численные методы.

2

СОДЕРЖАНИЕ

1.ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ И ПРОБЛЕМЫ, ВОЗНИКАЮЩИЕ ПРИ ИХ РЕШЕНИИ. ИСТОЧНИКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА………………………3

2.ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ, НЕОБХОДИМЫЕ ДЛЯ АНАЛИЗА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ И ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕШЕНИЙ……………………………………13

3.ПОНЯТИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ЧИСЛЕНЫХ МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ОБЫКНОВЕННЫХ И ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ…………………………………………………………………………………...24

4.ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ. МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ………………………………………………………………………………………...31

5.МЕТОД НЬЮТОНА. МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД НЬЮТОНА. МЕТОД СЕКУЩИХ…………………………………………………………………………………………46

6.ДИСКРЕТИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВА. МЕТОДЫ РИТЦА И БУБНОВА-ГАЛЁРКИНА…………………………………………………………………………56

7.МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ…………………………………………………………………74

8.АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА СОБСТИЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ……………………………………………………….101

9.СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА………………………………………………………111

10.РЕКОМЕНДОВАННАЯ

ЛИТЕРАТУРА………………………………………..…………………..……………………….118

3

ЧМ-1. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ И ПРОБЛЕМЫ, ВОЗНИКАЮЩИЕ ПРИ ИХ РЕШЕНИИ. ИСТОЧНИКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА

1.1. Входная информация для самопроверки

Для изучения данной темы Вам необходимо восстановить в памяти:

-из курса прикладной математики – понятия: линейной алгебры, векторной алгебры, последовательности, предела, производной, неопределённого интеграла, определённого интеграла, функционального ряда, ряда по ортогональной системе функций, дифференциальных уравнений;

-из курсов сопротивления материалов и строительной механики – механические свойства материалов; дифференциальные уравнения растяжения и изгиба стержня и пластины; вариационные принципы; вариационные методы; основные понятия устойчивости систем; основные понятия динамики систем; канонические системы уравнений; матрица податливости; матрица жёсткости.

1.2.Содержание темы

1.2.1.Основные задачи строительной механики и проблемы, возникающие при их

решении

Для описания процессов, происходящих в природе, конструкциях, машинах, механизмах или приборах, используется язык математики. Во – первых, он позволяет точно, определённо, лаконично и однозначно описать существенные черты этих процессов и задачи, которые должен решать инженер; во – вторых, в отличие от других языков, он содержит в себе методы решения этих задач.

Такие описания называются «математическими моделями» изучаемых процессов. Они всегда приближённы (не полностью адекватны изучаемым явлениям). Это объясняется сложностью и недостаточной изученностью изучаемых объектов и протекающих в них процессов, их стохастичностью, требованием разрешимости получаемых при моделировании математических задач, необходимостью соразмерять сроки, трудоёмкость и стоимость исследования с потребностями исследуемой технической области. Это обстоятельство следует иметь ввиду, решая вопрос о выборе методов решения математических задач, возникающих при моделировании. Во всех практически важных случаях математическая задача либо не имеет точного решения, либо это решение неизвестно, либо оно неоправданно сложно. Неполная адекватность модели, а также наличие других источников погрешности, делает применение приближённых методов вполне допустимым и даже целесообразным. Приближённые методы, ориентированные на получение результатов в численном виде (обычно при помощи компьютеров) называют численными методами.

Рассмотрим вкратце, как это происходит, на примере задач, возникающих в работе инженеров, которым приходится оценивать прочность конструкций. Теоретической основой расчётов конструкций на прочность, жёсткость и колебания является строительная механика

вшироком смысле этого слова: сопротивление материалов, строительная механика в узком смысле, механика деформируемого твёрдого тела. Какие математические модели используют эти науки?

4

1.Квазистатическое (при пренебрежимо малых ускорениях) деформирование стержневых конструкций описывается краевыми задачами для обыкновенных дифференциальных уравнений или их систем.

2.Квазистатическое деформирование плит, оболочек и массивов описывается краевыми задачами для дифференциальных уравнений в частных производных и их систем.

3.Задачи деформирования стержневых систем описываются векторно – матричными уравнениями, их колебания и некоторые задачи их устойчивости в математическом отношении являются задачами на собственные значения матриц.

4.Многие задачи устойчивости стержневых конструкций, плит и оболочек в математическом отношении являются задачами на собственные значения этих краевых задач

5.Динамика таких конструкций описывается начально – краевыми задачами для дифференциальных уравнений в частных производных или их систем, в том числе – проблемой собственных значений для этих задач.

6.Длительное деформирование конструкций и систем (с учётом ползучести материала) описывается начально – краевой задачей для системы интегро - дифференциальных уравнений.

7.В других областях инженерной деятельности возникают проблемы, связанные с необходимостью учёта стохастичности свойств конструкций, а также нагрузок и воздействий на них.

При выполнении сложных расчётов возникает ряд проблем. Рассмотрим четыре класса таких проблем.

1.Большая часть величин, с которыми приходится иметь дело при разработке или выполнении расчёта, являются действительными числами, то есть, могут оказаться бесконечными дробями. Возникает противоречие между необходимостью задавать числа бесконечными дробями и возможностью записывать числа только с конечным количеством цифр. Оно преодолевается «округлением» чисел, участвующих в расчёте.

2.Всякая конструкция заполняет некоторую пространственную область, содержащую бесконечно много точек, следовательно, она имеет бесконечно много степеней свободы. Для полного описания состояния конструкции нужно в каждой из этих точек задать перемещения, деформации и усилия, то есть, задать бесконечно много чисел. Таким образом, состояние описывается функциями точки (функциями координат). Законы природы и вытекающие из них законы поведения конструкций или технических устройств могут включать не только сами эти функции, но и их производные или интегралы по координатам и времени, что приводит к использованию дифференциальных, интегральных или интегродифференциальных уравнений или их систем. Возникает противоречие между потребностью задать бесконечно много чисел и возможностью задать и обработать ограниченное их количество и связанное с ним противоречие между необходимостью решать уравнения указанных типов (вернее, краевые или начально – краевые задачи для них) и отсутствием замкнутых решений для более или менее сложных практически важных случаев. Эти противоречия преодолеваются приближёнными приёмами, которые называются

дискретизацией (либо области, на которой задана задача, либо множества функций, используемых для описания некоторых исходных данных и решения). Дискретизация должна сопровождаться аппроксимацией точного решения либо на дискретной области, либо при помощи выбранного нами ограниченного набора функций.

3.Малая часть математических задач, встречающихся при выполнении инженерных расчётов, может быть выполнена за конечное число шагов по окончательным формулам. Примером такого расчёта, выполнимого за конечное число шагов, является решение систем линейных алгебраических уравнений. Оно может быть выполнено за конечное число шагов, например, методом Гаусса. В то же время для строительных материалов (бетон, железобетон,

5

древесина, современные марки стали) характерна нелинейная зависимость между напряжениями и деформациями; при увеличении деформаций (возможное в тонкостенных конструкциях) становится заметной их нелинейная зависимость от перемещений; при больших перемещениях уравнения равновесия также становятся нелинейными (их коэффициенты всё сильнее зависят от перемещений). Таким образом, возникает задача решения нелинейных функциональных, дифференциальных, интегральных или интегродифференциальных уравнений или их систем. Точнее говоря, инженера обычно интересует не общее решение дифференциального уравнения, а частное решение, соответствующее конкретным краевым или начально – краевым условиям, то – есть, его интересует решение краевой или начально – краевой задачи. Для таких задач в практически интересных случаях, как правило, отсутствует решение, описываемое замкнутыми формулами и осуществляемое за конечное число шагов. В этом случае применяется большая группа приближённых методов, которые объединены под названием «методы линеаризации».

4. При изучении явлений колебаний и потери устойчивости деформирования конструкций и их систем возникает задача определения тех значений параметров, при которых задача имеет ненулевые решения (в последнем случае исследование может не ограничиться этой задачей). В практически важных более или менее сложных случаях также решить эту задачу «точно» (в рамках принятой модели) по каким – то конечным формулам или за конечное число шагов невозможно. Эта проблема, называемая «проблемой собственных значений (матрицы, дифференциального оператора или краевой задачи)», также преодолевается при помощи специальной группы приближённых методов, называемых

методами определения собственных значений и собственных элементов (векторов, функций) матрицы или дифференциального оператора (иногда в последнем случае говорят «методы определения собственных значений и собственных функций краевой

задачи»).

1.2.2. Источники погрешности

Так как приближённые инженерные расчёты предназначены для непосредственного использования при создании ответственных конструкций и их систем (объектов строительства), возникает проблема оценки достоверности их результатов, иначе – погрешности вычислений. Различают четыре группы источников погрешности.

1.Погрешности округления.

2.Погрешности исходных данных.

3.Погрешности модели.

4.Погрешности методов решения математических задач, созданных в процессе моделирования.

В настоящем спецкурсе рассматриваются погрешности четвёртой группы.

При разработке новых приближённых методов или оценке существующих методов и реализующих их компьютерных программ возникает проблема оценки их качества. В качестве показателей качества естественно принимать некоторые характеристики, оценивающие создаваемые ими погрешности, трудоёмкость подготовки исходных данных и интерпретации результатов расчёта, ожидаемое время счёта и потребность в ресурсах памяти для задач различных типов и размеров. Остановимся на двух концептуальных обстоятельствах, важных для оценки погрешности приближённого метода. Такая оценка всегда связана со сравнением приближённого и точного решений. Первое из указанных обстоятельств может быть охарактеризовано следующим образом.

Показателями качества можно пользоваться, когда они являются элементами упорядоченного множества, с тем, чтобы можно было сравнивать такие показатели для различных методов или параметров методов, а также с допускаемыми величинами. Удобнее всего для этой цели применять числа. Пусть точное решение задачи существует и является

6

числом u; в результате некоторого численного процесса получено приближённое решение u~. Как известно, в этом случае обычно погрешность характеризуется числом u u~ .

Таким образом, в этом случае оценка погрешности метода max вполне может быть характеристикой качества метода.

Теперь рассмотрим более сложный случай, когда решение является вектором; точное решение обозначим u u1,u2 ,... , приближённое - u~ u~1,u~2 ,... . Разность векторов уже

является числом, а не вектором, и модуль этого вектора не всегда может нас удовлетворить в качестве оценки качества приближения, так как не позволяет проконтролировать погрешность определения отдельных компонент. Иногда это может быть очень важным – например, когда решением является вектор изгибающих моментов в различных сечениях стержня. В то же время контроль отклонения одноимённых координат векторов может быть неоправданно трудоёмким или вообще невыполнимым. Аналогичная ситуация возникает, если решение является функцией (координат и/или времени); при этом тоже возникает проблема целесообразного выбора числового показателя отклонения одной функции от другой.

Второе обстоятельство не связано с тем, какой вид имеют приближённое и точное решения и заключается в том, что точное решение нам не известно (иначе не было бы необходимости применять точный метод). Поэтому метод можно охарактеризовать не погрешностью, а некоторой её оценкой. Обычно это оценка погрешности сверху. Такая оценка должна быть получена в результате анализа метода (либо изучения литературных источников) и исходных данных решаемой задачи.

Таким образом, разработка приближённого метода или его выбор из имеющихся должны быть подчинены требованию: оценка погрешности метода в данной задаче не должна превосходить некоторой заданной величины.

Исходя из этого, цель настоящего спецкурса – сообщить слушателю некоторые основополагающие сведения, необходимые для достижения этой цели.

Другие показатели качества приближённых методов должны изучаться другими средствами в других спецкурсах.

1.2.3. Некоторые понятия теории множеств

При изложении теоретических основ приближённых математических методов используются некоторые понятия теории множеств. Напомним их.

Определения понятия множества мы вводить не будем, так как имеющиеся определения по необходимости предельно абстрактны и не нужны для понимания дальнейшего материала; нам будет достаточно полуинтуитивного понимания, вынесенного из средней школы. Ограничимся напоминанием отдельных понятий.

Сточки зрения нашего спецкурса интересны такие примеры:

-конечных множеств – множество узлов фермы или рамы, множество членов конечной последовательности, множество членов конечного отрезка ряда;

-счётных множеств – множества элементов бесконечной последовательности, множество элементов ряда, множество частичных сумм ряда;

-несчётных множеств – множества точек отрезка произвольной длины, множества точек произвольной области на поверхности или в пространстве, множества возможных значений механических характеристик материалов или интенсивностей нагрузок и воздействий.

Приближённое моделирование процессов на несчётных множествах процессами на дискретных множествах и составляет сущность приёмов дискретизации. Естественно, при выполнении практических расчётов используются только конечные множества (для операций на счётных множествах никогда не хватит ни памяти компьютера, ни времени на выполнение

7

вычислений). Счётные множества используются для аналитических исследований как предельный случай.

1.2.4. Некоторые понятия функционального анализа

Теоретической основой численных методов является математическая дисциплина, которая называется функциональным анализом. Она возникла в 20-х годах прошлого века как обобщение некоторых положений элементарной геометрии, векторной и линейной алгебры, математического анализа, теории дифференциальных уравнений, теории интегральных уравнений. Подсказываемые функциональным анализом аналогии с этими привычными положениями стимулируют интуитивное принятие решений в далёких от них областях. В процессе своего развития функциональный анализ выработал мощный математический аппарат, без которого просто невозможны ни решение важнейших проблем самой математики, ни разработка, понимание и грамотное применение численных методов. Для дальнейшего необходимо ознакомиться с некоторыми достаточно элементарными определениями и положениями функционального анализа.

Одним из основных, наиболее часто используемых в численных методах, понятий является понятие пространства. Оно является очень далёким обобщением привычного нам одноимённого понятия элементарной геометрии. Как пространство элементарной геометрии может рассматриваться как множеством своих точек, так и абстрактное пространство является множеством элементов неопределённой абстрактной природы. Для геометрического пространства используются понятия точки, системы координат, расстояния, вектора, ортогональности, проектирования и многие другие. Для наиболее важных для нас пространств функционального анализа вводятся (с большой пользой для приложений) обобщения этих понятий. В рамках самого функционального анализа на абстрактном уровне, не конкретизируя природу элементов пространства, а только постулируя их свойства, исследуются те или иные ситуации и устанавливаются различные математические факты, которые часто после конкретизации их природы оказываются полезными в приложениях. Конкретные примеры элементов пространств, важных в приложениях – векторы, функции, вектор-функции. Но более интересные пространства возникают, когда в них вводятся дополнительные условия. В качестве таких условий могут выступать отношения (например, отношения порядка – «предшествующий – последующий», «больший – меньший», «дальше – ближе») или операции (обобщения операций типа арифметических операций, определения длины вектора, дифференцирования, интегрирования и т.п.), а также некоторые другие условия, в рамках настоящего курса не рассматриваемые. Кроме того, элементами пространства могут быть другие пространства.

Приведём примеры пространств, используемых в дальнейшем изложении. Пространство Rn - множество векторов (в смысле линейной алгебры), содержащих

nкомпонент каждый.

Пространство C – множество непрерывных функций ( C(a,b), C[a,b] - множества функций, непрерывных на (a,b), соответственно на [a,b]).

Пространство Cn - множество функций, непрерывных вместе со своими первыми nпроизводными (C(a,b), C[a,b]- см. выше).

Пространство Cnm - множество вектор-функций с количеством компонент m, причём

каждая компонента непрерывна вместе со своими первыми n производными (указания на область определения – как выше).

Пространство L2 (можно L2[a,b]) - множество функций, для которых на [a,b]

существует интеграл

8

b

[ f (x)]2 dx .

a

Одним из основных понятий математического и функционального анализа является знакомое из курса прикладной математики понятие функции. Должны быть указаны два множества чисел – область определения функции и её область значений. Функция каждому числу из своей области определения ставит в соответствие (обычно – однозначное соответствие) некоторое число из своей области значений.

Одним из обобщений понятия функции является понятие функционала. Для него также указывается область определения и область значений, но областью определения функционала является уже не множество чисел, а некоторое множество функций; область его значений – по прежнему числовое множество. Примеры функционалов: потенциальная

прогибов; работа постоянной по времени нормальной нагрузки на стержень интенсивности

l

p(x) A p(x)v(x)dx с двумя аргументами v(x), p(x). И потенциальная энергия в

0

состоянии, задаваемом прогибом v(x), и работа нагрузки к моменту, когда прогиб будет

описываться этой функцией, - это числа, и они зависят не от чисел, а от функций, то – есть, являются функционалами.

Более общим понятием является понятие оператора. Оператор устанавливает соответствие между любыми элементами, абстрактными (природа которых никак не конкретизирована) или такими, которые заданы указанием на их смысл (векторами, функциями и т.д.), принадлежащими к двум множествам (возможно разной природы) – области определения X и области значений.Y .

Если каждому элементу x X поставлен в соответствие некоторый элемент y Y ,

функционал – частные случаи оператора с областями определения, заданными в числовом множестве и на множестве функций и с областями значений, заданными в числовом множестве. Иногда в специальной литературе функцией называют и собственно функцию, и функционал, и оператор – соответствие между множествами любой природы (отображение множеств любой природы друг на друга).

9

Понимать

условность понятия «точный метод расчёта», его неприменимость при выполнении практических расчётов;

необходимость применения приближённых методов.

Уметь различать в специальном тексте операторы, функционалы, функции.

1.4. Выход темы в другие темы и дисциплины

Данная тема имеет выход в последующие разделы спецкурса и в курс строительной механики.

1.5.Тест - контроль для самопроверки

1.1.Какие математические задачи возникают при анализе квазистатического деформирования стержней?

А. Задача решения векторно – матричного уравнения.

Б. Краевая задача для системы дифференциальных уравнений в частных производных.

В. Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения или систем таких уравнений.

Г. Начально – краевая задача для систем дифференциальных уравнений в частных производных.

1.2. Какие математические задачи возникают при анализе квазистатического деформирования стержневых систем?

А Задача решения векторно – матричного уравнения

Б. Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения или систем таких уравнений.

В. Начально – краевая задача для систем дифференциальных уравнений в частных производных.

Г. Начально – краевая задача для систем интегродифференциальных уравнений.

1.3. Какие математические задачи возникают при анализе колебаний стержневых систем?

А. Начально – краевая задача для систем интегродифференциальных уравнений

Б. Задача определения собственых значений и собственных векторов матриц

В. Начально – краевая задача для систем дифференциальных уравнений в частных производных.

Г. Задача на определение собственных значений и собственных функций краевой задачи для дифференциальных уравнений в частных производных.

10

1.4. Какие математические задачи возникают при анализе устойчивости стержневых систем?

А. Начально – краевая задача для систем интегродифференциальных уравнений

Б. Задача определения собственых значений и собственных векторов матриц

В. Начально – краевая задача для систем дифференциальных уравнений в частных производных.

Г. Задача на определение собственных значений и собственных функций краевой задачи для дифференциальных уравнений в частных производных.

1.5. Какие математические задачи возникают при анализе устойчивости стержней, плит, оболочек?

А. Начально – краевая задача для систем интегродифференциальных уравнений

Б. Задача определения собственых значений и собственных векторов матриц

В. Начально – краевая задача для систем дифференциальных уравнений в частных производных.

Г. Задача на определение собственных значений и собственных функций краевой задачи для дифференциальных уравнений в обыкновенных производных и в частных производных.

1.6. Какие математические задачи возникают при анализе длительного деформирования конструкций и их систем?

А. Начально – краевая задача для систем интегродифференциальных уравнений

Б. Задача определения собственых значений и собственных векторов матриц

В. Начально – краевая задача для систем дифференциальных уравнений в частных производных.

Г. Задача на определение собственных значений и собственных функций краевой задачи для дифференциальных уравнений в обыкновенных производных и в частных производных.

1.7. Как преодолевается проблема с обработкой действительных чисел при ограниченной памяти компьютера?

А. Линеаризацией.

Б. Дискретизацией системы с последующей аппроксимацией решения на дискретном множестве.

В. Округлением чисел.

Г. Решением задачи на определение собственных значений и собственных векторов или функций матрицы или краевой задачи.