Оглавление

Введение 4

1. Основные понятия теории вероятностей и математической статистики 5

1. 1. Событие. Вероятность события 5

1. 2. Наблюдения и оценка их результатов 5

1. 3. Основные теоремы теории вероятности 9

Задачи к разделу 1 9

2. Основные показатели надежности 10

Задачи к разделу 2 14

3. Определение показателей надежности сооружений 17

3. 1.Расчет показателей надежности систем с последовательным соединением элементов 17

3. 2. Расчет показателей надежности резервированных систем 19

Задачи к разделу 3 26

Литература 35

Введение

Изучение курса «Надежность инженерных систем городского хозяйства» студентами включает в себя самостоятельную работу по усвоению теоретического материала, изложенного в конспекте лекций и в рекомендованной литературе.

Целью практических занятий является закрепление студентами теоретического курса, изучение норм и правил. Методические указания призваны помочь студентам хорошо понять теорию надежности и получить навыки решения практических задач.

В методических указаниях рассматриваются основные понятия теории вероятностей и математической статистики, основные показатели надежности, а также вопросы надежности невосстанавливаемых и восстанавливаемых, нерезервированных и резервированных систем, приводятся примеры решения отдельных задач в каждом разделе. На практических занятиях изучаются особенности критериев надежности технических систем, методы оценки надежности, свойства и эффективность различных методов повышения надежности систем городского хозяйства.

1. Основные понятия теории вероятностей и математической статистики

1. 1. Событие. Вероятность события

Событие - это всякий факт, который может произойти или не произойти. Примерами событий могут быть: размыв креплений в плотине, невозможность открытия затвора, разрыв трубопровода и т. д.

В зависимости от конкретных условий все события обладают той или иной степенью возможности. Для ее количественной оценки используют понятие вероятности события, которое является численной мерой степени объективной возможности события.

Если возможные исходы события симметричны и одинаково возможны, то его вероятность определяется по формуле:

, (1.1)

где Р(А) – вероятность события А;

n – общее число случаев;

m – число случаев, благоприятных событию А.

Для событий, не обладающих симметрией и не сводящихся к схеме случаев, используют понятие частоты события или статистической вероятности:

, (1.2)

где Р^*(А) – относительная частота, или статистическая вероятность события А;

n – общее количество произведенных опытов;

m – число появлений события А.

1. 2. Наблюдения и оценка их результатов

Результаты наблюдений за объектами техники представляют собой случайные величины, поскольку зависят от случайной комбинации различных факторов. Случайные величины могут быть непрерывными или дискретными. Непрерывная случайная величина может принимать любое численное значение. Дискретная – принимает только счетные (целые) значения. Например, число аварий может быть только целым.

Случайная величина обозначается обычно буквой (Х). Если проводить бесконечное количество измерений случайной величины Х, то множество их результатов представляет собой генеральную совокупность. На практике это невозможно, количество измерений имеет конечное значение (n). Набор измеренных значений (х₁, х₂, х₃ . . . х_n) называется выборкой объема (n) из генеральной совокупности, или просто выборкой. Величина колеблется от значениядо значения. Желательный объем выборки – не менее 35-40 значений величины.

Одной из характеристик выборки является среднее или среднеарифметическое значение измерений. Это среднее значение обычно обозначается (если случайная величина обозначена черезх):

. (1.3)

Кроме того, к числу характеристик относят интервал значений, медиану, частоту события, вероятность события, дисперсию и т.д.

Рассмотрим на примере, какие параметры применяются чаще всего и как они вычисляются.

Пример. В процессе измерения срока службы 50 ртутно-кварцевых ламп получены следующие значения (упорядоченные), ч, представленные в таблице 1. 1:

Таблица 1. 1. Результаты испытаний ламп. Таблица наблюдаемых значений (n=50)

3520	3710	3790	3840	3890	3940	3960	3980	4070	4250
3570	3730	3810	3850	3910	3950	3960	4010	4080	4280
3610	3750	3810	3880	3910	3950	3970	4010	4130	4360
3630	3770	3820	3880	3910	3950	3980	4020	4150	4390
3670	3780	3830	3880	3930	3960	3980	4050	4180	4460
= 3854,6								=192730

Наибольшее значение - 4460, а наименьшее - 3520. Разность между максимальным и минимальным значением называется интервалом или вариацией (940). Среднее значение этих двух величин носит название середины интервала (для табл. 2. 1 середина интервала равна 3990). Интервал является характеристикой разброса значений случайной величины х.

Число, которое делит ряд измерений на две равные части, называется медианой. В данном случае медиана принимается равной 3935, что является средней величиной между двумя центральными 3930 и 3940. Если число n – нечетное, то центральное число и принимается за медиану.

Ясное представление о ряде измерений позволяет получить таблица частот появления событий в каждом отрезке на всем интервале измерений. Для определения частот интервал разбивают на ряд отрезков, количество отрезков зависит от количества измерений n. Рекомендации для их выбора приведены в табл. 1. 2.

Таблица 1. 2. Зависимость числа интервалов от количества измерений

Число измерений, n	Число интервалов, К
40-100	7-9
100-500	8-12
500-1000	10-16
1000-10000	12-22

Таблица, конечно, не догма, а только ориентир. В нашем примере возьмем для простоты К=10, а интервал значений будем считать от 3500 до 4500. Затем подсчитывают количество измерений попавших в каждый интервал, и эти величины называют наблюдаемой частотой. Чтобы далее не зависеть от натуральных значений результатов измерений, наблюдаемая частота m_i пересчитывается в относительную m_i/n. Результаты расчетов сводим в табл. 1. 3.

Таблица 1. 3. Результаты обработки измерений срока службы ламп

Интервал	3501-3600	3601-3700	3701-3800	3801-3900	3901-4000	4001-4100	4101-4200	4201-4300	4301-4400	4401-4500
Наблюдаемая частота, mi	2	3	6	10	15	6	3	2	2	1
Относительная частота, mi/n	0,04	0,06	0,12	0,20	0,30	0,12	0,06	0,04	0,04	0,02
Накопленная частота, mi/n	0,04	0,10	0,22	0,42	0,72	0,84	0,90	0,94	0,98	1,00

На основании данных табл. 1. 3 строим график изменения относительной частоты по интервалам (рис. 1. 1).

Рис. 1. 1. Гистограммы дифференциального и интегрального распределения.

Полученная диаграмма в виде ломаной линии (столбиков в каждом интервале) носит название гистограммы дифференциального распределения. Ординаты на графике называются относительной частотой. Если гистограмма строится на основе генеральной совокупности, то относительная частота будет являться вероятностью попадания измерения внутрь определенного интервала. В этом случае число интервалов должно быть бесконечно большим, а ширина очень малой и ломаная линия превратится тогда в кривую, которая называется функцией распределения плотности вероятностей и обозначают эту функцию f(x). Значение х, при котором f(x) достигает максимального значения называется модой распределения. В данном примере мода  3950. Обычно мода (если она одна) соответствует наиболее часто встречающейся величине в измерениях. Судя по форме гистограммы, распределение срока службы ламп подчиняется нормальному закону.

Если относительные частоты суммировать от интервала к интервалу, то получаем накопленные частоты. Ломаная линия, построенная по данным табл. 1. 3 и отражающая изменения накопленной частоты, называется гистограммой интегрального (суммарного) распределения (рис. 1. 1). Если число измерений довести до бесконечности, а величину интервала сделать бесконечно малой, то гистограмма превратится в кривую интегрального распределения вероятности. Формула этой кривой F(х) носит название интегрального закона распределения.

Обычно плотность распределения и функция распределения сосредоточены на определенном отрезке (а; b). За пределами этого отрезка f(x)=0. В данном примере - (3500; 4500). Вид функции плотности распределения зависит от характера измеряемой случайной величины.

Когда число измерений в выборке велико, то интервал (а; b) недостаточно характеризует разброс значений случайной величины х. Более удобной количественной характеристикой является дисперсия S²:

при n, (1.4)

при n. (1.5)

Среднеквадратичное отклонение . Отношениеназываюткоэффициентом вариации и обозначают через C_.

По форме гистограммы дифференциального распределения судят о виде кривой дифференциального распределения (функции распределения плотности вероятности): экспоненциальное, Пуассона, биноминальное, нормальное и т. д. На основе этого принимается решение о законе дифференциального распределения величины х.

Подобные вычисления проводятся при обработке результатов испытаний элементов технических систем на надежность.