БГЭУ 2006

лекции по высшей математике для студентов I курса

ст. преподавателя, к. физ.-мат. н. Поддубной О.Н

Лекция 3

числа, удовлетворяющие следующим условиям

1)

G

+

G

G

- коммутативность сложения;

a

b =

b + a

2)

G

G

G

G

+

G

a

+ ( b +

с ) = ( a

b )+ с -ассоциативность сложения;

3)

имеется

нулевой

вектор

0 (или нуль вектор), удовлетворяющий

G

G

G

для любого вектора a ;

условию a

+ 0 =

a

4) для любого вектора aG

существует противоположный ему вектор −a

такой, что

G

G

a +(- a ) = 0 ;

5) 1 aG = aG; 0 a 0G

6) (α β) a

)

G

– ассоциативность умножения

7)

(α+β) a

+

G

-

дистрибутивность относительно числового

a

βa

множителя

G

αaG

8)

α( aG

+

+ αb

-дистрибутивность относительно векторного

b ) =

БГЭУ 2006

лекции по высшей математике для студентов I курса

ст. преподавателя, к. физ.-мат. н. Поддубной О.Н

Линейная зависимость (независимость) векторов

aG

,aG

,...,aG

(3.1)

1

2

n

Линейной комбинацией векторов a1 , a2 ,..., an называется новый вектор,

равный сумме произведений данных векторов на некоторые числа:

bG =α

aG +α

2

aG

+... +α

n

aG

(3.2)

1

1

2

n

Векторы aG

, aG

,..., aG

называются линейно зависимыми, если существует

1

2

n

α aG

aG

aG

такая линейная комбинация

+α

2

+... +α

n

n

= 0 , при

не равных

нулю

одновременно αi , т.е. α12

1 1

2

+α22

+... +αn2

≠ 0 .

Другими словами:

для того,

чтобы

векторы a1 , a2 ,..., an

были

линейно

зависимыми

необходимо и достаточно,

Если

же равенство α aG

+α

aG

+... +α

n

aG

n

= 0 выполняется только при

1 1

2

2

α1 =α2

=... =αn = 0 , то векторы называются линейно независимыми.

называется базисом линейного пространства L.

Пусть

система векторов e ,eG

,...,eG

–базис

пространства линейного

пространства

L

1 2

n

. Будем считать порядок векторов в базисе заданным так, что,

например,

eG

,eG

,...,eG –другой базис. Пусть

теперь

b – произвольный вектор

2

1

n

,...,eG :

пространства

L . Тогда bGвыражается через базис e ,eG

G

G

G

G

1

2

n

(3.3)

b = β e

+ β e

+... + β e

1

1

2 2

n n

БГЭУ 2006

лекции по высшей математике для студентов I курса

ст. преподавателя, к. физ.-мат. н. Поддубной О.Н

Представление вектора

b в виде (3.3)

называют разложением его по

базисным

векторам,

а

коэффициенты

β1, β2 ,..., βn –

координатами

(компонентами) вектора bG

в базисе e ,eG ,...,eG .

1

2

n

Следствие 2: В линейном пространстве L размерности n , любая

система, содержащая m векторов, линейно зависима при m > n .

Теорема 1. Координаты вектора в заданном базисе определены

однозначно.

Доказательство.

Пусть eG

,eG

,...,eG –

базис пространства L размерности n ,

и для вектора b

1

2

n

наряду с (3.3) существует еще разложение

G

G

+γ

G

+... +γ

G

(3.4)

b

=γ e

e

n

e

1 1

2 2

n

Вычитая из равенства (3.3) равенство (3.4) почленно, получим

0G

= (β −γ

1

)eG

+ (β

2

−γ

2

)eG

+... + (β

n

−γ

n

)eG

1

1

2

n

eG

Из последнего равенства ввиду линейной независимости векторов базиса

,eG ,...,eG следует β

i

−γ

i

= 0, i =1,2,...,n , т.е. β

i

=γ

, i =1,2,...,n .

1

2

n

i

Теорема доказана.

Любой упорядоченный набор из n действительных чисел a1, a2 ,Ga3 ,...., an

называется n -мерным вектором a . Координаты n -мерного вектора a

можно

расположить либо в строку aG

= (a ,a ,...,a ) –вектор-строка

a

1 2

n

либо в столбец aG

1

= a2

– вектор-столбец.

...

an

Вектор, все координаты которого равны нулю, называется нулевым

вектором 0G = (0,0,...,0) .

С учетом введенного понятия координат линейные операции над

векторами могут быть определены посредствам их координат.

Суммой двух векторов aG

и b называется третий вектор cG,

координаты

которого равны суммам соответствующих координат этих векторов

cG = (a +b , a

+b , a +b ,....,a

+ b )

(3.5)

1

1

2

2

3

3

n

n

Произведением вектора a на любое действительное число α

называется вектор

dG

=α aG,

координаты

которого получаются умножением

соответствующих координат вектора

a на это число α :

dG = (αa1,α a2 , αa3 ,....,αan )

(3.6)

БГЭУ 2006

лекции по высшей математике для студентов I курса

ст. преподавателя, к. физ.-мат. н. Поддубной О.Н

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов a

и b

называется число,

равное сумме

произведений соответствующих координат:

G

G

= a b

+ a b +... + a b

(3.7)

a

b

1 1

2 2

n n

Определим длину или модуль вектора a

как корень квадратный из скалярного

произведения вектора

aG

самого на себя:

aG

=

(aG,aG)

(3.8)

Подставляя (3.2) в (3.3), получаем:

aG

(aG, aG) =

n

=

a12 + a22 +... + an2

=

∑ai2

(3.9)

n

G

G

a1b1 + a2b2 +... + anbn

∑aibi

cosϕ =

a

b

i=1

(3.10)

G

G

=

=

2

2

2 2

2

2

n

n

a

b

(a1

+ a2

+... + an )(b1

+b2 +

... +bn )

∑ai2

∑bi2

i=1 i=1

Из определения скалярного произведения следуют его основные свойства:

1)

G

G

G

G

a

b

= b a ;

G

GG

G

G

G

2)

(GαaG)b = a(GαbG) =αG

(ab) , где α –действительное число;

3)

a ( b + c )= a b

+ a c ;

4)

aG

aG

=

aG

2 ≥ 0 , причем aG aG = 0 aG = 0 .

G

Векторы aG

и

назовем ортогональными, если их скалярное произведение

b

G

G

= 0 .

равно нулю a

b

Вид

Кол-во

Расход сырья,

Норма времени

Цена изделия,

изделий

изделий

кг/изд.

изготовления, ч/изд.

ден.ед/изд.

1

20

5

10

30

2

50

2

5

15

3

30

7

15

45

4

40

4

8

20

БГЭУ 2006

лекции по высшей математике для студентов I курса

Решение.

ст. преподавателя, к. физ.-мат. н. Поддубной О.Н