БГЭУ 2006

лекции по высшей математике для студентов I курса

ст. преподавателя, к. физ.-мат. н. Поддубной О.H.

Дифференциальное исчисление функции

одной переменной

Лекция 14

f ′(x0 ) = lim

f (x0 + ∆x) − f (x0 )

= lim

∆y

(14.1)

∆x

∆x

∆x→0

∆x→0

f(x0+∆x)

|M

P

∆f

f(x0)

M0

α

β

∆x

0

x0

x0 + ∆x

x

lim tgβ = lim

∆y

= f ′(x0 ) = tgα ,

(14.2)

∆x→0

∆x→0

∆x

y − y0

= f ′(x0 )(x − x0 )

(14.3)

Уравнение нормали к кривой:

y − y

= −

1

(x − x )

(14.4)

0

f ′(x0 )

0

Тогда

разность

∆s = f (t0 +∆t) − f (t0 ) есть

путь, пройденный

за интервал

времени ∆t , а

отношение ∆s = v

–средняя

скорость за время

∆t . Предел

∆t

ср.

∆s

lim

= f ′(t0 ) = vмгн. определяет мгновенную скорость точки в момент времени

∆t→0

∆t

t0.

Односторонние производные функции в точке

отношение существует.

∆y

f (x0

+ ∆x) − f (x0 )

f+′(x0 ) =

lim

=

lim

(14.5)

∆x

∆x→0+ ∆x

x→x0 +0

f−′(x0 ) =

lim

∆y

=

lim

f (x0

+ ∆x) − f (x0 )

(14.6)

∆x

∆x→0− ∆x

x→x0 −0

справедливы следующие формулы:

1)

(u ± v)′= u′± v′

(14.7)

2)

(u v)′= u v′+ u′v

(14.8)

lim

∆y

= u lim

∆v

+ v lim

∆u

+ lim

∆v ∆u ,

∆x→0

∆x

∆x→0

∆x

∆x→0

∆x

∆x→0

∆x

∆v

∆v

Рассмотрим последнее слагаемое

lim

∆u = lim

lim

′

0 ( lim ∆u = 0 ,

∆x

∆x

∆u = v

∆x→0

∆x→0

∆x→0

∆x→0

откуда получаем: y

′

′

′

′

′

′

′

= u v

+ uv

+ v

0 или (uv)

= u v + uv .

Производные основных элементарных функций

1) С′ = 0;

9) (sin x)′ = cos x

′

=1;

10)

′

2) x

(cos x) = −sin x

α

′

α−1

′

1

3)

(x

)

=αx

11) (tgx) =

cos2 x

4) (

x )′ =

1

12) (ctgx)′ = −

1

2 x

2

x

′

sin

x

x

′

1

5)

(e

)

= e

13) (arcsin x)

=

1− x2

′

x

x

′

1

6) (a

)

= a

ln a

14) (arccos x)

= −

1

− x2

′

1

′

1

7)(ln x)

= x

15) (arctgx) =

1+ x2

′

1

′

1

8) (loga x)

=

16) (arcctgx)

= −

x ln a

1+ x2

БГЭУ 2006

лекции по высшей математике для студентов I курса

ст. преподавателя, к. физ.-мат. н. Поддубной О.H.

Составим отношение

∆y

=

ax (a

∆x −1)

.

∆x

∆x

Устремляя ∆x → 0

и переходя к пределу, получаем:

lim

∆y

= lim

ax (a∆x −1)

= a

x

lim

a∆x −1 a∆x −1 ∆x ln a

a

x

lim

∆x ln a

= a

x

ln a

∆x

∆x

∆x

=

∆x

∆x→0

∆x→0

∆x→0

∆x→0

Докажем формулу 9):

x

Пусть

y = sin x .

Придавая

приращение

∆x ,

найдем

y + ∆y = sin(x + ∆x) .

Отсюда

∆y = sin(x + ∆x) −sin x = 2sin (x + ∆x) − x cos (x + ∆x) + x

= 2sin

∆x cos

2x + ∆x .

∆x cos 2x + ∆x

2

2

2

2

∆y

sin

Значит,

∆x =

2

2

.

∆x

2

Переходя к пределу при ∆x → 0 , имеем:

∆x

∆x

y′ = lim

∆y = lim

sin

2

cos 2x + ∆x = lim

sin

2

lim cos

2x + ∆x = cos x .

∆x→0

∆x

∆x→0

∆x

2

∆x→0

∆x

∆x→0

2

2

2

1 cos2 x .

Пример 2. Найти производную функции y = x cos xsin x +

2

Решение. Сначала преобразуем данную функцию: y =

1 xsin 2x + 1 cos2 x

1

1

1

1

2

2

y′ =

2 sin 2x +

2 x2cos 2x + 2

2cos x(−sin x) = 2 sin 2x + x cos2x −sin x cos x = x cos 2x.

Пример 3. Найти производную функции

y =

x2ex2

.

x2 +1

Решение.

y′ =

(2xex2 + x2 2xex2 )(x2

+1) −(2x)x2ex2

2x3ex2

+ 2x5ex2 + 2xex2 + 2x3ex2 − 2x3ex2

(x2 +1)2

=

(x2 +1)2

=

=

2xex2 (x4 +1+ x2 )

(x2 +1)2

Пример 4. Вычислить производную y=ln

(x2 + 4)5 (3x-1)7

3

.

(6x3 +1)2 etg 5x

Решение. Преобразуем функцию, используя свойства логарифмов:

y= 5 ln(x2+4) + 7 ln(3x-1)-

2 ln(6x3+1)-

1 tg 5x .

3

3

3

3

БГЭУ 2006

лекции по высшей математике для студентов I курса

12x2

ст. преподавателя, к. физ.-мат. н. Поддубной О.H.

′

5

2x

7

5

y =

3

+

−

−

.

x2 + 4

3x-1

6x3 +1

3cos2 5x

u′x = g′(x) существует и производная y′x :

y′x = fu′(u) u′x (x)

(14.10)

∆y =

∆y

∆u

∆u

∆x

∆x

lim

∆y

= lim

∆y

lim

∆u

∆x

∆u

∆x

∆x→0

∆x→0

∆x→0

Рассмотрим

lim

∆y

. Так как по условию теоремы существует производная

∆u

∆x→0

u′x = g′(x) , то по теореме 1, u=g(x) – непрерывная функция, поэтому ∆u→0 при

∆x→0. lim

∆y

= lim

∆y

∆u

∆x→0

∆u

∆u→0

Тогда lim

∆y = lim

∆y

lim

∆u и

y′x

= yu′(u) u′x (x) . Теорема доказана.

∆u

∆x→0

∆x

∆u→0

∆x→0

∆x

x

x

Пример 5. Найти производную функции y = ln tg

−

2

sin x

Решение.

sin x − x cos x

sin x − x cos x

sin x −sin x + x cos x

y

′

1

1

1

1

=

2 −

sin2 x

=

−

sin2 x

=

sin2 x

=

tg

x

cos

2 x

2sin

x

cos

x

2

2

2

2

Пример 6. Найти производную функции

y = arctg

2x4

1 − x8

Решение.

8x3

− x8 ) −(−8x7 )2x4

− x8 )2 (8x 3 −8x11 +16x11)

8x3 +8x11

y′ =

1

(1

(1

(1− x8 )2

=

(1 + x8 )2 (1 − x8 )2

=

(1 + x8 )2 =

4x8

1 +

(1

8

)

2

− x

=

8x3

(1

+ x8 )

=

8x3

(1

+ x8 )2

1+ x8

БГЭУ 2006

лекции по высшей математике для студентов I курса

ст. преподавателя, к. физ.-мат. н. Поддубной О.H.

Логарифмическое дифференцирование

Рассмотрим функцию y = ln

x

=

ln x, при

x > 0

.

ln(−x), при x < 0

1

′

1

′

1

(−x)

Тогда (ln x )′= х

, т.к. (ln x)

= x

; (ln(−x))′ =

−x

= x .

′

′

Учитывая полученный результат, можно записать (ln

f (x)

) =

f (x)

.

f (x)

Отношение

f ′(x)

называется логарифмической производной функции f(x).

f (x)

производную самой функции по формуле:

′

f (x)

′

f (x)

(14.11)

f (x) = (ln

)

трудоемким. Например:

1.

y = f1(x) f2 (x) ... fn (x) при n > 2

2.

y =

f1(x) f2

(x) ... fn (x)

, g (x) g

2

(x) ... g

m

(x) ≠ 0 при n >1, m >1

g1(x) g2

(x) ... gm (x)

1

3.

y = f (x)g ( x)

ln y = ln(x2 ex2

ln x cos2 x)

По свойствам логарифма:

ln y = 2ln

x

+ x2 ln e

+ ln ln x + 2ln cos x

Дифференцируем обе части равенства:

y′

= 2 + 2x +

1

+

2(−sin x)

y

x ln x

cos x

x

Окончательно имеем:

2(−sin x)

y′

2

1

= y

+

2x +

+

или

x ln x

cos x

x

y′

2

x2

2

2

1

2(−sin x)

= x

e

ln x

cos

x

+ 2x

+

+

x ln x

x

cos x

БГЭУ 2006

лекции по высшей математике для студентов I курса

ст. преподавателя, к. физ.-мат. н. Поддубной О.H.

Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие производные в точке х,

f(x)>0.

Найдем производную функции y = uv. Логарифмируя, получим:

lny = vlnu

Дифференцируя обе части последнего равенства, имеем:

y′

u′

= v′ln u + v u

y

y

′

= u

v

u′

′

v

u

+ v ln u

′

(u

v

v−1 ′

v ′

(14.12)

) = vu

u

+u v ln u