© БГЭУ Лекция № 6 |
Приложения определенного интеграла проф. Дымков М. П. 5 |
Объем тела вращения
Пусть функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a, b]. В этом случае объем тела, образованного вращением около оси 0x криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = f (x) , прямыми x = a, x = b и осью абсцисс может быть
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
найден по формуле |
Vx =π ∫ f 2 (x)dx |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Если вращение происходит вокруг оси |
|||||||||
|
|
|
|
0у, то объем тела вращения находится |
||||||||
|
|
|
по формуле |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vy =π∫ϕ2(y)dy |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Пример |
Вычислить объем тела, |
|
образованного вращением |
||||||||
|
фигуры, |
ограниченной линиями |
y = 4x − x2 |
и |
|
y = x вокруг |
||||||
|
оси 0x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем точки пересечения y = 4x − x2 |
и |
y = x : |
||||||||
|
Решение. |
|||||||||||
|
4x − x2 = x, x2 −3x = 0 |
x = 0, |
|
y = 0 и x |
2 |
= 3, y |
2 |
= 3 |
||||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|||
y = x
y = 4x − x2
3 |
4 |
|
y |
© БГЭУ Лекция № 6 |
Приложения определенного интеграла проф. Дымков М. П. 7 |
Приложения определенного интеграла в экономик.
счет объема продукции.
Пусть p = f (t) – производительностью труда в момент времени t , t [t0 , t1 ]. Тогда объем продукции, произведенной за промежуток времени ∆t = t1 −t0 вычисляется как
t1
V = ∫ p(t)dt
t0
Производственная функция Кобба-Дугласа: y = Ax1α x2 β , где x1 обозначает затраты труды, x2 объем капитала
Пример Считая, что функция Кобба-Дугласа имеет вид
p(t) = (1 + t)e3t , вычислить объем продукции, произведенной за 4 года.
|
|
|
V = |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
[u =1 + t, du = dt, dv = e3t dt, |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∫ (1 + t)e3t dt |
= |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
4 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
3t |
]= (t +1) |
|
3t |
|
|
4 |
|
|
3t |
|
|
12 |
|
|
3t |
|
|
4 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
v = |
|
|
e |
|
|
|
|
e |
|
|
|
0 |
− ∫ |
|
|
|
e |
|
dt = |
|
|
|
(5e |
−1) − |
|
e |
|
|
|
0 |
= |
||||||
3 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
3 |
9 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
12 |
|
|
|
5 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
(14e |
|
− 2) ≈ 2,53 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Определение. Число |
1 |
|
|
|
b |
f (x)dx |
|
называется средним |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∫ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b − a a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[a, b]. |
|||||||||
значением непрерывной функции f (x) |
на отрезке |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Напомним, что по теореме о среднем в определенном интеграле существует число c [a, b], такое, что
f (c) = |
1 ∫ f (x)dx . |
|
|
|
b |
|
b − a |
a |