- •Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши
- •Сравнение функций по скорости роста
- •Формулы Маклорена и Тейлора
- •Разложение в ряд Маклорена элементарных функций
- •Вопросы для повторения
- •Условия возрастания и убывания функции
- •Понятие экстремума
- •Необходимое условие экстремума
- •Выпуклость функции. Точки перегиба
- •Схема исследования функции на выпуклость
- •Асимптоты графика функции
- •Исследование функций и построение их графиков
- •Геометрическая интерпретация
- •Свойства эластичности функции
- •Эластичность элементарных функций
- •Вопросы для повторения
- •3 Функции многих переменных
- •Дифференцируемость функции многих переменных
- •Экстремум функции многих переменных
- •Достаточные условия экстремума
- •Метод наименьших квадратов
- •4 Неопределенный интеграл
- •Неопределенный интеграл
- •Основные методы интегрирования
- •5-6 Определенный интеграл
- •Площадь криволинейной трапеции
- •Определение определенного интеграла
- •Площадь плоской фигуры
- •Длина дуги плоской кривой
- •Объем тела вращения
- •Несобственные интегралы
- •Двойные интегралы
- •7-8 Дифференциальные уравнения
- •Задача Коши. Теорема Коши. Понятие общего решения.
- •8(доп) Комплексные числа
- •Краткие сведения теории ЛДУ 2-го порядка
- •Краткие сведения теории ЛНДУ 2-го порядка
- •Модель гонки вооружений Ричардсона
- •Модель ведения боевых действий Ланчестера
- •Числовые ряды
- •Понятие числового ряда и его сходимости
- •Некоторые примеры
- •Знакопеременные ряды
- •Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •Свойства степенных рядов
- •Примеры
- •Приложения рядов
Лекция № 3 |
Функции многих переменных |
проф. Дымков М. П. |
7 |
4.2. Дифференцируемость функции многих переменных
Частные производные.
Пусть функция z = f (x, y) определена в области D R2 и точка M 0 (x0 , y0 ) D.
Определение 4.9. Частным приращением функции z по
|
переменной |
|
в точке |
|
|
называется разность |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
M 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∆ |
|
= |
f (x |
0 + |
|
∆ |
x, y0 ) − f (x0 , y0 ) |
|
|
(4.1) |
|||||||||||||||
|
|
|
x z |
|||||||||||||||||||||||||
|
Определение 4.10. Частной производной функции |
|||||||||||||||||||||||||||
|
z = f (x, y) |
по переменной |
x |
|
в точке |
M 0 (x0 , y0 ) |
|
называется |
||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
предел ( |
если |
|
|
он |
существует) |
|
|
|
|
|
|
|
частного |
||||||||||||||
|
|
|
отношения |
|||||||||||||||||||||||||
|
приращения |
функции |
|
z |
|
|
по |
x |
|
|
к вызвавшему его |
|||||||||||||||||
|
приращению независимой переменной |
∆ |
|
, когда ∆ |
|
|
: |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
→ 0 |
|||||||||||||||||||||||||
|
x |
x |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ x z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fx′(x0 , y0 ) |
= |
lim |
|
|
|
|
|
|
(4.2) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ä x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частная производная по x в точке M 0 (x0 , y0 ) обозначаетсялюбымизследующихспособов:
∂z |
|
|
, |
∂f (x0 , y0 ) , z′x |
|
, |
fx′(x0 , y0 ) . |
|
|
|
|||||
∂x |
|
M 0 |
|
∂x |
|
x = x0 , y = y0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично определяется частная производная функции
z = f (x, y) |
по переменной y : |
|
||||
∂f (x |
, y |
) |
= lim |
∆ y z |
, |
|
0 |
0 |
|
|
|
||
|
∆ y |
|
||||
∂y |
|
Ä y→0 |
|
|
||
где |
∆y z = f (x0 , y0 |
+ ∆y) − f (x0 , y0 ). |
(4.3) |
|||
|
Лекция № 3 |
|
|
Функции многих переменных |
проф. Дымков М. П. |
8 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
пространстве XYZ условие |
y = y0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
описывает плоскость P, перпендикулярную |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оси OY и пересекающую эту ось в точке y0. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Плоскость P пересекается с графиком |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции z = f(x,y), вдоль некоторой линии L, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
как показано на рисунке 1. Тангенс угла |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
между плоскостью XOY и касательной к |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
линии L в точке с координатами x0,y0 равен |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
частной производной по x функции z = f(x,y) в |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
этой точке. В этом состоит геометрический |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
смысл частной производной. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4.3. Вычислить по определению частные |
|||||||||
производные функции |
z = x2 −3xy + 2 y2 |
в точке M 0 (1,2) . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Имеем |
|
f (x, y) = x2 |
−3xy + 2 y2 , f (x0 , y0 ) = f (1,2) = |
|
|
|||||||||||||||||||||
=12 −3 1 2 + 2 22 = 3; |
f (x0 |
+∆x, y0 ) = f (1 + ∆x,2) = (1 + ∆x)2 + |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3(1 +∆x)2+ 2 |
2 |
2 = 3 − 4∆x + ( ∆ x)2 ; |
|
∆x z = f (x0 +∆x, y0 ) − f (x0 , y0 ) =3 − 4 ∆x +(∆x)2 −3 = − 4 ∆x +(∆
x)2 |
|
|
|
|
|
Тогда, согласно (4.2), имеем: |
|
|
|||
∂ |
= lim |
− 4∆ x + (∆ x)2 |
= lim |
(−4 + ∆ x) = −4 . |
|
z |
∆ x |
||||
∂x |
Ä x→0 |
|
Ä x→0 |
|
|
|
|
|
|
M 0
Аналогично вычисляем
∆y z = f (x0 , y0 +∆y) − f (x0 , y0 ) = f (1,2 +∆y )− 3 =12 −3 1(2 +
∆y) + 2 (2 +∆y)2 −3 =1−6 −3∆y +8 +8∆y + 2( ∆y)2 −3 = 5
∆y + 2 ( ∆y)2 .
Тогда, согласно (4.3)
∂z(M 0 ) |
= lim |
∆y z |
|
∂y |
∆ y |
||
Ä y→0 |
, имеем: |
|
|
|
= lim |
5∆y + 2(y)2 |
= |
lim (−5 + 2 ∆y) = 5. |
Ä y→0 |
∆ y |
|
Ä y→0 |
|
|
|
|
Лекция № 3 |
Функции многих переменных |
проф. Дымков М. П. |
9 |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Для нахождения частных производных функции |
||||||
|
z = f (x, y) |
следует запомнить |
правило: |
при вычислении |
||||
|
|
производной по |
x |
|
считаем |
y |
постоянной |
и |
|
частной |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пользуемся правилом дифференцирования функции одной независимой переменной; при вычислении частной производной по y считаем x постоянной и пользуемся этими
же правилами дифференцирования (производная постоянной равна нулю; постоянный множитель выносится за знак производной и т.д.).
|
Пример 4.4. Вычислить частные производные |
∂z |
и ∂z в |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M (x, y) |
|
|
∂x |
∂y |
||
произвольной |
точке |
|
|
|
для |
функции |
|||||||||||||
f (x, y) = x |
2 |
−3xy + 2 y |
2 |
и затем найти их значения |
∂z(M 0 ) |
||||||||||||||
|
|
∂x |
|||||||||||||||||
и ∂z(M 0 ) |
, если |
M 0 (1,2) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Имеем : |
=(x |
2 |
−3xy + 2 y |
2 ′ |
|
|
||||||||||||
|
∂x |
|
)x, y−const = |
|
|
||||||||||||||
= (x2 )′x, y−const |
|
−(3xy)′x, y−const |
+(2y2 )′x, y−const = 2x − 3y(x)′ + 0 = 2x − 3y . |
||||||||||||||||
Тогда |
∂z (1,2) =2 1 −3 2 = −4. |
Далее: |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∂z |
=(x |
2 |
−3xy + 2 y |
2 ′ |
|
|
= (x |
2 |
′ |
−const − |
|
′ |
|
|
|||||
∂y |
|
)y,x−const |
)y ,x |
(3xy)y,x−const + |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (2 y |
2 |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
(1,2) = − 3 1 + 2 |
4 = 5. |
|||
)y,x−const = 0 −3x + 4 y . Значит, |
∂y |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лекция № 3 Функции многих переменных проф. Дымков М. П. 10
|
Аналогично (4.2) и (4.3) |
определяются частные производные |
|||||||||||||||||||
|
|
∂z |
, |
∂z |
, |
…, |
|
∂z |
|
для |
многих переменных |
|
. |
||||||||
|
|
|
|
z = f (x , x ,..., x ) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
∂xn |
|||||||||||||||||
|
|
∂x1 |
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
n |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Например, |
|
|
|
|
|
∂z |
= |
lim |
∆x z |
(4.4) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
Äx1→0 |
∆ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Отметим очень важное отличие функции двух переменных от функции одной переменной. ♣
Из существования первых частных производных в точке не следует непрерывность функции в этой точке.
Рассмотрим, например, функцию
( ) 0 при xy = 0 f x, y = 1 при xy ≠ 0 .
График этой функции во всех точках, не принадлежащих осям координат OX и OY, представляет собой плоскость, параллельную плоскости XOY, поднятую на 1. Сами эти оси координат также принадлежат графику рассматриваемой функции. Очевидно, что в точке (0,0) функция имеет частные производные по обоим аргументам, обе равные нулю. Очевидно также, что в любой окрестности точки (0,0) можно найти точку M такую, что f(M) = 1, в то время как f(0, 0) = 0. Это означает существование разрыва функции в точке (0,0).
|
Лекция № 3 Функции многих переменных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
проф. Дымков М. П. |
11 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4.2.2. Дифференцируемые функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Определение 4.11. Полным приращением функции |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z = f (x, y) |
|
в точке |
M 0 (x0 , y0 ) |
называется разность |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∆ |
z(M0 ) |
|
= |
f (x0 + |
|
∆ |
x, y0 |
+ |
∆ |
y) − f (x0, y0 ) |
|
|
|
|
(4.5) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
Определение 4.2. |
Функция |
|
z = f (x, y) |
называется |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
дифференцируемой в точке |
M 0 |
, если в некоторой |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
окрестности этой точки полное |
приращение |
функции можно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
представить в виде : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
(M 0 ) = A(x0, y0 ) |
∆ |
|
|
|
|
B(x0 , y0 |
) ∆y+ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+α 1( |
∆ |
x, |
∆ |
y) |
∆ |
x + |
α 2( |
∆ |
x, |
∆ |
y) |
∆ |
y |
|
|
|
(4.6) |
|
x |
|
|
y |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
где коэффициенты |
A(x0, y0 ) |
и |
B(x0, y0 ) |
не зависят от ∆ |
и ∆ |
, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а функции |
α1 ( |
∆ |
x, |
∆y) и |
α 2( |
∆ |
x, |
∆y) являются |
|
|
бесконечно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
малыми при условии, что |
|
|
величина |
ñ = |
(∆ x)2 |
+ (∆ |
y)2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
стремится к нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Пример 4.5. Показать, что функция z = x2 |
+ 3xy является |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дифференцируемой в любой точке |
|
|
M 0 (x0, y0 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Решение. Имеем: f (x, y) = x2 + 3xy, f (x0, y0 ) = x0 |
2 +3x0 y0 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f (x0 +∆x, y0 +∆y) = (x0 +∆x)2 + 3(x0 +∆x) ( y0 + ∆y) = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= x 2 |
+ 2x ∆x + ( ∆x)2 +3x y |
0 |
+3x ∆y + 3∆xy |
0 |
+ 3∆x ∆y . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Тогда по (4.5) полное приращение ∆ z |
|
|
|
|
имеет вид : |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∆z(x , y |
)=x 2 |
+ 2x ∆x +∆x2 +3x |
|
y |
0 |
|
+3x |
∆y + 3∆xy + 3∆x∆y − |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
− x0 2 −3x0 y0 =(2x0 + 3y0 ) ∆x + 3x0 ∆y + ∆x ∆x + 3∆x ∆y . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Сравнивая с (4.6), заключаем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A(x0 , y0 ) = 2x0 + 3y0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B(x0 , y0 ) = 3x0 , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
α 1(∆x,∆y) =∆x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α 2(∆x,∆y) =3∆x . |
|
|
|
|
Лекция № 3 |
Функции многих переменных |
проф. Дымков М. П. |
12 |
Значит, функция является дифференцируемой в т. M 0 (x0, y0 ).
Теорема 4.7. Если функция z = f (x, y) дифференцируема в
точке M 0 (x0, y0 ), то она непрерывна в этой точке и имеет в ней
частные производные по всем аргументам : ∂f (M 0 ) , ∂f (M 0 ) .
∂x ∂y
Приведенная теорема показывает, что взаимоотношение непрерывности и дифференцируемости функции в многомерном случае такое же, как в одномерном. Совсем иначе обстоит дело во взаимоотношениях частных производных и дифференцируемости. В случае одной переменной дифференцируемость и наличие производной были условиями равносильными.
|
Для |
функций |
многих |
переменных |
|
наличие |
частных |
|||||||||||||
|
производных |
не гарантирует дифференцируемость. ♣ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
Однако уже непрерывность частных производных |
||||||||||||||||
обеспечивает дифференцируемость. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Теорема 4.8. Если в некоторой окрестности точки |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
существуют |
частные производные |
∂z (x, y) |
и |
|||||||||
|
M |
0 |
(x y |
) |
|
|||||||||||||||
|
|
|
0, |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
и они непрерывны в точке |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∂z (x, y) |
|
|
|
|
|
, то функция |
|||||||||||||
|
M |
0 |
(x y |
) |
||||||||||||||||
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
дифференцируема в точке |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||
|
z = f (x, y) |
M0 (x0, y0 ) |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.2.3. Полный дифференциал функции многих переменных.
Определение 4.13. |
Если функция |
|
z = f (x, y) |
|
|||||
дифференцируема в точке |
M 0 (x0, y0 ) |
, |
то |
|
линейная |
|
|||
относительно приращений ∆ |
x |
|
|
|
|
часть |
полного |
||
|
и ∆ |
y |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
приращения функции называется полным дифференциалом функции z = f (x, y) в точке M 0 (x0, y0 ) и обозначается dz(M0 ) :
Лекция № 3 |
Функции многих переменных |
|
|
проф. Дымков М. П. |
13 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
∂z(M 0 ) |
∆ |
|
∂z(M 0 ) |
∆ |
y |
|
(4.7) |
|
dz(M 0 ) |
|
|||||||||
|
x + |
|
|||||||||
|
∂x |
|
∂y |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если принять по определению за дифференциалы независимых переменных x и y их приращения ∆x и ∆y , т.е. положить dx = ∆x и dy = ∆y , то (4.7) примет вид :
|
|
= |
∂z(M 0 ) |
|
|
|
∂z(M 0 ) |
|
|
y |
(4.8) |
|
dz(M 0 ) |
||||||||||
|
|
d |
d |
||||||||
|
|
x + |
|
||||||||
|
∂x |
|
|
|
∂y |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4.6.
Найти полный дифференциал функции z = ln(x2 + y2 ) в
точке M 0 (1,2) .
|
|
Решение. Имеем |
∂z |
=(ln(x |
2 |
+ y |
2 |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
∂x |
|
|
|
|
))x, y−const = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
(x2 |
|
+ y2 )′x |
= |
|
|
|
2x |
|
|
. Тогда |
|
∂z |
|
|
|
= |
|
2 1 |
|
= |
2 |
. Далее |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x2 + y2 |
|
|
x2 |
+ y2 |
|
∂x |
|
|
|
12 + 22 |
5 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M0 |
|
|
|
2 y |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∂z |
= |
(ln(x |
2 |
+ y |
2 |
|
|
′ |
,x−const = |
|
|
1 |
|
(x |
2 |
+ y |
2 ′ |
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
))y |
|
|
|
|
|
|
)y |
|
|
|
|
|
|
. Тогда |
||||||||||||||||||||
|
∂y |
|
|
|
x2 + y2 |
|
|
x2 |
|
+ y2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∂z |
|
|
= |
|
|
|
2 2 |
|
|
|
= |
|
4 |
. |
|
|
Согласно (4.8) получаем полный |
||||||||||||||||||||
|
∂y |
|
|
12 + 22 |
|
5 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
M0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
дифференциал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz(M 0 ) = 0,4dx + 0,8dy . |
|
|
|
|
|
|
|
Лекция № 3 |
Функции многих переменных |
проф. Дымков М. П. |
14 |
На рисунке график функции z = f(x,y) представляет собой поверхность F. Длина отрезка Р0Р равна значению функции z в точке P0, то есть Р0Р = f(x0,y0)
Координатами точек Q0, S0 и R0 являются (x0,y0+∆у); (x0+∆x,y0)
и (x0+∆x,y0+∆у), причём Q0Q = f(Q0), S0S = f(S0) и
R0R = f(R0). Приращение ∆f(х0,у0) функции в точке Р0 равноRR2 . Параллелограмм PQ1R1S1 лежит в плоскости, которая касается поверхности F в точке Р. Прямоугольник PQ2R2S2 расположен в горизонтальной плоскости.
Очевидно: Q2Q1 = f′y(x0,y0)∆y и S2S1 = f′x(x0,y0)∆x. Из легко доказываемого равенства R2R1 = S2S1 + Q2Q1 и
Лекция № 3 Функции многих переменных проф. Дымков М. П. 15
формулы (4.8) следует, что дифференциал функции в точке Р0
равен отрезку R2R1 , |
т.е . |
df(x0,y0) = R2R1 . |
|
||
4.2.4. |
Приложения |
полного |
дифференциала |
в |
|
приближенных |
вычислениях |
|
|
Справедлива формула приближенного вычисления значений функции:
f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) ≈ f (x0 , y0 ) + ∂∂fx (x0 , y0 ) ∆x + ∂∂fy (x0 , y0 ) ∆y
или
df(x0,y0) ≈ ∆f(x0,y0).
Пример. 4.7. Вычислить приближенно 4,032 + 2,992 . Решение. Рассмотрим функцию z = f (x, y) = x2 + y2 .
Тогда искомое число есть значение этой функции в точке
|
x = x0 |
|
+ ∆x = 4,03, |
y = y0 |
+ ∆y = 2,99. Выбирая x0 = 4, y0 = 3, |
|||||||||||||||||||||||
|
получим |
|
∆x = 0,03; |
|
∆y = −0,01. Далее находим |
значения |
||||||||||||||||||||||
|
функции и |
ее частных |
производных |
в точке |
M (x0 , y0 ) : |
|||||||||||||||||||||||
|
f (x0 , y0 ) = 42 + 32 = 5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∂f |
(x |
, y |
) = |
|
2x |
|
|
= |
4 |
, |
|
∂f |
(x |
, y |
) = |
2 y |
|
|
|
= |
3 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
∂x |
2 x2 + y2 |
|
|
|
∂y |
2 x2 + y2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
5 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
5 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 4, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 3 |
||||||
|
Тогда |
|
|
|
4,032 |
+ 2,99 |
2 ≈ 5 + 4 |
0,03 + 3 (−0,01) = 5,018. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
4.2.5. Производные высших порядков. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Пусть |
функция |
|
|
|
|
|
имеет |
|
частные |
производные |
|||||||||||||||||
z = f (x, y) |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
∂z |
= f ′(x, y) |
и |
∂z |
= f ′(x, y) |
, |
где ( |
|
|
|
|
некоторая |
||||||||||||||||
|
x, y) D |
D − |
||||||||||||||||||||||||||
|
∂x |
|
|
x |
|
|
|
∂y |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
подобласть |
области |
|
D |
, |
|
на |
которой |
определена |
функция |
Лекция № 3 |
Функции многих переменных |
|
проф. Дымков М. П. |
16 |
|||||||
|
. Значит, на |
|
|
заданы две новые функции |
двух |
||||||
|
D1 |
||||||||||
z = f (x, y) |
|||||||||||
переменных |
, а именно |
|
u |
= ∂z (x, y) |
и |
v = ∂z (x, y) |
и можно |
||||
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
x |
|
y |
|
находить их частные производные |
по |
|
|
и |
. |
||||||
переменным |
|
Эти частные производные и называются частными производными второго порядка или вторыми частными
|
производными функции |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
Итак, по определению: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z = f (x, y) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂2 z |
= |
|
|
∂ |
|
|
( |
∂z ) = |
fxx |
″(x, y) |
; |
|
|
|
|
∂2 z |
|
= |
|
∂ |
(∂z ) |
= fxy″(x, y) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂x2 |
|
∂x |
|
|
|
|
∂x∂y |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
∂2 z |
|
= |
|
|
∂ |
|
|
(∂z ) |
= |
|
f yx″(x, y) |
, |
|
∂2 z |
|
= |
|
∂ |
( |
∂z ) |
= fyy″(x, y) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂y∂x |
|
∂y |
|
|
∂y2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
причем, |
|
|
|
частные производные |
|
|
∂2 z |
|
|
|
и |
|
∂2 z |
|
|
называются |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂x∂y |
|
|
|
∂y∂x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
смешанными частными производными. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4.8. Найти все частные производные второго |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
порядка функции z = x3 y3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Решение. |
∂z |
|
= |
(x |
3 |
y |
2 ′ |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
′ |
= 3x |
2 |
y |
2 |
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂x |
|
)x, y−const = y |
|
(x |
)x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂z = (x3 y2 )′y,x−const = x3 ( y2 )y′ = x3 2 y = 2x3 y ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2 z |
= |
|
|
|
∂ |
|
|
( |
∂z ) = |
∂ |
|
|
|
(3x2 y2 ) = y2 (3x2 )x′ = y2 6x = 6xy2 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂x2 |
|
|
∂x |
∂x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
∂2 z |
= |
|
|
|
∂ |
|
|
|
( |
∂z ) = |
∂ |
|
|
|
|
(2x3 y) = 2x3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
∂y2 |
|
|
∂y |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
∂2 z |
|
|
= |
|
∂ |
|
( |
∂z ) = = |
|
|
|
|
∂ |
(2x3 y) = y |
2 3 x2 =6x2 y ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂x∂y |
|
∂x |
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
∂2 z |
|
|
= |
|
∂ |
|
( |
∂z ) == |
|
|
|
|
∂ |
(3x2 y2 ) = 3x2 2 y = 6x2 y =6x2 y ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂y∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
∂y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
Условия, при которых результат |
|
дифференцирования не |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
зависит от порядка дифференцирования.♣ |
|
|
|
|
|
|
|
|